例析数形结合思想指导下的数学教学实践

李 敏

江苏省泰州市口岸实验小学 225321

“形使数更直观，数使形更入微”，这是数学家华罗庚对数形结合进行的精辟诠释。数形结合作为一种应用广泛的重要思想方法，利于学生求知欲望的激发，利于学生思维空间的拓展，利于创新意识的孕育。在我国的数学教学中，历来就有重视数形结合的传统，尤其是对于小学数学教学而言，在教学的过程中重视数形结合，不仅能够让数学学习的过程更好地契合小学生的认知特点（小学生的思维方式以形象思维为主，足够的图形才能促进学生的认知），同时也能够让学生的认知得到发展——数形结合的过程，一定程度上就是将学生的思维从形象引向抽象的过程。基于此，将数形结合思想融入数学课堂教学之中，可培养学生的创新意识，打造适应现代化建设的新型人才。在之前的优课评比中，笔者有幸观摩了一节关于“数与形”的公开课，执教者将数形结合作为一个专题落实在具体的教学实践中，获得了较好的教学效果，现将自身的分析与思考做一梳理，以此就教于同行。

一、学具的合理配备让数与形完美融合

数形结合因其独具的直观、形象和简洁等特征，易被学生理解与接收。小学生数形结合思想的自然形成首先是从学具的运用开始的，它可以为抽象的数学知识提供“形”的支撑，因此，学具的合理配备非常关键。当然，要想让学生通过“形”的辅助去体验数学探究方法，绝不能以教师的“操作”去启发认同，而是应放手让学生进行再发现和再创造，从而有效突破教学重难点，深化理解知识，同时让学生探究意识和创新意识的形成自然而流畅。

片段1探索“奇数列求和”

背景分析：课本例题的背景是奇数列求和，也就是1+3+5+7+…+（2n-1）=n2。在传统教学中，教师以图1 的形式呈现其直观模型。这里的操作都是由教师一手包办的，而没有放权给学生创造，主要是因为教师对学生能否想到“下一个奇数的形状，进而得出‘口’形”不够自信。当然，探究中教师不约而同地选择利用小圆片来表示数也并非“无迹可寻”，可以追溯的是历史问题，源于古希腊人利用“小石子”的操作完成对数的研究，有了“小石子”的代替品“小圆片”。

图1

优化设计：公开课上，在这个环节中，执教者弃用惯用学具“小圆片”，而采用“小正方形”的纸片让学生去摆“1+3”，同时，该问题的探究全程只有学生的自主操作，而没有教师的任何示范，却也得到了图2 所示的两种摆法。难道仅仅是因为公开课中学生思维独创吗？

图2

事实上，该环节的设计产生效果的原因主要源于教师的“小步子”策略，当教师摆出1 时，学生接下去摆“1+3”，有学生想到正方形也不足为奇，如此一来，后添的3 个正方形自然而然地形成了“口”形。事实上，学生可以很容易地想到摆正方形，很大程度上是由于“小正方形”纸片的参与，为有效思维的落地提供了很好的帮助。由此可见，预设中过于担心学生无法形成“口”形的拼法是毫无依据的，只要学具的配备和教学策略的设计合理而适切，就可让数与形完美融合，让学生进行更本质的思考，从而有效突破学生自主构造奇数列求和的难点。

二、图形的直观性可以助力规律的发现和解释

“形”的直观利于“数”的规律的发现，这一点是毋庸置疑的，但如何合理加以应用且取得有效的结果却是值得教师深思熟虑的。同时，在具体的教学中，一些教师认为规律的解释需要思维与算理的参与，这里“形”的直观无法提供帮助。果真如此吗？事实上，通过具体的实践，我们可以发现，图形的直观性不仅可以发现规律，还可以解释规律，只要运用得当，可以帮助学生快速而准确地发现规律，解决数学问题。

片段2以配合例1 的“做一做”第2 题为例（如图3）

图3

背景分析：本题中，如果只是观察数列，学生可以很快发现其中的规律，这里无须直观的参与；倘若只是观察图形，其中的白色小正方形的规律一目了然，而蓝色小正方形的规律却有些难度。因此，在解决本题时，大部分学生是根据数列递推而得的，还有一小部分学生也是依据数列列出算式8+（6-1）×2=18，8+（10-1）×2=26。可见，数列的规律从数列的排列角度着手研究远比观察图形更快捷。既然如此，此处的数形结合又有何意义？不过，当需要阐述其中的道理时，算式和数似乎无法实现了。那么，此处的教学该如何设计呢？

