直线与圆的方程高考热点赏析

廖永福

(福建省厦门市国贸协和双语高级中学)

直线与圆的方程是解析几何的基础内容,在高考试题中主要以客观题的形式出现,属于中低档题.考查热点主要有求直线的方程、求圆的方程、判定直线与圆的位置关系、距离问题、弦长问题、对称问题、最值问题和交会问题等.

1 求直线的方程

2 求圆的方程

本题主要考查圆的方程的求法,解题的关键是确定圆心和半径,属于基础题.求圆的方程一般有两种方法:一是几何法,通过研究圆的性质求出圆的基本量;二是代数法,设出圆的方程,用待定系数法求解.

3 判定直线与圆的位置关系

例3 (2021 年新高考Ⅱ卷11,多选题)已知直线l:ax＋by－r2＝0与圆C:x2＋y2＝r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( ).

A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切

B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离

C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离

D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切

分析 把点与圆、点与直线的位置关系转化为a2＋b2与r2的大小关系,结合直线与圆位置关系的判定定理求解.

本题主要考查点与直线、点与圆以及直线与圆的位置关系的判定和性质,考查逻辑推理和数学运算能力,解题的关键是熟练掌握有关的性质和公式,属于基础题.

变式 (2016年山东卷文7)已知圆M:x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0 所得线段的长度是2 2,则圆M与圆N:(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( ).

A.内切 B.相交

C.外切 D.相离

答案 B.

4 距离问题

例4 (2020年全国Ⅱ卷文8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( ).

分析 先根据条件设出圆的标准方程,求出圆心的坐标,再根据点到直线的距离公式求解.

解 由圆过点(2,1)且与两坐标轴都相切,设圆心的坐标为(a,a)(a＞0),则圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2,所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2,整理得a2－6a＋5＝0,解得a＝1或5.

本题主要考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式,考查逻辑推理和数学运算能力,解题的关键是根据条件设出圆的标准方程,属于基础题.

5 弦长问题

6 对称问题

例6 (2022年新高考Ⅱ卷15)设点A(－2,3),B(0,a),若直线AB关于y＝a对称的直线与圆C:(x＋3)2＋(y＋2)2＝1 有公共点,则a的取值范围为_________.

分析 先求出点A关于直线y＝a对称的点A′的坐标,即可得到直线A′B的方程,再根据圆心到直线A′B的距离小于或等于半径列出不等式,求解即可.

7 最值问题

例7 (2021年新高考Ⅰ卷11,多选题)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上,点A(4,0),B(0,2),则( ).

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当∠PBA最小时,|PB|＝3 2

D.当∠PBA最大时,|PB|＝3 2

分析 求出圆心到直线AB的距离,可得点P到直线AB的距离的取值范围,可判断选项A 和B的正误;再由图可知,当∠PBA最大或最小时,PB与圆M相切,利用勾股定理可判断选项C和D 的正误.

综上,选ACD.

图1

本题主要考查直线与圆的位置关系,这是与圆有关的最值问题,考查转化思想与数形结合思想,解题的关键是掌握当∠PBA最大或最小时,PB与圆M的位置关系,属于中档题.一般地,若直线l与半径为r的圆C相离,圆心C到直线l的距离为d,则圆C上的点P到直线l的距离的取值范围是[d－r,d＋r].

变式 (2020年全国Ⅰ卷理11)已知圆M:x2＋y2－2x－2y－2＝0,直线l:2x＋y＋2＝0,P为l上的动点.过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( ).

A.2x－y－1＝0

B.2x＋y－1＝0

C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0

答案 D.

8 交会问题