生活中的“一元一次方程”

刘媛

一元一次方程的应用是本章的重点和难点。应用一元一次方程解决实际问题时，关键要“抓住基本量，找出相等关系”。下面，我们以实际情境为例，体会一元一次方程在生活中的应用。

情境1  小红写一本暑假作业，已经写了5天，每天写2页。家里决定一段时间后出去旅游，所以小红想在旅游前完成作业。如果以后每天写3页，则还剩9页未完成；如果以后每天写5页，则提前一天完成。这本暑假作业共有多少页？距离旅游还有几天？

这个问题属于“一种事情，两种情况”（一种情况是每天写3页，还剩9页；另一种情况是每天写5页，提前一天完成），其中有两个不变量（一个不变量是旅游前剩的天数，另一个不变量是暑假作业本的总页数）。我们可以将一个不变量看作未知数，另一个不变量看作相等关系。本题需要注意的是总页数包括前5天已完成的页数，隐含的相等关系是：前5天完成的作业量+每天写3页完成的作业量+9=前5天完成的作业量+每天写5页完成的作业量。

解：设旅游前还剩x天，根据题意，得5×2+3x+9=5×2+5（x-1），解得x=7，所以，暑假作业总页数为5×2+3×7+9=40。答略。

情境2 小红完成暑假作业后，全家去杭州自驾游。汽车先以100km/h的速度从南京出发，行驶一段时间后，在服务区休息了45分钟，然后再以80km/h的速度继续行驶。已知剩余的路程是已行驶路程的一半，到达杭州一共用了4小时。求两地之间的距离。

这是一个行程问题。行程问题需要掌握的基本关系式是：路程=速度×时间。本题的已知量是速度和时间，未知量是路程，所以显而易见，需要设两地之间的距离为未知数x。根据“剩余的路程是已行驶路程的一半”，得出剩余路程是[13x]，已行驶路程是[23x]。需要特别注意的是总时间“4小时”包括三部分：休息前的行驶时间、休息时间、休息后的行驶时间。因此，隐含的相等关系式为：休息前的行驶时间+休息时间+休息后的行驶时间=4小时。

解：设两地之间的距离为xkm，根据题意，得[23x100][+13x80]=4[-34]，解得x=300。答略。

情境3 小红爸爸是某建筑公司负责人，现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程需要30天，乙队单独完成这项工程需要60天。

（1）该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作完成，求剩下的工程甲、乙两队合作多少天可完成？

（2）已知甲队每天的施工费用为67万元，乙队每天的施工费用为33万元，该工程预算的施工费用为1900万元。为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由。

這是一个工程问题。如果设全部工作量为单位1，那么全部工作量分哪几部分完成？显而易见，若按完成时间的工作量去分，则甲做6天的工作量+甲、乙合作的工作量=全部工作量；若按工程队去分，则甲完成的工作量+乙完成的工作量=全部工作量。因工程问题的基本关系式：工作量=工作效率×工作时间，故需先求出两队的工作效率。因为工作总量为1，所以甲、乙两队的工作效率分别为[130]、[160]，进而根据上述相等关系可列出方程。

解：（1）设剩下的工程甲、乙两队合作x天。

（方法一）由题意，得[630]+（[130][+160]）x=1，解得x=16。答略。

（方法二）由题意，得[6+x30][+x60]=1，解得x=16。答略。

（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天。根据题意，得（[130][+160]）y=1，解得y=20，需要的施工费用为20×（67+33）=2000（万元）。

因为2000＞1900，2000-1900=100，所以该工程预算的施工费用不够用，需追加预算100万元。答略。

（作者单位：江苏省建湖县秀夫初级中学）