初中数学习题的重构与再设计

阙 成 (江苏省苏州工业园区景城学校 215100)

1 问题提出

2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，文件明确要求减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担.其中减轻学生作业负担的关键是提高作业质量.因此，研究“双减”背景下的作业设计势在必行.

在实际教学过程中，笔者发现学生在每日作业中产生的很多错误都对应着单一的知识点.在作业的讲评过程中，由于时间有限，教师很容易“就题论题”，脱离知识点产生和应用的情境.这样，学生在订正和复习过程中依然无法逃离碎片化知识的反复记忆与机械练习，教师也会陷入到重复讲解的困境中.长此以往，很难使学生从知识间的联系出发理解所学内容，也无法真正做到“减负提质”.

因此，本文从“二元一次方程组”课后作业的两道易错题出发，根据考查目标的不同，阐述习题重构的设计思路和实施流程，并结合实际教学效果进行调整，做到“教、学、做合一”.希望能借此提升学生在课前、课堂、课后的学习效率，在减轻学生作业负担的同时，达到“学科育人”的目的.

2 习题的重构与再设计

下文中的两道习题来自苏科版数学七下10.2节“二元一次方程组”对应的课后作业，一题为概念题，一题为开放型问题.学生在完成过程中都出现了不少错误与困惑.笔者根据学生情况与教学目标的不同进行再设计，将其分别以课前作业、课堂作业的形式呈现，提升这两道题的育人价值.

2.1 课前作业的思考与设计

·题目呈现

下列方程组中，属于二元一次方程组的是( ).

·题目反思

·课前作业设计

请结合上一节课学习的内容、课本新课的预习、课外资料的查找、同学间交流，判断下列方程组是否是二元一次方程组：

G.口袋中有x个红球、y个白球，共10个球，可建立方程x+y=10；班级里有x名男生、y名女生，共40名学生，可建立方程x+y=40.将两方程联立所得的方程组.

·设计思路

该课前作业从小型化、精准化、过程化、梯度化四个角度进行设计，思路如图1.

图1

①小型化

课前作业的设计初衷是帮助学生提前为新课做好准备，提高上课效率，从而减轻掌握知识的困难.这就意味着其本身不能加重学生的学习负担，因此，该作业就必须是小型的，能够在10分钟内完成.本例中，需要学生提前预习的切口很小，就是课本“二元一次方程组”的判定.

②精准化

为了使课前作业更为有效，需要给学生提出具体明确的任务.本例中的7种情况，相对于书本的描述性定义，给学生提供了更丰富的资源去探究.并且每种情况对应一个需要注意的点：选项A—方程的次数为1；选项B—方程组中未知数的数量不能超过2个；选项C—必须是整式方程；选项D—方程组中不是每个方程都必须含有两个未知数；选项E—是选项D的更特殊的情况；选项F—可以超过两个方程联立；选项G—各方程中的每个字母必须代表同一数量才能联立.学生在判断的过程中可以清楚地体会出自己通过预习已掌握或仍模糊的点.

③过程化

课前作业并不是独立存在的作业，它需要与之前学过的内容关联，并指向未来将要学习的内容，起到承上启下的作用.本题的选项A～C在上一节课“二元一次方程”中就有所涉及，在完成的过程中要求学生回顾上节课的内容，可以起到复习的功能.同时，需要学生利用旧知解决新问题，锻炼了学生的应用意识，帮助学生构建起知识体系，也为之后研究“三元一次方程组”等其他问题打下基础.

本题的选项D～G是学生用已有知识比较难以判断的情况，这也激发了学生探究的兴趣.部分学生能够通过对定义的深刻理解、同学间讨论、课外资料的查找解决其中部分或全部问题.这个过程进一步培养了学生的探究精神和良好的学习习惯.实际作业中，鼓励学生利用网络进行资料查找，这符合2022版新课标[1]对于“利用信息技术，丰富学习资源.在实际问题解决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养”的要求.

即使学生在完成作业过程中无法判断部分情况，这也使得这部分学生可以带着疑问进入新课课堂，更容易投入到新课学习中.

④梯度化

本例中的作业虽然以小型化作为目标，但依然有很明显的梯度设置.选项A～C着重基础性，学生上手比较容易；选项D～G有一定拓展性，在规定的10分钟时间内可能有一部分学生无法完成.这保证了所有学生都对新课有一定的准备，同时让部分学生进一步挖掘，在过程中体验成就感与解决问题的满足感.

