带终端角度约束的双闭环末制导律研究

高伯伦，李 剑，刘瑞恒，吕 硕，张晓宇，张庆振

（1.北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100083；2.北京九天翱翔科技有限公司，北京 100191）

0 引 言

随着导弹技术的发展，末制导技术的打击精度逐渐提升，同时现代战争对制导终端约束提出了要求，其中终端攻击角约束的研究受到了广泛关注。在舰载拦截弹攻击平飞反舰导弹时，为最大化导弹威力以提升拦截效果，对拦截弹而言，其理想的拦截方式是迎击目标，速度的夹角接近180°，产生较大的相对速度［1-3］。

经典制导律虽然可以实现较小的脱靶量，但在角度约束上仍然存在局限。为实现角度约束，基于现代控制理论和非线性控制的方法，如最优制导律［4-7］、滑模制导律［8-11］及偏置比例制导律［12-15］等制导方法被广泛研究。文献［4］研究了约束落点和落角的最优制导律，使用拉格朗日法构造了运动方程。文献［5］基于最优二次型理论改进了传统最优制导律的形式，构造了参数可变的优化目标函数，实现了角度约束并使过载减小。文献［6］研究了在制导目标任意加权的情况下最优制导律的形式，应用Schwarz不等式求解了最优制导律。文献［8］基于滑模控制理论，提出了一种分布式有限时间协同制导律，实现了终端角约束和时间约束。文献［9］提出一种基于固定时间收敛的终端角度约束滑模制导律，实现了精确拦截目标的同时对目标的指定角度实施打击。文献［10］研究了基于有限时间滑模控制理论的制导律，实现了落角约束，提高了制导系统收敛速率。文献［12］研究了偏置比例制导律，设计了自适应的幂次趋近律，达到了对落角的要求。文献［13］结合变结构控制研究了偏置比例导引律，在保证落角约束的情况下提升了制导精度。文献［14］研究了偏置比例制导律在打击地面目标中的应用，保证了加速度收敛，实现了落角约束。文献［16］针对大机动目标，将比例、积分和微分（proportional integral derivative，PID）控制与比例导引律相结合，提出了一种PID型比例导引律，提升了制导精度。文献［17］研究了拦截大机动目标的最优制导律，证明最优的制导律生成的指令信号为PID的形式。

上述基于最优控制理论和非线性控制的制导方法能够实现终端角度约束，但所分析的模型是关于过载和视线角的高阶非线性模型，在控制律设计过程中进行了近似简化。对于拦截弹等高速目标，其参数变化速度快，近似处理会产生较大误差。

针对带有终端角度要求的拦截弹末制导问题，本文重点研究了弹目相对运动的模型，提出了一种带终端角度约束的双闭环末制导律。首先，建立拦截弹数学模型，将非线性参数分离。进而设计制导律，对非线性环节引入闭环控制，通过非线性增益补偿抵消非线性环节影响，以视线角为被控量对角度进行约束。最后对制导律进行仿真分析，验证了该制导律的角约束效果。

1 拦截问题的数学模型

1.1 弹目运动关系方程

在拦截过程中，拦截弹和目标的二维相对运动关系如图1所示。其中：以水平方向作为参考；R为弹目距离；q为视线角；V为拦截弹的飞行速度；VT为目标的飞行速度；σ为拦截弹的弹道倾角；σT为目标的弹道倾角。

图1 弹目运动几何关系示意图Fig.1 Schematic diagram of geometric relationship between interceptor and target

根据运动学规律可在视线坐标系中列出以下方程：

式中：̇为弹目距离变化率；q̇为视线角变化率。

对式（1）进行简化，并进行如下替换：

式中：u表示拦截弹垂直于视线方向上的速度；v表示目标垂直于视线方向上的速度。式（1）可化为

由式（5）可知，视线角变化率是由拦截弹和目标垂直于视线方向的弹目速度决定的，因此可通过控制拦截弹垂直于视线方向的速度u调整视线角度q。垂直于视线方向的速度u并非指令加速度，需要建立加速度与u的关系。加速度与垂直于视线方向的速度关系为

