新课程标准视域下提升运算能力习题设计例谈

文 李 勤（特级教师）

习题设计是教学活动的重要组成部分，也是学业质量的重要保证。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》学生核心素养指向“三会”，基于新课程标准理念，习题设计需打破原有“数学就是多做题”的传统观念，关注数学的本质，关注通性通法，体现学生经历“重计算结果转向关注算法算理，从单一知识点学习转向运算体系结构化，由固定型思维转向成长型思维”的学习过程，发展核心素养。

运算能力一直以来是数学学习的一项关键能力。新课程标准在小学阶段和初中阶段均提到了“运算能力”，小学阶段在运算能力发展上侧重对经验的感悟，初中更侧重对概念的理解。运算能力培养长期以来容易被教师或家长看作为纯粹的技能训练，通过反复操练，提升计算熟练度，就是发展了学生的运算能力，对运算能力的理解存在误读。

在核心素养培养背景下，运算教学应打破以往单一机械练习模式，帮助学生发现知识间的联系，形成整体知识结构。那么，习题设计如何从数学基本概念出发，帮助学生建立知识联系，对数学知识结构有一个清晰的认知，从知识的本质入手举一反三、融会贯通，在算理理解与算法归纳中发展分析、概括和创新思维？笔者结合具体实例做出简析，与广大同仁就提升小学数学运算能力习题设计进行交流。

一、习题的结构表达，彰显运算本质的一致性

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：习题的设计要关注数学的本质，关注通性通法。数的运算的学习，蕴含在各个年段，并且相互关联，由浅入深，螺旋上升，构成相对系统的知识结构。由于每个年段在数的运算学习时都有侧重点，教师设计习题时，往往会聚焦本年段新知学习与传授，易出现“知识本位”，呈现出“例题——习题”的单向结构与“学——练”的简单即时的学习模式，缺乏设计对未来学习有支撑意义的结构化的数学习题。培养运算能力指学生在理解运算法则和运算律基础上，进一步明晰运算的对象和意义，感悟算法与算理之间的关联，面对不同的实际问题，学会用合理简洁的运算策略解决问题等。习题结构化设计，可以将知识进行系统梳理和沟通，把零碎的知识点串联成一条线，关注数学的本质，关注法理互融，引发学生感悟数学知识的整体性，建立起有意义的知识结构，形成严谨思考问题的品质。

苏教版四年级下册《三位数乘两位数》是小学阶段整数四则运算的最后一个单元，教师设计如下习题。

下图是二至四年级以来教材例题中我们所学的整数乘法竖式。观察这些乘法竖式，想想整数乘法的学习历程与联系，再列竖式举例说说三位数乘三位数、（ ）位数乘（ ）位数怎样计算？

数的运算习题设计关注点要落在理解算理、掌握算法和数与运算之间的关联上。上题教师引发学生从二年级的《表内乘法》到三年级上册《两、三位数乘一位数》、三年级下册《两位数乘两位数》、四年级下册《三位数乘两位数》，在观察、回顾中发现虽然乘数的位数发生着变化，但算理和算法本质上是一致的，让学生在此基础上，大胆设想还可以算几位数乘几位数，感悟数与运算之间的关系，用已有学习的知识经验、策略方法迁移到未知学习中，找到新旧知识之间的关联，体会数的运算本质上的一致性，发展运算能力和推理意识。

二、习题的符号表达，感受数学结论的一般性

小学阶段核心素养的主要表现并不是孤立的，是存在交叉、关联、融合的。数学符号，以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容，是学生初步形成抽象能力和推理能力，感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体。习题呈现从具体的算式改为用符号表示数或者运算过程、计算结果，促使学生通过基于符号的运用和推理，理解数与运算的关系，从中感悟数学结论的一般性，建立符号意识。

例如：列竖式计算“432×□□”时，究竟是第一步的计算结果A 大，还是第二步的计算结果B 大？丁丁、乐乐和小宇三位同学给出了不同的观点（如下图）。你赞成谁的观点？在对应的□里画“√”，并说说你的理由。