优化设计：执教者在本节课的设计中没有出示本例，而是深钻教材，设计了一道低起点、高立意的数学文化色彩浓郁的实际问题“长桌宴”（如图4）。在解决问题的策略上，两道题有着异曲同工之妙，但因为有了生活情境的支撑，其中的道理似乎更加容易凸显。课堂中，教师提出问题：“为什么每增加1 张桌子，椅子就增加了2 把？”学生通过看图，很快能给出答案：“左右两边椅子数量不变，每增加一张桌子，就需要上下两张椅子将其包围住。”进一步地，很快得出数量关系“椅子数＝桌子数×2＋2，桌子数＝（椅子数－2）÷2”。

图4

以上不管是问题的回答还是数量关系的生成都是通过看图、识图而得的。从教学效果来看，正是由于图形的直观性，达到了解释规律和说明算法的双重功效，很好地诠释了几何直观，这样的数形结合的教学设计果然是具有深意的，对学生几何直观素养的培养意义重大。

三、在拓展延伸中尽显数形结合之魅力

图形的直观可以让学具的使用更加数形结合，那它的魅力的展现仅限于此吗？数形结合对于数学解题方面而言价值非常突出，图形解法不仅可以让学生更加清楚地看到题目中的各个要素，较好地把握要素间的联系，更重要的是可以让学生不受逻辑的束缚完成解题，这一点对逻辑思维较为欠缺的小学生是十分有利的。因此，教师在拓展延伸中应用数形结合，有利于学生形象思维的激发，进而使学生从数与形两个方面去思考与解决问题，拓展解题思路，提升解题效率，尽显数形结合之魅力。

片段3以拓展延伸环节的练习设计为例

练习（1）：请研究从2 开始的连续偶数的和。

2=（ ）

2+4=（ ）

2+4+6=（ ）

2.下面每个图中有多少个白色小正方形和多少个蓝色小正方形？

2+4+6+8=（ ）

……

练习（2）：用小正方形摆一摆，有何发现？

练习（3）：观察图形，你觉得从2 开始的连续偶数之和与从1 开始的连续奇数之和有何关联？请试着说一说。

练习（4）：按照图5 所示的将完全一样的梯形桌拼摆成长桌。

图5

①由50 张梯形桌拼摆而成的长桌可以安排多少人就座？

②现在要就座100 人，需要多少张这样的梯形桌？

通过练习驱动，让学生获得对新知的真正理解，能运用好新知去解决具体的问题；学生主动参与到拓展延伸环节的练习解决中去，探究问题的欲望强烈，自主自发地沟通好数与形来解决问题，充分体验到发现奥秘和成功解题的喜悦；在解题中，学生可以充分体验到数形结合的应用价值，感叹数形结合的韵味，体验数学的简约美，理性精神与创新意识均得到了很好的发展［1］。这个环节中学生的学习状态良好，能充分地参与和创新，较好地体现了“优效教学”的价值追求。

综上，由于数形结合思想与小学生的认知规律相符，是提升数学学习兴趣的良好方法，指向数形结合的小学数学教学中具备着许多渗透点［2］。因此，教师应精心研读教材和新课标的要求，合理而有效地运用好“数形结合”，指导学生学好数学。在运用数形结合思想的时候，教师要注意协调好外在形式与内在本质之间的关系，从外在形式的角度来看，数形结合强调给学生提供丰富的图形，以供学生思维架空，强调用精准的数学知识去引导学生思考，并描述自己所研究的形的结果；从内在本质的角度来看，数所描述的是形中蕴含的规律，这应当成为数形结合的重点。基于这样的思路，要将数形结合落实在具体的教学中，教师可以从学生的具体实际和教学需求出发，进行适切的引申和拓展，给足学生时间与空间，引导学生深度思考，鼓励学生沟通好数与形，以问题的决策者的身份去发现和解决问题，培养数学核心素养。