式中：̇为速度变化率̇为弹道倾角变化率。对式中有特殊含义的变量做如下替换：

式中：ax表示纵向加速度；ay表示法向加速度。

式（6）可化为

式中：m(t)、c(t)表示函数参数。

在某一时刻，纵向加速度已知，视线角及其变化率已知，弹道倾角已知。法向加速度和控制量u在这一瞬间为线性关系，参数时变。通过控制法向加速度可以控制拦截弹垂直于视线方向的速度，进而控制视线角，使拦截弹以一定角度平行接近目标，实现准确拦截。

1.2 弹目运动系统框图

根据式（5）及式（9），可将弹目运动系统看做以法向加速度为输入，视线角为输出的系统，系统结构如图2所示。其中，目标垂直于视线方向的速度v为扰动。

图2 弹目运动系统模型Fig.2 Model of missile-target motion system

2 末制导律设计

2.1 比例导引律

经典的比例导引律的控制信号为

式中：kpng表示比例导引的比例系数。将这控制关系加入弹目运动系统中，使用比例导引律控制导弹运动后，系统的结构如图3所示。为实现平行接近，给定视线角变化率q̇*为0，制导律在系统中的作用相当于比例控制作用。

图3 比例导引模型Fig.3 Model of proportional navigation

2.2 视线角控制

经典的比例导引律只能对视线角变化率进行控制，为约束视线角，扩展系统结构，引入视线角反馈，扩展后的系统结构如图4所示。

图4 视线角控制框图Fig.4 LOS angle control block diagram

给定视线角为有界输入，用一阶积分器可实现跟踪，积分环节单独使用会导致稳定性变差，加入比例控制维持稳定，微分环节调整动态性能，三环节构成PID控制。外环的导引信号表达为

式中：kp为外环比例系数；ki为外环积分系数；kd为外环微分系数；q*为给定视线角；q̇*为给定视线角变化率；Δq为视线角误差。

2.3 垂直视线方向速度控制

仅通过外环控制并不能得到指令加速度，需要进一步设计指令加速度信号。

为消除目标运动的扰动，使用反馈控制，在内环中将扰动消除，系统结构如图5所示。

图5 垂直视线方向速度反馈控制框图Fig.5 Vertical line of sight speed feedback control block diagram

由于导弹速度有上限，速度u不能无限增大，需要在控制律中加以限制。为便于计算给定值u*，对系统结构进行等价变换，得到如图6所示的前馈控制结构。

图6 垂直视线方向速度前馈控制框图Fig.6 Vertical line of sight speed feedforward control block diagram

前馈量可通过弹道倾角和视线角计算获得，表达为

系统等价于图7所示形式。拦截弹所需产生的垂直视线方向的速度可表达为

式中：u*是拦截弹垂直视线方向速度的给定值。

为消除内环的非线性时变环节和外环时变环节的影响，该模型产生的控制信号表达为

式中：kin为内环比例系数；m(t)、c(t)由式（9）确定。通过补偿抵消了参数的变化，将内环化为线性时不变系统，如图7所示。指令加速度的表达形式为

图7 内环控制框图Fig.7 Inner loop control block diagram

2.4 双闭环导引律

结合视线角控制和垂直视线方向的速度控制，将导引信号加载到拦截弹上。

系统中垂直视线方向速度、法向加速度等变量的实际值受到动力学约束，取值存在上限。控制器在输出信号时加入饱和环节，限制输出。

式中：amax表示拦截弹的最大法向过载。

双闭环制导律模型如图8所示。

图8 双闭环制导律模型Fig.8 Model of double closed loop guidance law

外环控制器的输出为Rq̇*，当弹目距离缩短时输出应适当减小，因此根据弹目距离改变PID系数，设置外环控制环节的PID参数为

式中：k1、k2和k3分别为PID控制律的比例、积分和微分环节常数系数。在选择参数时可先考虑未饱和时的系统特征方程，配置合适的极点。由于视线角的微分与视线角速率是同一物理量，参数k3与kin在未饱和时是冗余的；给定速度饱和时kin可控制内环，而k3与内环被饱和环节隔离，因此设置参数时可先将k3置零配置非饱和极点，再根据饱和后的情况选择合适的k3。

