2019年扬州市中考数学压轴题的解法探究与启示

张 雪

江苏省扬州市文津中学 225002

原题呈现

2019年（扬州中考·数学）第28题：如图1，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A，B不重合）.直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′.

图1

（1）如图2，当PB=4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为______；

图2

（2）如图3，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB′的长度为______；

图3

（3）如图4，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

图4

（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB′面积的最大值.

试题解法探究

（一）对于第（1）问的解法探究

思考方向1：

由题目已知条件可以得到：如图5，当PB=4时，点P是边AB的中点，由折叠的性质可以知道PB=PA=PB′；当点B′在边AC上时，△APB′是等腰三角形，再由△ABC是等边三角形可知∠A=60°，这样就可知△APB′是等边三角形，所以AB′的长度为4.

图5

思考方向2：

由题目已知条件可以得到：如图6，当PB=4时，点P是边AB的中点，由折叠的性质可以知道PB=PA=PB′；因此由圆的集合定义可以知道点A，B，B′在以点P 为圆心，AB 长为直径的圆上，连接BB′，由直径所对的圆周角为直角可以知道∠BB′A=90°；再由△ABC是等边三角形可知∠A=60°，可以知道△BB′A是一个含有60°的直角三角形，由特殊角的三角函数可以求解AB′=AB=4.

图6

方法感悟本小题虽是动态几何的基础，但因动点P的位置确定，而转化成了“静态”几何.学生需要准确地画出符合条件的图形，并依据轴对称的性质、等边三角形的性质、圆的集合定义、60°角的三角函数来求解.关键之处是抓住了“折叠出等腰”、借助折叠不变性，如对应边相等、对应角相等，实现导角转化，轻松获解.

（二）对于第（2）问的解法探究

思考方向1：

由l∥AC 可知△BPE∽△BAC，即△ABC与△PBE都是等边三角形.由折叠不变性可知△PB′E也是等边三角形，PB=PB′，所以∠BPB′=120°，再由PB=5，顶角为120°的等腰三角形的腰∶底=可得：BB′=5.（如图7）

图7

思考方向2：

如图7，由“对称点的连线被折痕垂直平分”可得BB′=2OB.再由l∥AC可知△BPE∽△BAC，即△ABC与△PBE都是等边三角形，所以∠BPO=60°，结合PB=5，在Rt△OBP中运用60°角的正弦可以求出BO=，所以BB′=5

方法感悟本小题是抓住动直线l与AC平行时，△ABC与△PBE相似，两个三角形都是等边三角形.再根据“折叠不变性” 得到△BPB′是一个顶角为120°的等腰三角形.当BP=5长度确定时，根据“定角定比”巧施比例，直接求解.也可以借助“折叠的性质”得到BB′=2OB，当BP=5长度确定时，Rt△OBP就是确定的，并通过解直角三角形求解OB，间接求解BB′.学生抓住了在动点变化中不变的图形性质以及某些变量确定时带来的新的变量确定，巧妙地定性分析.然后再结合基本图形的性质来解答，比如含有120°角的等腰三角形底与腰的特殊比、解直角三角形等.

（三）对于第（3）问的解法探究

思考方向：

由本小题条件可知虽然点P位置不确定，但是过点P的直线l始终都满足：l⊥AC（如图8）.再由“对称点的连线被折痕垂直平分”可以得到l⊥BB′，所以BB′∥AC.依据平行线之间的距离处处相等，再由“同底等高”可知△ACB′面积不变，即S△ACB′=S△ACB=

图8

方法感悟本小题中因为点P的位置不确定，所以过点P的直线l有无数条.但都满足l⊥AC，因此直线l是一组互相平行的线，同时点B′随着直线l 位置的变化而变化，点B′也有无数个，由“对称点的连线被折痕垂直平分”可知始终都有：BB′⊥l，所以BB′∥AC，即点B与点B′到AC边的距离相等，所以学生会发现虽然△ACB′的形状不能确定，但是根据“同底等高” 可以知道△ACB′面积不变.学生在思考本小题的解决方法时，可紧扣“变中有恒”，巧妙转化，化未知为已知.

