向量方法在立体几何问题中的常见应用

⦿陕西省镇巴中学 马应雄

1 证明直线与平面平行

图1

图2

又因为AM⊄平面BDF，所以AM∥平面BDF.

2 证明直线与平面垂直

运用向量方法证明直线与平面垂直的大致过程为：①建立合理的空间直角坐标系；②证明所证直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直；③证明线面垂直.如下面例2的解题思路与步骤所示.而常见的用直线的方向向量与平面的法向量共线的思路证明线面垂直，常常会因为法向量的运算求解变得复杂，与应用向量方法的最初目的背道而驰.

图3

例2如图3，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2,H，F分别是线段AB，PD的中点.

证明：PD⊥平面AHF.

图4

所以PD⊥AF，PD⊥AH.

又因为AF∩AH=A,所以PD⊥平面AHF.

3 求解空间角

图5

例3如图5,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1,∠ABC=90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，求直线EF和BC1所成角的大小.

图6

解析：建立如图6所示的空间直角坐标系B-xyz，设AB=BC=AA1=2.

确定点A，B，C，A1，B1，C1的坐标，可得

向量方法在立体几何问题中的应用十分广泛，能使线面平行证明问题、线面垂直证明问题以及空间角度求解问题的解答更加高效准确.向量方法的解题思路大致分为三步：首先根据已知的条件建立合适的空间直角坐标系，其次把空间关系转变为数量关系，最后运算求出.增强对向量方法的理解和合理运用，可以使许多立体几何问题顺利解决.