3 仿真与分析

3.1 角约束效果对比

将双闭环制导律和比例导引律的攻击角度进行对比，并对双闭环制导律、带角约束的加权最优导引律［6］的角约束效果进行对比。制导过程仿真的初始条件为：末制导范围约为30 km，定义末制导开始时刻目标位置为（29 000 m，1 000 m），目标速度约1Ma，取速度VT=400 m/s，弹道倾角σT=0°，方向向左；拦截弹末制导开始时刻位置在（0，0）处，速度V=1 km/s，弹道倾角σ=30°；迎击的终端角度要求为σ*=0°，即稳态的视线角要求为q*=0°。

对双闭环制导系统的特征多项式进行分析，设置系统时间常数为1.7 s，此时双闭环制导律参数取值为：k1=-0.6，k2=-0.12，k3=0，kin=1.8；比例导引采用式（10）所示形式，要保证收敛，取参数kpng=5；所有制导律过载限制在20g以内。带角约束的加权最优制导律形式为［6］

表1为不同制导律仿真终端参数，由表1可知，以比例导引律为参考，在脱靶量方面，双闭环制导律和比例导引律的脱靶量在同一数量级（10-3m级别），而最优制导律的脱靶量较大（0.1 m级别），对于一般的反舰导弹，均在动能杀伤半径之内，能够有效拦截；在攻击角度方面，没有角度控制的比例导引有8°的误差，最优制导律将这一误差缩小了一半，将误差缩小到4°以内，双闭环制导律可以将这一误差减小到10-3°，具有明显的角度约束效果。

表1 不同制导律仿真终端参数Tab.1 Simulation terminal parameters of different guidance laws

仿真结果如图9~11所示。由图9弹道曲线可知：比例导引弹道平滑，但绕行了较远的距离且最终攻击角度较大；最优制导律为减小攻击角度误差稍提前了转向位置，攻击角度略微减小；双闭环制导律采用较小的转弯半径，最快完成了角度调整，减小了绕行距离，且较早调整了攻击角度，进入平行接近状态。

图9 三种制导律导引弹道Fig.9 Trajectories of three guidance laws

由图10过载曲线可知：比例导引律过载全程保持在10g以内，过渡平滑；最优导引律在末制导开始的一段时间，与比例导引的过载基本一致，但随着飞行时间的增加，弹目距离逐渐缩小，在制导的末段，过载快速提升，达到20g饱和；双闭环制导律在末制导开始的一段时间，产生了较大的过载，但由于饱和环节的限制，将过载限制在20g以内，在10 s后，过载基本为0，开始平行接近。

图10 三种制导律过载曲线Fig.10 Overload curves of three guidance laws

由图11弹道倾角变化曲线可知：比例导引律根据视线角速率平滑地改变弹道倾角，对弹道倾角没有约束；最优制导律在末制导开始的一段时间与比例导引的信号基本一致，但到制导末段，弹道倾角变化速度急剧上升，从而减小视线角误差；双闭环制导律在末制导开始的一段时间弹道倾角先升高后减小，在10 s左右收敛在0°附近。

图11 三种制导律弹道倾角曲线Fig.11 Trajectory inclination curves of three guidance laws

结合弹道、过载和弹道倾角的变化曲线可知，最优制导律牺牲了精度和末段过载以减小角误差，而双闭环制导律以末制导开始一段时间的高过载为代价提高角度控制能力。

3.2 不同速度目标拦截效果对比

其他仿真条件保持不变，仅改变被拦截目标的速度。反舰导弹飞行速度一般不低于200 m/s，拦截弹的目标速度一般不超过拦截弹速度的1.5~2倍。对速度为200 m/s、400 m/s、800 m/s、1 600 m/s的目标进行拦截仿真，与双闭环制导律和最优制导律的拦截效果进行对比。

仿真结果如表2及图12~15所示。由表2可知，对于不同速度的目标，目标速度越快，两种制导律的脱靶量和终端倾角误差越大。在脱靶量方面，双闭环制导律的脱靶量较最优制导律小一个数量级；在弹道倾角方面，最优制导律的终端倾角误差失控，拦截1 600 m/s目标时，误差约10°，而双闭环制导律拦截不同速度目标均能保证弹道倾角收敛，在1 600 m/s时仍然可以保证0.1°数量级的误差。

