一种拉伸式准零刚度隔振系统的设计和特性分析

2022-12-20吴少培李国芳丁旺才

噪声与振动控制 2022年6期

何波，杨康，吴少培，李国芳，丁旺才，张龙

（兰州交通大学机电工程学院,兰州 730070）

近年来，随着人们对振动认识的不断加深，振动的有益性得到了很好开发。如在医疗器械方面可以利用超声波诊断出多种疾病；振动产生的波速可以用来勘测地下矿产。但是大多数情况下，振动会对人类的生产、生活造成负面影响，如振动产生的噪声会对人体的听觉器官、神经系统等造成不同程度的损害；振动还会对精密仪器的灵敏度造成影响。线性隔振理论表明：只有当系统的激励频率大于倍的固有频率时，系统才有隔振效果。要减小系统的固有频率可以增加质量或减小刚度，质量增加使得制造成本增加；刚度减小固有频率降低，隔振效果越好。但是，低刚度会引起很大的变形，隔振系统容易变得不稳定。因此，在不影响承载能力的前提下，构造出具有低频隔振效果的隔振系统意义非凡。近年来国内外学者对准零刚度隔振系统做了大量研究，最早，Molyneux[1]采用倾斜弹簧作为负刚度机构与竖向线性弹簧并联组成准零刚度隔振器，通过调节负刚度机构，使得系统不仅具有较高的承载能力，还实现了较低的动刚度。Alabuzhev等[2]在原有线性弹簧的基础上引入了负刚度机构，对其结构和动态响应做了较为全面的分析。Carrella等[3]提出了一种三弹簧结构，采用两根倾斜的弹簧产生负刚度，与提供正刚度的竖向弹簧并联实现了准零刚度。可以通过调节竖向弹簧和倾斜弹簧的预变形量，实现对准零刚度平衡位置和承载能力的调节。Kovacic等[4]研究了这种三弹簧结构，并在非对称作用下对该系统进行动力学分析，研究了周期倍化分岔的出现以及如何发展为混沌运动。在准零刚度的研究中利用不同的负刚度机构设计出了多种隔振系统，Valeev等[5]把碟形弹簧作为负刚度机构应用于准零刚度隔振结构中。Shaw等[6]将双稳态复合板与螺旋弹簧并联组成准零刚度隔振器。Zhou等[7]利用电磁系统所提供负刚度设计了一种频率可调的准零刚度隔振器。Lu等[8]设计了一种以欧拉压杆为负刚度机构的准零刚度隔振器。

杨雪锋等[9]为解决低频振动对康复机器人的影响，在康复机器人下肢足部安装了由负刚度拉伸弹簧并联线性正刚度弹簧的准零刚度隔振器，该研究实现了对下肢机器人足部低频振动的有效衰减。Thanh等[10]把准零刚度隔振器应用到汽车座椅上，通过理论分析和对装配零件实测数据分析确定了系统在平衡位置处的参数。实验表明，准零刚度车载隔振系统在0～4 Hz 低频段与传统隔振器的座椅相比，隔振效果显著，舒适性大幅度提高。闻荣伟[11]提出了一种应用于大型精密仪器、基于洛伦兹力致动器主动控制负刚度的微振控制策略，有效减小了振动对大型精密仪器的损坏程度。刘吉晔[12]将SD 振子模型应用于浮置板轨道系统，大幅提高了浮置板轨道的低频隔振性能。

本文在前人研究的基础上，构造了一种拉伸式准零刚度隔振器。首先，对准零刚度隔振系统进行静力学分析，提出了实现准零刚度的条件及具体参数；其次，建立了系统的非线性动力学方程，采用谐波平衡法求解了系统的动力学响应和多稳态区域，研究了系统多稳态区域及隔振有效范围与参数关联关系，最后运用胞映射进行验证，分析了系统参数和激励幅值对幅频响应和力传递率的影响。

1 准零刚度隔振系统模型的建立及静力学分析

1.1 准零刚度隔振器模型的建立

该隔振系统主要由一个竖向压缩弹簧和一对横向拉伸弹簧组成，竖向压缩弹簧提供正刚度，一对横向拉伸弹簧在拉伸过程中具有负刚度特性，采用正负刚度并联的原理在平衡位置实现零刚度，既保留了正刚度机构的高承载能力，又显著降低了系统的动刚度，使得系统的隔振频带向低频延伸，实现低频隔振的目的。本模型采用三维建模软件SolidWorks进行设计，准零刚度隔振器模型、负刚度系统和力学模型分别如图1(a)、图1(b)、图1(c)所示。

