培养估测意识发展空间思维——《不规则图形面积》素养进阶习题展评与教学建议

文|叶 青 宋煜阳

一、习题展评

●习题一

1.习题内容。

下面的不规则图形用哪种图形来估测面积比较好？（ ）

2.能力指向。

为不规则图形寻找合适的测量标准。呈现同一个不规则图形的不同转化策略，考查学生对平面图形转化的直觉判断能力。

3.学情分析。

对城区小学44 名学生进行了后测。本题正确选项为A、B、C，有95. 5%的学生选择A，选择B、C 的相对较少。学生对于面积大小估计存在空间视觉上的偏差，也反映出学生将不规则图形转化成组合图形的估计意识相对较弱。

●习题二

1.习题内容。

林林制作了一朵花的标本，正在填写标本说明。这朵花的面积是多少？他犯愁了，如果将标本用方格图（图1）进行测量，你能帮帮他吗？

图1 一格表示1cm2

2.能力指向。

确定不规则图形面积区间值。考查学生将不规则图形想象成规则图形的意识水平和估计面积范围的适切水平。

3.学情分析。

学生会有以下三种解题思路。思路一：把不满一格的也按整格计算，这朵花的面积是24cm2。思路二：把花朵图案近似转化成梯形（如图2），列式：（3＋5）×5÷2＝20（cm2）。思路三：满格的有9 格，不是满格的有15 格，如果把不满一格的都按半格计算，这朵花的面积大约是16.5cm2。

图2

测评统计显示，有半数以上的学生采用思路三，可见用数格子的方法比较直观，易掌握。而采用思路二的学生占40.9%，将不规则图形转化成基本图形的过程中，学生关注了形的相似度，而忽视了转化前后图形面积的差异度，常常会往大了估，思路一也暴露了这一点。这类错误实质上是学生对于图形面积区间度分析能力还有欠缺。

●习题三

1.习题内容。

天一广场是宁波的商业时尚坐标地，已知天一广场周边的亚细亚广场的面积大约为1.3 公顷，请画一画并估一估天一广场的（图3）面积是多少？

图3

2.能力指向。

真实情境下估测策略的运用。考查学生的推理能力和空间意识，能运用已知信息作为估测标准，自主构造方格图进行估测。

3.学情分析。

根据学生解决问题的具体表现，划分为五个水平层次，如表1。

表1

测试班级有47.7%的学生停留于水平2，主要反映为：（1）信息提取能力较弱，对于唯一的已知信息“1.3 公顷”与最终需要解决的问题之间的关系没有理清；（2）分析问题思路受限，47%的学生能借助格子图进行思考，但没有将“1.3 公顷”确定为估测标准，割裂了亚细亚广场面积与一个格子面积之间的内在联系，标准未能实现统一。达到水平4 的学生为20.5%，说明在估测策略的综合运用上有较大的困难。

二、教学建议

1. 积累“割补”经验，丰富空间认知能力。

估测不规则图形面积的基本方法是根据图形的特点将其转化为规则图形。一方面，由于学生对于长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积计算方法的熟知，导致在具体的转化过程中，容易使思路往某一个规则图形发展。另一方面，由于组合图形的面积计算对于学生而言寻找必要的信息是一个难点，学生往往会从心理上进行规避。而“转化”是否合理的第一直觉就是转化前后的图形很像，大小差异不大。为此，需要提供给学生不规则性更明显的图形，促使他们难以直接关联到某一个规则图形，只能进行多次割补形成组合图形，不断积累“割补”的经验，提升转化能力，实现看到不规则图形能立刻将其分割成若干个基本图形，提高空间认知的敏锐度。

2.渗透“区间”思想，丰富空间想象能力。

不规则图形面积的估计过程是一个空间想象的过程，它需要经历将观察到的几何图形在脑海中进行分解再组合。而其分解再组合的目的就是不断缩小面积范围寻找区间，进而逐步逼近准确面积。这个过程可以借助格子图，格子图能辅助学生的空间感实现从无形到有形。如花标本的面积估计，将此标本置于格子图中，学生的视觉能依托横纵线的对比缩小实际面积范围，通过对不满格留空面积的多少进行估计来确定面积区间，最终实现使估计范围值更接近准备面积的目的。

3.优化“估策”意识，丰富空间思辨能力。

现实生活中不规则图形随处可见，解决此类问题的关键在于如何提取和分析相关信息以及对应策略。问题的真实性、挑战性能成为促动学生空间思维辨析，估测策略完善的内驱力。如天一广场面积的估计，挑战性体现在：其一，天一广场地形为不规则图形且与规则图形差异较大，学生无法进行直接转化；其二，仅提供亚细亚广场面积，两个广场面积之间的联系需自主建构。在开放性问题中，学生在估测策略的初步提出、自我否定、再次完善中不断自我思辨，经历了估测标准的确立，估计范围的精缩。这样的体验能提升学生的策略优化意识，发展空间思维能力。