表2 不同速度目标仿真终端参数Tab.2 Simulation terminal parameters of different speed targets

由图12~14的弹道曲线可知，双闭环制导律在拦截不同速度的目标时，轨迹基本相同，利用约10 km的水平距离达到平行接近的状态，之后进行平行接近。最优制导律在拦截速度不超过400 m/s的目标时，末段曲率减小，并减小角度误差，而当目标速度在800 m/s以上时，轨迹向同一侧弯曲，且曲率逐渐增大。

图12 两种制导律拦截不同速度目标弹道轨迹Fig.12 Trajectory of two guidance laws intercepting targets with different velocities

图13 最优制导律拦截不同速度目标弹道轨迹Fig.13 Trajectory of intercepting targets with different velocities by optimal guidance law

对比图15和图16可知：双闭环制导律在末制导开始时过载较大，目标速度越快，过载饱和时间越长，变化幅度越大。对于最优制导律，目标速度低于400 m/s时，其过载在20g左右；但当目标速度在800 m/s以上时，其末段过载激增，达到饱和，不利于调整攻击角度。因此，最优制导律不适合高速目标的拦截，更适合攻击低速目标。对于双闭环制导律，其仅在制导开始一段时间产生较大过载，在10 s左右收敛到1g以内；饱和环节对过载进行了限制，初段过载虽然较大，但仍然不会超过20g，由于系统时间常数是1.7 s，饱和非线性会使系统收敛速度略微变慢，因此收敛时间约10 s，对不同速度的目标，末制导留有足够的时间即可实现角度约束。

图15 最优制导律拦截不同速度目标过载曲线Fig.15 Overload curve of optimal guidance law intercepting targets at different speeds

图16 双闭环制导律拦截不同速度目标过载曲线Fig.16 Overload Curve of Intercepting Target with Different Velocity by Double Closed Loop Guidance Law

图14 双闭环导引律拦截不同速度目标弹道轨迹Fig.14 Trajectory of Intercepting Target with Different Velocity by Double Closed Loop Guidance Law

图17明确地表示了弹道倾角的变化情况，双闭环制导律在拦截不同速度目标时弹道倾角均在10 s左右收敛于给定值，最优制导律拦截低速目标时能够在末段调整攻击角度，而在拦截高速目标时弹道倾角发散。

图17 两种制导律拦截不同速度目标弹道倾角曲线Fig.17 Trajectory inclination curve of two guidance laws intercepting targets with different velocities

3.3 不同参数效果对比

由于外环微分系数和内环比例系数的冗余，之前的仿真中切除了外环微分环节，本节则对不同外环微分系数的仿真结果进行对比。与3.1节中仿真条件一致，取k3为不同数量级，对10-3~10-2之间的6个数量级进行仿真。

仿真结果如图18~19及表3所示。由图18可知：当k3在10-2数量级以下时，对拦截过程影响较小；k3在10-1和100数量级时，轨迹趋势不变，但弹道更平滑；k3在101数量级以上时，运动轨迹更直，但角度约束效果明显下降。由图19过载曲线和表3知，k3在101数量级以上时，过载变化剧烈，攻击角控制能力减弱，甚至出现振荡，影响稳定性。适当的加入微分环节可以减少过载饱和的持续时间，但会增加视线角收敛的时间。在拦截时间充分的情况下可适当加入微分环节，以减少拦截弹的过载。

表3 不同外环微分系数仿真终端参数Tab.3 Simulation terminal parameters of different outer ring differential coefficients

图18 不同外环微分系数导引弹道Fig.18 Guided trajectory with different outer ring differential coefficients

图19 不同外环微分系数过载曲线Fig.19 Overload curve with different outer ring differential coefficients

4 结束语

本文针对反舰导弹拦截制导的角度约束问题，提出了一种带终端角约束的双闭环制导律。通过视线角速率反馈使视线角速率稳定，引入视线角反馈实现视线角约束，使用饱和环节限制过载范围。进行两组仿真验证，结果表明：①该制导律可实现视线角约束；②该制导律以末制导开始一段时间的高过载为代价，实现角约束，并提供了更平滑的末段弹道；③该制导律在拦截高速目标时仍然可以保持良好的拦截效果和角度约束效果；④该制导律的外环控制律中适当加入微分作用可以使弹道更平滑。

本文提出的双闭环制导律具有4个可调参数，设置不同的参数可以产生不同的角约束效果和脱靶量，在后续研究中可以分析参数的选择方法，并研究制导律推广到三维空间的形式。