室内四索牵引定位与索长求解

2022-12-19何永勃赵宝玺

中国民航大学学报 2022年5期

何永勃，赵宝玺

（中国民航大学电子信息与自动化学院，天津 300300）

目前，四索牵引技术广泛应用于CableRobot 模拟器[1-2]、病人肢体康复训练[3]、柔索并联驱动机器人[4]、大型汇演、体育馆摄影等领域，其特点为可操作空间大、结构简单、成本低，具有灵活性，增加或减少悬索根数系统仍能正常工作。在航空领域，该技术可以应用到飞机维修中，实现拍摄系统精准定位，减小人工误差，提高工作效率，还可以应用到飞行器维修考试中，实现监控工作空间最大化，准确地拍摄到考生操作情况。

四索牵引装置是通过固定位置的驱动装置，按照控制要求驱动和释放悬索，实现在可达范围内物体快速移动和精准定位。针对不同的领域、工作环境、工作方式和实现目的，决定索牵引系统悬索的根数。文献[5]提出了一种求解大跨度悬索并联机器人索原长的快速有效的算法。文献[6]通过对系统静力学平衡分析，研究了索牵引并联机器人的位置正解问题。文献[7]探讨静力学中优化500 m 口径球面射电望远镜（FAST，five hundred meter aperture spherical radio telescope）并联机器人的悬索张力。文献[8]建立了一种6 索6 自由度悬索并联机器人动力学模型，对悬索长度进行动力学分析。以上研究的对象都是室外大跨度悬索并联机器人，对单向受力的索杆单元进行力学分析，忽略了弹性变形、自身振动等力学特性。

对于室内飞机维修四索牵引机构，如图1 所示，执行机构定位时认为系统处于静力平衡状态，不考虑系统高速运行时动力特性和跟踪轨迹。因此，在悬索可达范围最大化情况下实现执行机构高精度定位是室内飞机维修四索牵引系统的核心工作。从已有的文献来看，在求解悬索索长时已经考虑了悬索垂度的影响，但忽略了悬索的弹性变形，而在室内四索牵引系统索长求解中忽略弹性形变会影响定位精度，产生较大误差[9]。

图1 内场飞机维修环境Fig.1 Infield aircraft maintenance environment

通过对静力平衡位置逆解分析，在已知末端执行器空间坐标的情况下，求解各个悬索索长。基于悬链线原理，在空间O-XYZ 坐标系中，推导出悬索悬链线方程、水平分力与索长之间的关系式，并建立四索悬链线模型[10-11]。利用序列二次规划（SQP，sequential quadratic programming）算法[9]，约束悬索竖直分力，优化四索索力，迭代求解非线性方程组而得到最优化悬索索长[12-13]。最后，通过数值算例验证了该方法的准确性和有效性，同时四索索力分布均匀，避免了索力超限和虚牵现象。

1 静力平衡位置逆解

1.1 单根悬索悬链线静力学模型

室内四索牵引的整体构成如图2 所示，4 根悬索一端与末端执行器相连，另一端通过A、B、C、D 4 个顶点定滑轮与地面电机驱动机构连接。摄像机平台定位工作时只有平动，没有转动自由度，因此可以将摄像机平台简化为一个质点P 进行分析。

图2 四索牵引系统整体模型示意图Fig.2 Diagram of overall model of four-cable traction system

由于悬索受自重影响，在整个运行过程中处于悬链线状态。取单根悬索为研究对象，悬索末端执行器静态与动态时的作用力大小相近，所以在单根悬索静力平衡状态下进行受力分析。

建立空间直角坐标系O-XYZ，如图3（a）所示，其中设定A 为坐标原点O（0，0，0），末端执行器坐标为P（l，h，k）。过线段AP 作平面XOY 的垂面并将AP 投影其上，形成一个新的坐标系ZOU。取其中一段进行受力分析，如图3（b）所示，此时悬链线方程可表示为z（u），其中α 为悬索拉力T 与水平方向分力H 的夹角。

图3 单根悬索静力平衡分析示意图Fig.3 Schematic diagram of static balance analysis of a single cable