图1 准零刚度隔振系统

其中，1为承载台，2为竖向压缩弹簧，3为底座，4为滑块，5为向拉伸弹簧，6为轴，7为销，8为车轮，L为旋转杆插销的长度，L0表示未受力时横向拉伸弹簧长度的一半，横向拉伸弹簧的刚度为ka，竖向压缩弹簧的刚度为kb，h表示初始位置与水平面的垂直距离，角θ表示任意位置时旋转杆插销与水平拉伸弹簧的夹角。F为竖向压缩弹簧和一对横向拉伸弹簧产生的弹性力的矢量和。

1.2 静力学分析

对准零刚度隔振系统进行静力学分析，则系统弹性力的模为：

满足关系式：

得到式（1）无量纲化关系式为：

对式（4）求导，可得其无量纲刚度表达式为：

式中：α为横向弹簧的刚度与竖向弹簧刚度的比值；λ为初始位置时旋转杆插销的长度与横向拉伸弹簧长度一半的比值。

由式（6）得到系统在平衡位置实现准零刚度（Quasi-zero-stiffness，QZS）的参数条件为：

由式（4）和式（5）可以得到刚度比α=0.8、长度比变化时，系统的无量纲力-位移曲线、无量纲刚度-位移曲线分别如图2（a）、图2（b）所示，长度比λ=1.45、刚度比变化时系统的无量纲刚度-位移曲线如图2(c)所示。

从图2（a）、图2（b）可以看出，λ=1.65时，系统表现出双稳态特征，理论上讲系统可在静平衡位置保持不动，但是任何微小的扰动都会使系统偏离零点，进而破坏系统的平衡状态，使系统进入其他稳定平衡状态，系统表现为双稳态特性。λ<1.45 时，系统的刚度为正值；λ=1.45 时，竖向压缩弹簧提供的正刚度与一对横向拉伸弹簧产生的负刚度在平衡位置刚好抵消，无量纲刚度为零，系统恰好处于准零刚度状态；1.45<λ≤1.65时，系统在平衡位置的刚度由零变为负值。λ为初始位置时旋转杆插销的长度与横向拉伸弹簧长度一半的比值，故λ>1。在实际工程中，刚度一般取正值，要实现准零刚度长度比λ应满足1.05<λ≤1.45。从图2（c）可以看出，λ=1.45 时，该系统在=0 处刚度最小且关于=0 左右对称。α<0.8 时，系统的刚度为正值；α>0.8 时，系统的刚度为负值；α=0.8 时，系统的刚度为零，这表明竖向弹簧提供的正刚度与横向拉伸弹簧产生的负刚度恰好能相互抵消，实现了零刚度。在实际工程中，刚度一般取正值，要实现准零刚度，刚度比α应满足0.5<α≤0.8。

图2 长度比、刚度比变化时无量纲力-位移、刚度-位移曲线

2 简谐力作用下准零刚度隔振系统的幅频响应分析

2.1 动力学微分方程的建立

将式（4）、式（5）代入式（8）得到：

在满足准零刚度的条件下，将式（6）代入式（9）得到：

如图1(c)所示，准零刚度隔振系统承载质量为m的被隔振物体后，受到重力作用到达静态平衡位置且满足准零刚度特性。此时，被隔振物体的重量完全由被压缩的竖向弹簧支撑，故被隔振设备质量m满足条件：

对系统施加简谐作用力f=fcos(wt)，建立系统的非线性微分振动方程如下：

对式（12）进行无量纲化得到：

2.2 谐波平衡法求解动力学微分方程

对式（13）采用谐波平衡法并忽略高阶谐波求其稳态响应解，设式（13）的稳态响应解为e=Acos(Wτ+φ)，A是响应幅值，将稳态响应解代入式（13）得到准零刚度隔振系统的谐波响应幅频特性方程为：