（四）对于第（4）问的解法探究

思考方向：

本题中点P位置确定，BP=6，根据“折叠不变性” 可得PB′=PB=6.所以根据圆的集合定义可知：点B′始终在以点P为圆心，6为半径的定圆上（如图9）.需要求当过点P的直线l在变化过程中，△ACB′面积的最大值，因AC边长度为8，所以当点B′到直线AC的距离最大时，△ACB′面积最大.当B′P⊥AC时，垂足为点H，此时距离最大，最大值为B′H（如图10）.借助于Rt△APH中60°正弦可以求解PH=，所以S△ACB′最大值=

图9

图10

方法感悟本小题在点P确定的前提下，结合了点B′的轨迹是圆的思想，及“折叠出隐圆”，从而将问题转化为“在圆上找一点到直线AC的距离最大”.而圆上一点到已知直线的距离最大是圆学习中常见的基本图形，在求解过程中又利用基本图形——直角三角形，通过三角函数求解边的长度.

本考题中涉及动点P、过P点的直线l、定点关于动直线l的对称点B′，有三个不确定的量，并且彼此之间有着内在的联系.第（1）问中确定了点P，B′的位置；第（2）问确定了点P，直线l 的位置都是将“动”变为“静”，利用折叠不变性解决问题；第（3）问直线l随着点P的运动而运动，但是始终与边AC垂直，要求学生能够“动中求静”，分析在变化过程中图形存在的不变的本质性质是什么.学生可以设想“静态”下图形的特征，研究“静态”之下图形存在的性质；第（3）问中抓住了虽然在变化过程中B′的位置不确定，但是BB′与直线l垂直，即BB′始终与AC平行，发现高不变，进而解决问题；第（4）问中点P位置确定但其他都在变化，透过“动态”现象看本质，寻找不变的关系：PB′=6，可得知点B′的轨迹是圆.再将面积最大值问题转化为点到直线的距离最大.在整个解答过程中，数学转化思想被发挥得淋漓尽致.

几何教学启示

（一）注重夯实基础，培养学生运用图形运动的思维分析几何图形的习惯

新课标提出，注重培养学生的“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.

图形与几何中的三大图形变换：图形平移、旋转、轴对称（翻折）.在教学中，既要关注学生对这一部分基本知识、基本性质的掌握，又要注重培养学生学以致用的能力.教师要注重数学基本思想和方法在教学过程中的渗透与梳理，鼓励学生大胆尝试，寻找数学本质，达到举一反三、触类旁通的学习效果.几何折叠是近几年中考中的高频考题，在平时的复习教学中，教师要让学生关注折叠变化、深究折叠本质——折叠前后的图形是全等的，可以导出等角、等边等结论.学生遇到折叠问题时常常会以直角三角形、等腰（边）三角形、特殊的四边形、圆等图形为背景进行操作，教学中教师要注重培养学生从图中提炼特殊图形，并会应用特殊图形的性质解决问题的能力，引导学生注重知识之间的关联，学会从复杂图形中分解出简单基本的图形，学会将复杂问题简单化.

（二）关注专题研究，培养学生数学学科的核心素养，高效组织中考专题复习

数学新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方法，注重培养学生的抽象思维和推理能力，注重培养学生的创新意识和实践能力.课程内容的呈现应注意层次性和多样性，在平时的中考复习教学过程中多开展“拓展与反思”，让学生在经历探究知识的过程中，感悟相关的数学思想，积累数学活动经验，从而达到提高学生数学学习能力、培养学生数学学科核心素养这一总目标.为了避免过度注重数学模型的反复机械的模仿训练，教师在挑选专题复习时，在紧扣教学大纲的前提下要学会创造性地使用教材以及各地具有代表性的中考试题等，并进行有机整合，分解题干中的条件和结论，将零散的条件以问题串的形式出现，让学生主动参与、合作探究、归纳总结，引发学生的数学思考，给每位学生足够的时间和空间进行深度思考和学习，在时间紧、任务重的前提下提高中考复习的效率.