旋转重组寻关联 自然生成得最值——一道线段求值问题的求解与推广

安徽省合肥市第四十五中学 高 磊 (邮编：230031)

1 原题呈现

图1

2 解法探究

视角1旋转重组

图2

图3

图4

图5

图6

视角二翻折得共圆

图8

解法8简解：如图9，作点C关于直线BD的对称点F，取AC中点E，连接DF、AF、BF、DE.所以AE=3，∠BFD=∠BCD=60°，所以∠BFC=∠BAC，所以A、C、B、F四点共圆，所以∠FAC=180°-∠FBC=120°，易得DE∥AF，所以∠AED=60°.解△ADE得DE=1或2，所以AF=2DE=2或4，易证AB=AF+AC=8或10.

图9

视角3作高得共圆

图10

图11

还可用余弦定理和中线长定理，略.

图12

3 深度剖析

图13

图14

4 拓展延伸

拓展1如图15，Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠DBC=30°，点A是直线BC上方一点，∠BAC=60°.

图15

图16

图17

图18

图19

图20

5 几点思考

5.1 关注动态视角

5.2 聚焦深度思考

对于解题教学，不能以问题解决为终点，教师绝不能仅停留在会解题、会讲题的层面，还要与学生一起反思解题中的思想方法，对问题进行再探究、再拓展，每一个数学问题的反思和梳理过程所收获的东西远比纯粹地解题来的更加深刻.引导学生深度思考有利于提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，有利于培养学生的迁移能力和创新意识，从而发展学生的思维品质，提升学生的解题素养.