悬索索长S 表示为

系统定位时，悬索不仅受复力的影响，还会产生变形，忽略悬索的弹性形变会导致执行机构定位时产生较大误差，使系统定位不精准。而悬索在拉力T 作用下引起弹性伸长量为

式中：E 为悬索的弹性模量；As为悬索横截面面积。

曲线AP 上任意一段受力平衡方程为

式中：q 为悬索每米重量；tanαA为常量；tanα=z＇（u）。

将式（3）左右两边对u 进行求导，可得

对式（4）进行积分可得

对式（5）再次进行积分，可得

式中Ca、Cb为常量。

由于式（6）满足边界条件，过O、P 两点可得

所以在坐标系中单根悬索的悬链线方程即为

综上，悬索悬链线的长度表示为

1.2 四索静力平衡方程

采用悬索静态拉力代替悬索动态作用力，当末端执行器运动到指定位置时，系统理论上处于静止状态，此时四根悬索在末端执行器交点处X 轴、Y 轴、Z 轴方向的分力之和应该为0，则其在3 个方向上的空间静力平衡方程表示为

式中：Hi是第i 根悬索张力的水平分力；θi是第i 根悬索在XOY 平面内的投影与X 轴正方向的夹角；βi是第i 根悬索在悬挂点处悬索切线与Z 轴的夹角；G 是悬挂重物所受重力。

2 求解悬索索长的最优化设计

为实现室内飞机维修四索牵引系统的精准定位，需求解高精度四索索长。根据式（10）可知，悬索索长与未知量水平分力H 相关。执行器在可达范围内运动到任意一点时，系统处于静力平衡状态，即空间静力平衡方程（11）。此时方程（11）中未知量的个数多于等式的个数，因此非线性方程组中H1、H2、H3、H4有无穷多组解，即四根悬索索长有无穷多组组合[14-15]。

利用约束优化求解非线性方程组最优化数学模型如下

索力优化值太高，接近上限Tmax时，能耗过大造成能量浪费；索力优化值太低，接近下限Tmin时，系统刚度不足，容易发生虚牵现象。为防止索力优化值在上下边界之间来回跳跃，出现索力不连续，设定目标函数

由于四索牵引属于完全约束机构，当某根悬索发生虚牵状况时，整个系统就会变得不平衡，其余的悬索同时要受到自重和张力的作用，可能会引起系统变化导致瘫痪。或者由于某根悬索弧度过大接触地面，系统不能正常工作。为保证悬索正常工作，不发生虚牵状况，约束每条悬索竖直方向的分力应该≥0，即不等式约束为

其等式约束为平衡方程（11）。

利用SQP 算法约束优化求解非线性方程组，图4为索长最优化求解流程图，清晰地表示出索长求解的迭代过程。SQP 算法迭代过程中每一步都需要求解一个或多个二次规划的子问题，并且子问题最优解U*作为下一次迭代搜索的方向。在该方向上对原非线性最优化问题目标函数进行约束一维搜索，得到下一个迭代点Xk+1，并判断是否满足收敛精度。利用一种秩2 拟牛顿法DFP（davidon fletcher powell）修正Xk+1，重复上述过程，直到迭代点Xk+1满足终止准则。利用SQP算法求解最优化索长的精度高、收敛速度快、计算效率高、计算过程清晰简便。

图4 索长最优化求解流程图Fig.4 Flow chart of the optimization solution of cable length

3 静力平衡位置正解

不同于静力平衡位置逆解，一个空间位置坐标对应多种悬索索长组合，静力平衡位置正解是一组四索索长唯一确定一个末端执行器空间位置坐标。为验证悬索弹性形变对定位的影响，将求解的考虑悬索自重和弹性形变的四索索长代入不考虑弹性形变的位置正解中，得到新的末端执行器坐标P＇并与给定坐标进行比较，分析弹性形变对定位的影响。

位置正解可以由雅可比矩阵J（P）表示，利用Newton-Raphson 数值迭代进行求解。根据雅可比矩阵的定义，建立四索牵引的雅可比矩阵

式中：P（x，y，z）表示在空间坐标系O-XYZ 中末端执行器的坐标；J（P）为dS=J（P）dP 变形展开式，即

为求解悬索索长S 相关的偏导数，将式（10）代入式（16）可得

然后利用Newton-Raphson 迭代算法求解非线性方程组，进而得到四索牵引机构静力平衡的位置正解。迭代求解过程如下：给定当前悬索索长S，代入末端执行器迭代初值P0，迭代计算后，若差值没有满足收敛条件，达到所设定精度ε，则继续重复计算求解末端执行器空间位置坐标Pk+1，直到满足收敛精度，此时Pk+1为静力平衡状态下位置正解，即不考虑弹性形变的位置坐标。

