基于《数学分析》课程的低年级本科生科研训练探索——以南京邮电大学为例

王兰宁，戴建新，朱薇，穆振国

（南京邮电大学理学院，江苏南京 210023）

自2018年开始实施的“双一流”建设计划是教育部全面振兴本科教育、提高高校人才培养能力、实现高等教育内涵式发展的重要举措[1-3]。该计划将学科建设摆在高等教育发展的首要位置。优质学科的建设离不开优质的本科教育，其中本科生科研能力的培养尤为重要[4-6]。

“十四五” 期间，科技创新被摆在极其重要的位置。其中，基础研究作为科技创新的源头也将进一步扩大投入。作为创新活动的源头，基础研究人才的培养，对原始创新有着关键作用。

在此背景下，作为将来重要的科技创新人才储备的本科生，特别是基础数学学科的学生，需在本科阶段打好专业基础的同时，不断提升自己的科研创新能力。

学生通过参加科研活动，能够运用所学的知识解决实际科学问题，从而对所学知识进行巩固并加深理解。同时通过参与科研活动，学生的科研能力与科研素养以及解决实际问题的能力能够得到有效培养，有利于学生将来的高质量就业及进一步深造。

科研训练的核心是如何从被动接受知识的“学习型学生”，变成可以自己发现问题、主动解决问题的“研究型学生”，这正是国家对高质量人才的本质需求。通常系统性的科研训练出现在硕博阶段。但是，近些年随着科研竞争的不断加剧和人才培养质量的不断提高，很多国内外知名高校在招录硕士研究生的时候越来越看重学生在本科阶段的科研训练情况和科研成果。在这种趋势下，大学本科阶段的科研训练越来越受重视。

1 现状分析

意识到科研训练在人才培养模式改革、强化创新创业能力、提升大学生综合素质等方面的重要作用，教育部决定在“十二五”期间实施国家级大学生创新创业训练计划。南京邮电大学也积极推出了校级“大学生科技创新训练计划项目（STITP）”，凡我校全日制本科生均可申请。项目主持人一般为大二、大三学生，创新训练项目团队一般为3人。每名学生只允许参加一个项目的申报。该计划的实施为本科生提供了科技创新训练的机会，使学生在本科阶段就接触了解学科前沿，极大地提高了学生的科研兴趣。

但事实上，一方面由于参加STITP项目需要有一定科研基础且名额有限，大部分本科生并没有机会加入其中接受科研训练，而他们却需要在大四阶段快速进入科研状态并完成本科毕业设计（论文），这种由被动学习到主动科研的突然转变，对毫无经验的学生而言充满挑战。另一方面，STITP项目绝大部分偏向工科应用，缺少数学基础理论研究的训练内容。而这部分内容的缺失往往会造成学生数学基础不牢，进而在研究生阶段科研能力缺乏后劲[7]。

特别地，作为数学专业类学生，本科阶段的理论学习通常复杂枯燥，他们需要了解自己所学知识的来龙去脉和实际用途，以增强专业认同感和归属感，提升对基础学科的学习兴趣。

为了弥补上述不足之处，我们从数学类专业基础课《数学分析》入手，从中提炼适合低年级学生的研究课题，让数学专业类学生从大一开始就逐步参与简单的科研训练，夯实数学基础、体会科研乐趣，初步掌握“提炼问题→查阅文献→应用所学知识解决问题→形成总结报告”这一完整的科研过程，为后续参与或主持更加复杂的科研工作奠定坚实的基础，培养具有创新意识的高质量人才。

2 基础科研训练探索

2.1 提炼适合的科研训练课题

我们以“夯实基础，激发兴趣，逐步提高”为宗旨，从《数学分析》课程常用的教材[8-9]中提炼出以下几类适合低年级本科生进行初步科研训练的课题：

（1）数学问题的历史回顾。如“极限思想的产生和发展”“数系的扩充历史探究” “微积分思想的历史由来”等。这些课题虽然看着简单，但却都是最容易激发学生探讨兴趣的内容，在初学阶段对此类课题进行相关资料的查找，搞清楚基础概念的来源和不断严谨化的过程非常重要。法国数学家庞加莱曾经说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”。这样的科研训练能让学生在查阅资料的过程中了解问题的来龙去脉和解决问题的曲折艰难，从而激起强烈的科研内驱性[10-11]。