2.2 课堂作业的思考与设计

·题目呈现

·题目反思

我们现在解二元一次方程组主要靠的是列举两个方程的解，寻找公共解(当时并未开始学解二元一次方程组).但是列举的话会不会出现遗漏？因为每一个二元一次方程都有无数个解.所以说两个二元一次方程联立在一起可不可能出现多个解？可不可能无解？如果这两个猜想成立，就和两条直线的交点情况非常相似了.

这位学生的疑问和猜想，实际上就非常好地将二元一次方程组解的情况与两直线的交点情况进行了类比，结合了“二元一次方程组的解”中的基础知识、基本活动经验，发现、提出、分析、解决新问题.这也是课标对学生“四能”的要求.如果能将其设计为概念教学后的课堂作业，可以让学生的数学能力在已有经验的基础上生长，经历假设再到验证的过程，加深学生对知识的理解.

·课堂作业设计

(教师介绍完“二元一次方程组的解”的概念后)

(1)请同学们回忆已学过的知识，并试着画示意图填写表1中左边的部分：

表1

附学生完成的课堂作业如表2：

表2

·设计思路

该课堂作业从生长性、过程性、阶梯性、方法性四个角度进行设计.

①生长性

本例中的作业设计，首先请学生回忆两直线交点的情况，启发学生进行类比猜想，结合二元一次方程组的知识进行归纳.这不仅构建了数学知识之间的联系，也是对数学问题研究路径的自发重走.学生在填写表格的过程中自然能够体会数学不仅是知识间的关联，能感受到分类讨论的研究方法也是有共通之处的.然后，再将研究成果指向具体问题的解决，学生就会关注到两方程间的关系.借此，学生不仅很好地操练了基础知识和基本技能，更积累了数学基本活动经验，核心素养得以生长.

②过程性

本例的作业设计并不是与课堂教学内容割裂的，而是融入在新知识的讲授中，帮助知识与技能的生成.同时，在课堂实际布置中也不是让学生在固定时间从头填到尾，它需要教师将其拆分，帮助学生更好地体验其中的过程.比如在“两直线交点情况”部分填写完后，就需要给学生对照新学内容思考的时间.在方程组的举例部分，也要鼓励学生在组内分享，尽可能选取更具代表性的方程组.最后，在表格完成后，需要学生在班内进行分享，互相点评是否有错误或亮点.

在这一过程中，教师要在学生间积极走动，关注学生的投入情况.对于无法融入讨论或进展受阻的学生，应给予“支架”帮助.

③阶梯性

这一课堂作业的圆满完成，不仅需要学生对之前已学几何内容有比较清晰的记忆、对新知识有比较深刻的认识，同时也对探究问题的方法和能力有一定的要求.所以设计作业以及辅导作业的过程中，教师需要注意梯度的设置.

对于能力不足的学生，要给予一定数量的“支架”帮助其回忆旧知、应用新知，甚至可以给出“方程组解的情况”的分类标准，帮助其获得解决问题的成就感.对于知识掌握扎实、有一定探究经验的学生，可以鼓励其探究如何举出更具代表性的例子.另外，在完成表格的基础上，再次回顾这两个问题的探究方式，寻找其他类似的情境，让学生进一步体会数学思想方法的延续性.

④方法性

课堂作业的设计不仅是为了巩固新知，也是在探究中让学生不断体验提出问题、观察思考、合情猜想、推理验证、解决问题的过程.只有不断让学生主动去经历这样的过程，才能真正使学生获得理性思维和科学精神，做到用数学的思维去思考.

比如，有学生将表格中的讨论方式发散到一元一次不等式组解集的情况，生成表3：

表3

这道课堂作业的设计可归结为图2.

图2 “二元一次方程组的解”课堂作业设计

3 关于作业资源有效利用的思考

笔者认为数学作业资源的有效利用比新资源的开发更为重要.如果仅仅是把作业“丢”给学生，不结合学情进行调整与设计，那再高质量的题目也起不到“减负提质”的“双减”要求.

数学作业是学生开展自主学习活动的重要载体，经历这一过程，学生能够收获自主学习数学的意识和能力.教师也可以促进学生成为自主学习者.同时，数学作业承载着学科特殊的育人功能，指向数学核心素养的培育，指向综合能力的发展.如果在设计中能以数学学科知识为基础，以学习方式和教学方式为抓手，以思维发展为内在本质，就能指向数学核心素养(图3).

图3

因此，学生作业资源可以根据学生情况、教学目标的不同进行重新设计，在课前、课中、课后发挥它们的价值，并在教学活动中不断改进、更新，真正做到“教学做合一”(图4).

图4