此题中，仅能看出是一道三位数乘两位数的算式，计算过程分别用4 个□和3 个□表达，学生容易只看方框个数判断A、B 的大小，觉得丁丁观点正确。此题辨析的关键是理解三位数乘两位数算理依据，两位数个位上的数最大是9，9 乘432 是9 个432；十位上最小是1，表示1 个十，10 乘432 是10 个432，根据数位上数的含义及算法，由此得出A

再如：

想一想，填一填。

此题设计，我们依然不能看到完整的算式，呈现的都是两位数乘两位数，需要学生从两位数乘两位数积的范围和已知数相乘情况进行辨析，两位数乘两位数积可能是三位数也可能是四位数，上面三道算式均符合两位数乘两位数积的范围。这时，需要聚焦已知数与积之间的关联。可以看到，①、③两道算式中已知数与积存在合理关联，第②题通过估算可以发现，二十几与二十几相乘不可能是四位数，由此判断第②题的结果一定是错的。在习题的符号表达设计下，学生首先对问题情境加以识别，然后对问题的结构、路径等做出判断，调取以往学习的知识储备，寻找解决问题的突破口，对应已有的知识模型解决当前的问题，或者建构新的数学模型，提升运算能力。

三、习题的分层表达，实现数学能力的发展性

运算能力是小学数学学习中的关键能力。所谓关键能力，是指学生在处理各种事件的能力中占据着主导地位、起着主要作用的能力。运算能力的培养，不仅在计算教学中，还要在较复杂的真实情境中，学生能够选择恰当的运算方法解决问题，通过分析比较、抽象概括，运用自己的思维来对数学问题进行区分和分析，从数学概念、原理及法则之间的联系出发，以整体的、联系的、发展的眼光看问题，找到解决问题的突破口，在问题解决中发展辩证思维和创新思维等高阶思维，形成科学的思维习惯，发展核心素养。

1.判一判：下面的问题哪些能用算式15×5×2 解决，能的在□里打“√”，不能的在□里打“×”。

2.改一改：试着改变一个条件，让它也能用算式15×5×2 解决。

3.编一编：看到这个算式，你还能写出哪些生活中有趣的数学故事？在下面写出一个能用算式15×5×2 解决的数学故事并与你的同伴分享吧。

这道习题有三个层次，分别是“判一判”“改一改”“编一编”，每一个层次指向学生不同的数学学习能力。“判一判”让学生从数学算式“15×5×2”出发，依据算式的含义，观察、比较提供的四种情境，分析其中的数量关系，寻找它们的共同点，进而抽象为一组数量关系或一个乘积模型，理解这些数量关系虽然名称不同，但本质相同，体现出由“繁”到“简”的思维过程，为学生的数学知识生长找准基点，发展学生初步的抽象思维。“改一改”环节，需要学生在判断找到“植树节”这一情境不符合15×5×2 算式含义后，进一步思考需要修改哪一个条件就能符合该算式。并且想到将“如果每5 人栽1 棵树”这个条件替换为“每1 人栽5 棵树”，实现问题解决。“改一改”环节，学生不仅能将算式表达的含义与题中数量关系联系起来，还要根据算式含义找到合适的条件，学生经历数学观察、数学思考等学习过程，增强解决问题的能力，培养思维的严谨性和逻辑性。“编一编”环节，让学生开拓了思维空间，增强了习题的探索性，使学生认知结构不断得到完善和发展，是数学知识在较高层次上的应用。由于学生编题时，依据算式15×5×2 的含义，主动思考数学条件和问题的联系，选取生活中的素材，用数学的眼光观察现实世界，经历数学表达、迁移运用等学习过程，提升学生内容分析能力和数学结构应用能力，促进逆向思维的发展。

四、习题的溯源表达，体现数学思维的深刻性

《荀子·大略》中提到：“善学者尽其理，善行者究其难。”数学学习，不能局限于课本，要对学习内容进行整体建构，从数学学科本质的视角展望未来学习，为学生今后自主建构知识体系提供强有力的支撑。提升学生的运算能力，习题设计还要追本溯源，追溯数学发展史，帮助学生知晓数学知识的产生与来源、价值与意义等，感受数学学科特征，从数学本质上深刻理解，对数学概念的现实背景与数学学科后续发展有所了解，继承和发扬中华优秀传统文化，渗透数学的文化属性。

