地面参考系和磁源参考系中感应电流的功率

2022-12-28高振

物理教学探讨 2022年11期

高振

山东省平邑县教育和体育局教研室，山东临沂 273300

根据非静电力的起源，电磁感应现象中的感应电动势可分为动生电动势和感生电动势。由洛伦兹力作为非静电力产生的电动势叫动生电动势；由感生电场力作为非静电力产生的电动势叫感生电动势。在求解磁场区域运动产生的电磁感应现象中感应电流的功率问题时，要注意区分不同参考系中感应电动势的本质（非静电力的起源）及其方向，才能正确地等效电路、计算感应电流的功率。

1 一道高考题引发的问题

原题（2017年江苏高考第13题）[1]如图1所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B，方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：

图1 原题图

（1）MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小 I；

（2）MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；

（3）PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。

该题前两问比较简单，在此不作讨论。

引发的问题：由于磁场区域和金属杆运动的速度选择的是地面参考系，但第（3）问感应电流的功率没有明确要求在哪个参考系计算，难道感应电流的功率与参考系无关吗？

2 引发问题的主流观点

在几个全国物理教师QQ大群（有些群人数高达数千人）讨论上述“引发的问题”时，群里面教师的主流观点如下：

由于金属杆所在处磁场的磁感应强度B不变，观察者无论是以地面为参考系，还是以产生磁场的“磁源”（磁体或载流线圈）为参考系，在PQ刚要离开金属杆的极短时间Δt内，穿过该回路的磁通量的有效面积减小均为ΔS=d（v0-v）Δt，由法拉第电磁感应定律得回路总电动势大小为

从（1）式的得出过程中可以看出，回路总电动势与所选惯性参考系无关。

而感应电流的功率

由（1）（2）式得感应电流的功率

（3）式与高考参考答案的结果一致。

因此，QQ群中主流观点认为，感应电流的功率与所选的惯性参考系无关。

笔者查阅文献发现，文献[1]的观点和所求结果与（3）式明显不同，而文献[2]和[3]的观点和所求结果以及高考参考答案均与（3）式相同。究竟谁是谁非呢？

3 不同惯性参考系中的定量分析和计算

3.1 在地面参考系中等效电路，计算感应电流的功率

第（3）问没有明确指出参考系，一般默认是地面参考系。地面系中的观察者看到的不是静磁场，而是磁场区域的运动（本质是产生磁场的源磁体或载流线圈的运动）产生的电磁场，既有磁场又有感生电场。根据电动力学中不同参考系的电磁场变换公式，可以得到地面参考系中的磁场和感生电场。

以产生磁场的“源”磁体或载流线圈为参考系，由于磁源系相对于地面系（静系）的运动速度v0远小于真空中的光速c，忽略洛伦兹膨胀因子，可得地面系（加撇的量）和磁源系（不加撇的量）的电磁场变换公式[4]：根据题目条件，磁源系中只有磁场，而电场=0，可知地面系中既存在沿金属杆向下的感生电场E'=v0B，又存在垂直于导轨平面向下的磁场B'=B。因此，杆中的自由电子受到的非静电力是沿杆向上的感生电场力（大小为F非1=eE'=ev0B）和沿杆向下的洛伦兹力（分力，大小为F非2=f洛=evB）的矢量和，由电动势定义得回路总电动势

从非静电力的起源看，地面系中回路总电动势（4）式由两部分组成：一部分是杆中自由电子受沿杆向上的感生电场力eE'，产生感生电动势E1=Bdv0，其方向在图1中沿金属杆向下（与回路电流方向一致，金属杆扮演着“发电机”的角色）；另一部分是杆中自由电子受沿杆向下的洛伦兹力（分力）evB，产生动生电动势E2=Bdv，其方向在图1中沿棒向上（与回路电流方向相反，是反电动势，金属杆扮演着“电动机”的角色）。因此，回路等效电路如图2所示。

图2 地面系的等效电路

显然，地面系中该题呈现的物理情境的本质就是一个电磁驱动[5]问题，金属杆同时扮演着“发电机”和“电动机”的双重角色。从电路角度看，回路等效电路图2是含有反电势的非纯电阻电路。所以，从地面系中观测到的能量转化是：感生电动势E1=Bdv0提供电能，动生电动势（反电动势）E2=Bdv和电阻R都消耗电能，则地面系中感应电流的功率