4 实例分析

为了便于仿真测试，模拟室内维修飞机的环境，设定其空间内两顶点之间的长为40 m、宽为30 m，空间高度为30 m。由于考虑室内屋顶的结构因素，4个顶点不在同一水平面，设定4 个定滑轮顶点空间坐标为A（0，0，0）、B（40，0，-5）、C（40，30，-5）、D（0，30，0），分别对应悬索L1、L2、L3、L4。其中钢丝绳为6 × 19 股纤维芯绳，q=0.135 3 kg/m，E=100 GPa，As=1.432×10-5m2，执行机构整体质量M=10 kg。通过Matlab 仿真软件，在已知末端执行机构空间坐标的条件下进行仿真，然后利用plot3 函数画出四索悬链线模型图。同时计算在整个可达空间范围内利用SQP 算法求解的最优化悬索索长、索力等参数。

由于室内四索牵引执行机构定位受约束条件限制，在空间中会形成一个可达边界，超过边界时系统会出现虚牵问题或悬索弧度过大接触地面而不能正常工作的情况。末端执行器定位高度不同时，其可达空间范围边界不同。如图5 所示，由于四索顶点不处于同一水平面，范围边界不再关于中心对称，且随着执行器定位高度的不断下降，可达范围边界整体向X 轴负方向移动，同时工作平面面积不断减小。其中，Z=-15、-20、-25 m 时工作平面面积分别为958.656、956.284、954.276 m2。

图5 不同高度悬索可达范围Fig.5 Reachable range of suspension cables at different heights

假定末端执行器初始点坐标（20，25，-20），以（20，15，-20）为圆心，半径R=10 m，在Z=-20 m 水平面上做圆形周期运动。末端执行器移动平台的运动轨迹方程为式中：ω=2π/T＇，为末端执行器在轨迹上的角速度；T＇=10 s，为末端执行器匀速运动的周期。

图6 为末端执行器在Z=-20 m 平面上的运动轨迹。将目标轨迹上每时刻对应的空间点坐标代入最优化悬索索长求解中，可以得到拉力平方和最小优化方法的四索索长及索力，并分析索长和索力的变化曲线。

图6 末端执行器运动轨迹Fig.6 Trajectory of end-effector

根据图7 四根悬索的索力曲线可以看出：在周期T=10 s 运动时间内，四索索力曲线光滑、连续并且没有出现大的突变现象，呈现平稳有规律的变化趋势。虽然末端执行器的运动轨迹在空间内具有对称性，但由于4 个定滑轮顶点不在同一高度，四索索力变化不呈现对称性。在整个可达空间内四索索力分布均匀，没有超出极限，在可控范围内，悬索没有出现虚牵现象。

图7 四索索力变化曲线Fig.7 Variation curve of four-cable force

图8 表示四索索长随运动轨迹的变化曲线。四索索长均匀变化，没有出现过长、过短现象，进一步证明该算法的正确性。以上仿真结果表明：SQP 算法收敛速度快、可靠性强、鲁棒性好。

图8 四索索长变化曲线Fig.8 Variation curve of four-cable length

可达范围内部随机抽取3 点进行最优化仿真计算，通过静力平衡位置逆解得到四索索长、弹性形变量及索力，其结果如表1 所示。

表1 可达空间内SQP 最优化算法计算结果Tab.1 Calculation results of SQP optimization algorithm in reachable space

将求解得到的四索索长代入不考虑弹性形变的位置正解中，得到一个新的坐标，并与位置逆解中的坐标作差，可以得到X 轴、Y 轴、Z 轴方向上的3 个位置偏差Δx、Δy、Δz，同时分析总体位置偏差ΔP（ΔP=的大小。

图9 表示末端执行器定位Z=-20 m 工作平面时，整个工作平面上总体位置偏差的分布情况，可以看出图的中心区域，末端执行器总体位置偏差很小，在5～10 mm 之间，在这一范围内弹性形变对系统定位的影响很小。而在工作平面四周的边界附近，末端执行器的总体位置偏差很大，在40～60 mm，若系统定位到这些区域工作会造成很大误差，不能实现精准定位。同时对比图10，执行器定位Z=-30 m 工作平面，随着定位高度的降低，整个工作平面上总体位置偏差都在增大，甚至在极限位置总体位置偏差达到了116 mm。