打通关联类比迁移进阶思维——以“分数乘除法”串讲复习为例

文|周 良

一、在多元表征中沟通分数乘除法的算理

分数乘除法的算理和法则历来是学习的难点，学生会按照法则进行计算，但对算理的理解和法则的得出不理解。因此，在复习时让学生再次理解算理并沟通分数乘除法之间的联系显得很有必要。

1.复习分数乘法计算。

师：你是怎么想到被除数和除数要同时乘除数的倒数，而不是乘另外的数呢？

生：因为只有除数乘它的倒数，这样算式中的除数才能变为1，这样就可以看成除以一个数等于乘这个数的倒数了。

二、在题组类比迁移中明晰分数乘除法的数量关系模型

1.教材分析。

分数乘法计算教学后，教材安排了“求一个数的几分之几是多少”和“求比一个数多（少）几分之几是多少”与之对应，分数除法计算教学后，教材安排了“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”和“已知比一个数多（少）几分之几是多少，求这个数”与之对应。

2.本质联系。

分数乘除法的数量关系本质上是倍数关系，与之前的学习区别在于以前学生遇到的是整数倍、小数倍，现在改为了分数倍，其实质不变。这几组关系中，最本源的是“求一个数的几分之几是多少”，“求比一个数多（少）几分之几”是在其基础上多了一步计算。而分数除法的两种类型从方程意义上来理解，它的数量关系还是分数乘法关系。因此，我们完全可以借助倍数让学生理解分率含义，迁移倍数的数量关系模型而建立分数乘除法的数量关系模型。

3.模型建立。

（1）从“求几倍是多少”到“求几分之几是多少”再到“已知几分之几是多少，求这个数”。

①水果店有苹果60 千克，香蕉是苹果的2 倍，香蕉有多少千克？

②水果店有苹果60 千克，香蕉是苹果的1.2 倍，香蕉有多少千克？

从整数倍数得到“一倍数×倍数=几倍数”这一数量关系模型。接着变整数倍为小数倍数、分数倍数，沟通倍数与分率的内在联系，迁移建立“一个数的几分之几是多少”的模型。

从整数到小数到分数，学生顿悟：原来换汤不换药，其实质都是“香蕉的质量=苹果的质量×几倍”，这里的“几倍”有可能是整数、小数，也有可能是分数，当它是分数时，一般都说谁的几分之几，“倍”字省略而已。

师：这一题与前面题目有什么异同？

生：不同的是前面三题都是告诉我们苹果的质量，求香蕉的质量，这题是告诉香蕉质量，求苹果的质量。

生：这四题都告诉我们“香蕉是苹果的x 倍”，也就是“香蕉的质量=苹果的质量×x”，数量关系式都一样。

（2）从“求多几倍是多少”到“求多几分之几是多少”再到“已知多几分之几是多少，求这个数”。

①水果店有苹果60 千克，香蕉比苹果多2 倍，香蕉有多少千克？

②水果店有苹果60 千克，香蕉比苹果多1.2 倍，香蕉有多少千克？

从整数多2 倍开始，画出线段图，从图示中容易看出，“香蕉比苹果多2 倍”换句话说就是“香蕉是苹果的3 倍”，同理，小数、分数也是这样道理。因此，提炼出如下等量关系：

师：（小结）万变不离其宗，关键是我们要抓住两个量之间的等量关系。

复习课不是简单的“整理知识+配套练习”，要在知识的相互关联上下功夫，帮助学生把这些知识有机串联起来，着力发展和提升学生的思维能力，实现思维进阶。