由式（14）可以得到：

当阻尼比ξ很小时，向下跳跃频率Wd对应的响应幅值是最大值Amax，此时，得到：

式（17）是关于A2的一元二次方程，解之得到：

将式（18）代入式（17）得到系统的下跳频率Wd为：

采用近似法求解上跳频率，令ξ=0，=0，解之得到：

将式（20）代入式（17）得到系统的上跳频率Wu：

由式（19）和式（21）得到系统的多稳区域：

阻尼比ξ=0.04，非线性项γ=1.25，激励幅值=0.02时，得到了系统幅频特性曲线并与数值方法所得结果进行对比，如图3所示。

图3 准零刚度隔振系统幅频特性曲线

从图3 可以看出，用谐波平衡法和数值方法得到系统的幅频响应基本吻合。向右扫频：频率比从零开始缓慢增加，则响应幅值将从1点连续变化到2点，2点为鞍结分岔点，对应的幅值记为最大值Amax。在鞍结分叉的诱导下响应幅值从2 点瞬间跳跃到3点，2 点对应的频率称为向下跳跃频Wd。频率比继续增大，则响应幅值从3 点沿着分叉在其诱导下响应幅值从2点瞬间跳跃到3点，2点对应的频率称为向下跳跃频Wd。频率比继续增大，则响应幅值从3点沿着坐标轴正向连续移动到4 点。向左扫频：随着较大值处的频率比减小，响应幅值从4 点开始沿着坐标轴的负方向连续变化到5点，5点为鞍结分岔点，在鞍结分叉的诱导下响应幅值瞬间从5 点跳跃到6点，5点对应的频率称为向上跳跃频率Wu。从6点开始频率比继续减小，响应幅值从6 点沿着坐标轴负方向减小。当WWd时，系统处于稳定平衡状态；当Wu

图4 胞映射

阻尼比、非线性项、激励幅值变化时，系统的幅频特性曲线分别如图5（a）、图5(b)、图5（c）所示。

图5 阻尼比、非线性项、激励幅值变化时的幅频响应曲线

2.3 稳定性判别

从图（3）可以看出，准零刚度隔振系统存在多态共存，会发生频率跳跃。其中两个稳定解和一个不稳定解可根据目标周期轨道镇定化。因此，有必要对系统的稳定性进行判别。在进行稳定性判别时，采用马蒂厄方程，首先引入一个非常小的扰动项，设系统的稳态响应解=Acos(Wτ+φ)+，则：

将式（23）、式（24）代入式（13），得到马蒂厄方程如下：

将式（26）、式（27）代入式（25）得到：

将式（29）、式（30）代入式（28）得到：

联立式（31）、式（32）得到准零刚度隔振系统的稳定性判别条件如下：

若系统的判别式的值Δ<0，则系统处于不稳定状态，在幅频特性曲线中表现为频率的跳跃；若系统的判别式Δ>0，则系统处于稳定状态。由式（33）可得系统在不同激励力下的稳定边界和幅频响应，如图6所示。

从图6 可以看出，阻尼比、非线性项一定时，随着激励幅值的增加，隔振系统的响应幅值逐渐增加且共振频率增加，但是稳定边界不受影响；该系统共有3个周期响应解，其中两个是稳定解，分别为上支稳定和下支稳定，另一个不稳定解是中支不稳定；幅频响应曲线落在不稳定区域对应系统的不稳定解。

图6 激励幅值变化时的稳定边界和幅频响应曲线

3 准零刚度隔振系统与线性系力传递率对比分析

力传递率定义为经准零刚度隔振系统传递到刚性基础力的幅值和激励幅值的比值，则力的传递率为：

去掉负刚度后，该隔振系统变为线性隔振系统，其力传递率表达式为：

激励幅值、阻尼比、非线性项变化时系统的力传递率曲线分别如图7（a）、图7（b）、图7（c）所示。

从图7（a）看出，当阻尼比ξ=0.2、非线性项γ=0.53 时，激励幅值对线性隔振系统没有影响。激励幅值f=0.38时，由式（19）表示的准零刚度系统的起始隔振频率比为0.73，相比于线性系统，准零刚度系统的起始隔振频率低，峰值有效减小。随着激励幅值增加，准零刚度隔振系统的共振峰值增大，系统更容易跳跃，系统的起始隔振频率也变大。随着激励幅值变大，系统表现出的非线性越强，力传递率的共振峰值越大，可能会导致准零刚度隔振系统比线性隔振系统效果差。因此，准零刚度系统在较小激励幅值条件下隔振性能更好。但是在高频区激励幅值对准零刚度系统的隔振性能影响不大。

从图7(b)可以看出，当激励幅值f=0.38、非线性项γ=0.53 时，随着阻尼比的增加，线性系统的共振频率没有变化，共振幅值逐渐减小；而准零刚度隔振系统的共振幅值和起始隔振频率越低，系统的隔振频带被拓宽，跳跃区间逐渐减小。因此，在低频区较大的阻尼比有利于提升准零刚度系统的隔振性能，但是在高频区，阻尼比对准零刚度系统的隔振性能影响不大。

从图7(c)可以看出，当激励幅值f=0.4、阻尼比ξ=0.2时，随着非线性项的增加，准零刚度隔振系统的向右弯曲程度增加，起始力传递率值和共振幅值变小，但是共振频率增加，系统的隔振频带减小了，不利于低频隔振。因此，取适当非线性项的值有利于提高隔振性能；在高频区，非线性项对准零刚度系统的隔振性能影响不大。