每个国家的古老文明都孕育着灿烂的数学文化，比如我们熟悉的乘法竖式。你知道吗？现在的这种乘法形式是经过千百年的演变才形成的！今天就让我们一起来欣赏乘法竖式的演变过程吧！如下图所示，145×12 的算法有这么多种形式，同学们，你们看懂其中的奥秘了吗？如果你还不明白，可以上网找找相关资料。

试一试：先任意选择一、两种方法算一算（在方框里画“√”），再竖式验算一下。

现在教科书呈现的乘法竖式的写法是人们经过长期实践后优化形成的。千百年来，古人在计算中不同方式的表达，不仅展现了古人的智慧，也蕴涵着深刻的数学思想，在不同算法表达下体现了算理间的融通。这样的习题，学生数学理解不再停留于对数学规律的浅层理解，引发学生追本溯源，挖掘知识背后的本质，探寻知识潜藏的道理，沟通知识间的内在联系，知法明理，做到知其然且知其所以然，帮助学生学会清晰、深入、合理、全面地思考问题，在解题的过程中，学生或许能获取关于乘法的灵感，在几种算法基础上进一步思考探秘，甚至形成自己富有创造性的计算方法，提升学生思维的深刻性，发展数学素养。

五、习题的开放表达，丰富数学学习的实践性

习题的单一、枯燥，脱离现实，结果唯一，容易让学生产生反感的情绪。激发学生主动学习，乐于实践，享受探究，需要在思考习题设计内涵的同时还要关注习题呈现的方式。习题设计可以通过巧妙的形式、深刻的内涵、开放的空间让学生感到兴致盎然，主动思考，能够面对挑战时敢于质疑问难，在不断实践过程中发现和提出问题，灵活运用观察、猜测、计算、推理、验证等方法分析和解决问题，熟练掌握数学的基础知识和基本技能，理解数学的思想与方法，丰富数学的基本活动经验，形成良好的思维品质的同时发展积极的情感、态度和价值观。

自主编题：

从11、23、68、14、55、70 这六个数中任意选择两个数编成一道乘法算式，将符合要求的乘法算式写在对应的方框里。（温馨提示：可以采用口算、笔算或估算验证结果）

（1）按照要求编题。

（2）编写进位乘法时，上面的6 个数中，你一定不会选用哪个数？为什么？

此题虽然有要求，但是提供给学生六个数，学生可以任意选择两个数编成一道乘法算式，在开放的情境中考查学生的运算能力、推理能力、思维能力和综合能力。学生在排列组合算式过程中逐渐建立整体的计算体系，让每个算式都不在孤单，进一步感受到数学知识具有系统性和整体性的特点。第二个问题中不会选用哪个数的提出，让学生产生了认知冲突，激活了学生的学习动机，促进学生积极探究，聚焦对数的特点和两位数乘两位数算理的思考。进而发现一定不会选用的数是11，因为1 乘任何不为0 的数都等于它本身，在两位数乘法中，各个数位上的数与1 相乘的结果最大是9，不可能有进位。

习题设计的开放，依然始终关注学生运算能力和推理意识的形成和发展，在开放的问题情境中凸显学生主体地位，满足学生个性化、多样化的学习和发展需求，通过实际问题和具体计算，运用知识间蕴藏的规律建立知识联系并形成整体和辩证性思维，提高解决问题的能力，发展初步的应用意识。

当然，提升学生小学数学运算能力的习题设计还可以体现在趣味性、综合性、真实性、跨学科性等方面，努力使学生摆脱枯燥单一的机械式训练，避免计算的盲目性，将视角聚焦在学生学习过程中的“关键点”和“困惑点”，找准学生运算能力提升的“切入点”和“关键点”，教师从旧有的数学知识本位的学业质量观，走向素养本位的新的学业质量观，学生运算能力、符号意识、模型意识等在应对和解决各种不确定的真实现实问题或任务中逐步提升，数学知识、方法和价值得到了不断整合和重构，帮助学生认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律，发展实践能力和创新精神，形成和发展核心素养。