（2）理论方法的归纳总结。如“不定积分的技巧总结”等。不定积分题目多变，技巧性较强，学生在面对大量不定积分的计算时可能会感到十分困惑，无从下手。类似的主题还有数列求极限、函数列一致收敛的证明等。因此适时进行总结能让学生对所学方法和技巧加深理解、巩固记忆。同时寻找合适的分类方法也是对学生逻辑思维能力的一种锻炼。这种归纳总结能力对于在如今大数据时代做科研的学生显得尤为重要，它决定了学生是否能从海量信息中迅速筛选出有用的部分，并加以分析利用。

（3）理论知识的深挖探究。如“Gauss公式在复杂情况下的应用举例及技巧分析”。大部分数学分析教材只涉及了Gauss公式在简单情况下的应用，而当情况变得复杂，比如封闭曲面内包含被积函数偏导数的不连续点时，学生能不能根据之前所学的Green公式举一反三解决问题，并从中得到启发甚至激发更深层次的想法，值得尝试。又如“空间曲线积分与路径无关的充要条件”需要学生从平面曲线积分与路径无关的充要条件出发摸索证明类似的结论。更进一步还有“曲面积分与积分曲面无关的条件”等课题。这种从“已知”到 “相似未知”的探索与尝试是培养学生科研能力的重要途径，为以后探索“完全未知”的学术领域提供重要经验和宝贵的“科研直觉”。

（4）数学知识的实际应用。如“最优价格模型的建立和解决方法”“曲率在高铁轨道中的应用”等，可以让学生对所学知识熟练掌握的情况下，进一步了解其在实际生活中的应用，明白数学知识并不是孤立于日常生活的单独存在，而是来源于实际并服务于实际。让学生建立起对数学专业的信心与热爱，同时也培养了学生“理论联系实际”这一重要本领。

2.2 具体实施方案

（1）课题发布。基于《数学分析》的低年级本科生科研训练伴随课程学习的始终，每个章节结束时教师发布本章相关知识点的科研训练课题。课题的来源也可以由学生自行提出相关的、自己感兴趣的内容，征得教师同意后加入备选课题。

（2）学生选题。学生从备选课题中选择合适的课题进行研究。选择同一课题的3-5人可以成立一个课题小组，组内自行分工，明确个人任务。

（3）课题研究。课题小组在教师的指导下利用课余时间分析课题任务，明确需要解决的具体问题，查阅相关资料，定期进行研讨交流、向指导教师汇报课题进展。

（4）课题结题。学生将研究成果形成研究报告并参加答辩，评委教师根据答辩过程参照一定的考核标准判断该课题是否满足结题标准。

2.3 制定合理的考核评价标准

考核评价是科研训练环节中一项重要的内容，是检验学生训练效果的有效手段和评价教学质量的重要途径。我们对学生的课题研究进行过程化考核，采用百分制，具体考核内容和占比如表1所示。

表1 考核评价内容和占比

为了让所有学生都能参与课题研究并从中得到一定的科研锻炼，备选课题的难易程度稍有差异，我们对其难度进行预先评估，分为三档，学生可以根据自己的水平选择合适的课题进行研究。课题的难易程度占比10%。

总结报告可以按照课题完成度、创新度、报告写作水平等方面进行评估，占比50%。

课题研究结束后学生对自己的科研训练结果进行答辩，由评委教师按照熟悉程度、语言表达等方面进行打分，占比20%。

课题研究的最终得分按比例计入《数学分析》课程的平时成绩。从而激发学生对本课程的学习兴趣，形成对学生科研训练效果的有效监督机制。

3 充分发挥指导教师的育人作用，将思政内容融入科研训练过程

作为数学类专业基础课，开设在大一、大二的《数学分析》课程意义重大，不仅要帮助学生打好专业基础，更要帮助学生建立牢固的爱国意识以及正确的科研观。我们在指导学生进行科研训练的时候，要充分发挥指导教师在育人方面的重要作用，将爱国主义、强国意识、社会责任感和时间管理等内容融入科研训练中。例如，指导“级数的理论发展过程”课题时引入“不积跬步无以至千里”的思想，引导学生注重平时的点滴积累，最终完成从量变到质变的蜕化过程；指导“弧长和曲率的实际应用”课题时，引入我国在航天科技事业上的巨大发展，激发学生的爱国情怀和学习热情。从而最终实现在科研训练的同时，完成“课程思政”的创新发展[12-14]。

4 结语

为数学专业低年级学生打造初步的科研训练基础，使他们在合理的引导下熟悉一般科研流程，逐步建立科研兴趣，夯实数学基础，为后续进一步参与更加复杂的科研工作奠定坚实的基础。该训练计划连同STITP和毕业设计一起形成了大学四年本科生科研训练的完整框架，为高校培养更加具有创新意识和创新能力的高质量人才提供了必要基础。