圆的多种定义形式在解题中的应用

李光彬 邵建凤

(山东省淄博市临淄中学)

圆是基本的平面几何图形之一,在全国卷及独立命题省市的高考试卷中,圆是重要的考查视角,且常与其他知识综合考查.因此,在解答相关问题时可结合题目条件特征,考虑构造出圆的模型,进而利用圆的相关性质,使问题简捷获解.圆的定义除了我们熟知的平面内到定点的距离为定值的点的轨迹外,还有与平面两点连线的张角为定值、到两定点距离的平方和为定值、与两定点的距离之比为定值等多种形式,下面例析这些定义形式在解题中的应用.

1 平面内到定点的距离为定值的点的轨迹

平面内到定点的距离为定值(大于0)的点的轨迹为圆,该定点为圆心,定值为半径.这是圆最基本的定义形式,其中圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2也是这种定义形式的直接体现.

图1

本题条件中并没有出现圆,但结合PC＝1为定值,C为定点,进而构造以C为圆心,1为半径的圆,P即为圆上的动点.再利用平面向量的运算法则,将未知向量转化为已知向量和特殊向量求解.

2 与平面内两点连线的张角为定值的点的轨迹

与平面内两点连线所形成的张角为定值的点的轨迹为圆,其圆心在两定点构成线段的垂直平分线上.其特殊情况是:张角为直角,此时两定点的中点为圆心,两点间的距离为直径.这一特殊情况还可表示为另外两种形式,一种形式是与两点连线所得两条直线斜率之积为－1(注意去掉斜率不存在的点);另外一种形式是与两定点连线所得两向量的数量积为0.

图2

A,B为x轴上两点,动点P与AB两点连线的张角为直角,故点P在以AB为直径的圆上,进而结合圆与圆的位置关系解决问题.

3 到两定点距离的平方和为定值的点的轨迹

到两个定点的距离的平方和为定值(该定值大于或等于两个定点间的距离)的点的轨迹是以AB的中点为圆心的圆.特别地,当定值等于线段AB的长度时,动点的轨迹是以AB为直径的圆.

例3 点M是边长为1的正方形ABCD所在平面内一点,且|MA|2＋|MB|2＝|MC|2,则|MD|的最大值和最小值分别为_________.

4 到两定点的距离之比为定值的点的轨迹

例4 如图3所示,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y＝2x－4,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.

图3

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|＝2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

综上,切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)因为圆心在直线y＝2x－4 上,故可令C(a,2a－4),则圆C的方程为

(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.

设点M(x,y),因为|MA|＝2|MO|,所以

到两定点的距离之比为定值的点的轨迹为圆,从这一定义形式来看,圆与椭圆、双曲线建立了更密切的联系,椭圆是到两个定点F1,F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹,双曲线是到两个定点F1F2的距离之差为定值(小于|F1F2|)的点的轨迹.

综上所述,在相关问题的处理中要注意挖掘圆的隐含定义等信息,进而构造相应的圆,并利用圆的性质解答问题.