高中数学教材三角函数内容比较研究——以北师大版与人教A版为例

⦿哈尔滨师范大学教师教育学院 李明慧

1 研究背景与目的

2017年颁布的《普通高中数学课程标准》(简称新课标)是时代发展要求和教育改革的产物[1].课程标准是教材编写的主要依据，各个版本教材既要准确反映课程标准的要求，又要有各自的特色和创新.笔者以2019年北师大版普通高中数学教科书和2019年人教A版普通高中数学教科书为研究对象，运用文本分析法和统计分析法，对两版教材中三角函数内容进行比较研究，分析其共性与特性，总结出新教材编写的特点.

2 研究过程

下面从教材结构和教材内容两方面进行对比分析.其中教材结构包括章节设置和体例结构，教材内容包括知识编排、文化融入、例习题设置.

2.1 教材结构

2.1.1章节设置

两个版本教材三角函数内容章节设置如表1所示.

表1 北师大版和人教A版章节设置比较

北师大版(必修二)第四章 三角恒等变换4.1同角三角函数的基本关系4.2两角和与差的三角函数公式4.3二倍角的三角函数公式人教A版(必修一)第五章 三角函数5.1任意角和弧度制5.2三角函数的概念5.3诱导公式5.4三角函数的图象与性质5.5三角恒等变换5.6函数y=Asin(ωx+φ)5.7三角函数的应用

根据表1可知，两版教材的相同之处是均以单位圆为媒介按照“背景—对象—概念—图象—性质—应用”的结构展开各节编排.不同之处是人教A版教材更注重三角函数内容的整体性；北师大版教材更注重概念规则的形成过程，关注数学概念、规则发展的来龙去脉.具体从以下两个方面说明.

从所处位置来看：人教A版教材三角函数位于必修一第五章，与其他函数整合为了一个主题，体现了同一主线内容之间的有机衔接，凸显了知识内容编排的整体性；而北师大版教材三角函数位于必修二，与其他函数内容分散开，不利于学生从整体上把握知识，在“三角函数”与“三角恒等变换”之间穿插了向量的知识，破坏了知识之间的连贯性与系统性.

从编写内容来看：与人教A版教材相比，北师大版教材在章节划分上更为细致，把每一个小的知识点作为一小节内容详细论述；在第一节设置了周期变化的内容，为后面概念和性质的学习打下基础；在概念的引入过程中详细地说明了怎样利用单位圆来展开本节知识，以及从对应说的角度说明了正弦、余弦函数的概念与函数概念的一致性.

2.1.2 体例结构

通过分析教材，将两个版本教材三角函数章节的体例结构整理成图，如图1、图2.

图1 北师大版体例结构

图2 人教A版体例结构

通过对比可以发现，两版教材体例结构都是按照“章导入—正文—小结—复习”的顺序来编排的.两版教材的正文均设置了“思考”“练习”“习题”栏目，强调“以学生为本”的理念，重视知识习得后的应用.不同点是人教A版教材在每一节都设置了导入语，引导学生明确本节课的学习任务，激活学生的已有认知，为即将学习的新知识提供方法上的引导.北师大版栏目的设置较为详细，突出了“问题性学习”的特点，其中，“实例分析”“问题提出”“抽象概括”“分析理解”等栏目的设置更适合学生自学，体现了教材提倡的“以自学为本”的学习方式.

2.2 教材内容

2.2.1 知识编排

概念课和性质课是高中数学课堂教学中最主要的两种课型，因此选择“三角函数的概念”和“函数y=Asin(ωx+φ)”两节内容进行对比分析.

(1)三角函数概念的呈现方式对比

纵观现行的几个版本的教材发现，三角函数的概念的呈现方式主要有两种，即“终边定义法”和“单位圆定义法”.人教A版和北师大版教材中均采用的是“单位圆定义法”，但具体实施方式有所差别，具体如表2所示.

表2 两版教材三角函数概念的呈现方式比较

根据表2可知，人教A版教材概念的形成经历了“背景-研究对象-对应关系的本质-定义”的过程，体现了研究一个对象的“基本套路”[1].北师大版三角函数的概念是在初中锐角三角函数的基础上做了推广，这种做法有利于学生初高中知识的衔接，但割裂了与其他函数知识的联系.两版教材的共性是均以单位圆为“脚手架”展开知识编排，符合新课标中提出的“知识的系统性”要求.

(2)“函数y=Asin(ωx+φ)”的呈现方式对比

根据表3可知，两版教材均以现实背景引入本节课的知识，让学生感受到数学来源于生活.人教A版教材利用三角函数来构建盛水筒运动的数学模型，体现了函数建模的思想[1].北师大版教材让学生经历了问题提出、抽象模型、求解模型的过程，提升了学生的数学建模素养.此外，人教A版教材着重突出了信息技术的应用，实现了新课标中提出的将信息技术与数学课程深度融合的理念.

表3 两版教材函数y=Asin(ωx+φ)的呈现方式对比

2.2.2 文化融入

新课标指出教材应当把数学文化融入到学习内容中去[2].通过对比两版教材发现，融入文化的内容主要包括两个部分，一是在非正文的栏目中，二是在例习题中.如表4所示.

表4 两版教材的文化融入对比

可以发现，两版教材内容都融入了数学文化，贯彻了新课标的理念.其中人教A版中数学文化的融入类型更多样.具体来看，既有花坛、摩天轮等现实生活中的文化，又有数学史的融入，彰显了新课标所倡导的文化价值要求.

2.2.3 例习题设置

统计两个版本例习题的数量，结果如表5所示.

表5 两版教材例习题数量对比

由表5可知，与人教A版教材相比，北师大版教材的例习题总数较多.究其原因是北师大版本将三角函数分为两章，且每一节都配有相应的例习题.从总体上看，两个版本的教材中都配备充足的例习题以保证学生知识的巩固训练.从“练习”设置的方式来看：北师大版教材在每一小节后都会设置一个练习，注重本节知识的综合应用；而人教A版在一节中设置多处练习，注重对每个知识点的巩固.从“习题”和“复习参考题”设置的方式来看：北师大版教材只是按照顺序设置为A组、B组、C组；而人教A版教材则分为“复习巩固”“综合运用”“拓广探索三个栏目，这种设置使习题更具有层次性，由浅入深地帮助学生巩固知识.

3 研究结论

通过对比分析发现，两版教材均能较好地贯彻新课标中的教材编写建议[3]，同时二者又有各自的编写特点：

(1)两版教材都注重发展学生的数学学科核心素养.

在概念的形成过程中，学生经历了由现实生活情境抽象出数学模型的过程，在函数y=Asin(ωx+φ)一节中使学生经历了提出问题、构建模型、求解模型的过程，培养了学生数学抽象、数学建模和逻辑推理核心素养.

(2)两版教材均将数学文化与数学知识相融合，注重与实际生活的联系.

教材中选取的文化素材类型多样，突出了三角函数章节的文化价值，体现了三角函数与现实生活的密切联系.

(3)人教A版教材突出了单元整体的任务意识，有利于学生从整体上掌握知识.

人教A版教材以“单位圆”为脚手架，按照“背景—对象—概念—图象—性质—应用”的结构展开各节编排，使知识联系具有系统性.将三角函数与其他函数编排在一本教材，注重知识间的有机衔接.

(4)北师大版教材注重学习过程的引导性和启发性.

北师大版教材每一节均设置实例分析、抽象概括或问题提出、分析理解栏目，引导学生循序渐进、由浅入深地学习知识.在概念引入的过程中回顾初中学过的锐角三角函数知识，帮助学生唤醒已有认知，启发学生接纳新知识.