惯性积对光电设备减振性能的影响

张泽清， 姜伟伟， 贺壁， 扈宏毅， 刘磊

(1.中国科学院光电技术研究所， 成都 610209； 2.中国科学院光束控制重点实验室， 成都 610209； 3.中国科学院大学光电学院， 北京 100049)

随着科学技术的发展，光电设备由地基式发展到车载、舰载、机载及星载等机动平台承载式。在机动平台上，由于工作环境存在着高带宽大幅值的随机振动，载体的振动会通过平台传递到光学系统上，造成光学系统振动，这些振动的存在会影响成像系统的成像质量。那么对光电设备进行振动隔离十分必要，被动减振系统结构简单，可靠性高，经济性好，成为光电设备主要的减振方式[1-2]。

振动可以分为线振动与角振动，国内外很多学者已经对振动对成像质量的影响作了大量分析。赵鹏等[3]、耿文豹等[4]、李玉龙等[5]研究指出角振动对光电系统的影响远远大于线振动的影响。为了降低角振动响应，通常在对光电设备进行减振设计时综合考虑质量和惯量，减振器的安装位置及刚度、阻尼参数，以设计解耦度高的系统。理想情况下，单层隔振系统要实现完全解耦，要求各弹性主轴与各惯性主轴完全重合。但是在实际工程中，光电设备的质量分布不均且外形不规则，这样光电设备减振系统不仅存在弹性耦合还存在惯性耦合。李晓波等[6]通过正弦扫频实验对比了捷联惯导减振系统有无偏心情况下的响应，指出偏心引起了系统振动的耦合，得到减振器需要对称安装避免偏心的结论；刘勇等[7]通过模态分析、谐响应分析和随机响应分析研究了偏心减振系统的动力学特性、频响特性和随机响应特性；付继波等[8]从理论和数值仿真两方面证明了系统偏心造成了线振动和角振动的耦合，并进一步证明了偏心量的增大造成角振动频率降低，线振动频率增加；孙玉华等[9]分析了质心偏移对减振系统固有频率和解耦率的影响，指出减振器安装跨距最短的方向系统频率和解耦率受质心偏移影响最为明显；Okwudire等[10]建立了二自由度减振系统，理论上证明了质心偏移造成了线振动和角振动耦合，导致系统的一阶频率降低，二阶频率增加。

上述研究均假设质量矩阵为对角矩阵，未考虑设备惯性积不为零对减振系统动力学特性和幅频响应特性的影响。针对惯性积导致光电设备减振系统角振动耦合的问题，建立减振系统的数学模型，分析了惯性积造成的不同耦合形式，并推导了固有频率的无量纲化公式，利用数值计算方法，研究惯性积对系统动力学特性以及幅频响应的影响，为光电设备质量分布的优化工作提供理论依据。

1 减振模型与动力学微分方程

光电设备通过被动减振器与载体柔性连接，由于光电设备的一阶频率一般远远高于减振器的固有频率，可将光电设备作为刚体处理。一般而言，被动减振的动力学是非线性的[11-12]。但是对于微小位移的振动，近似为线性模型能够满足工程需要[11]。那么，光电设备减振系统动力学模型可以近似为图1所示的六自由度等效模型。

图1 减振系统六自由度模型Fig.1 6-DOF model of the vibration isolation system

为了方便推导动力学方程及分析动力学特性，首先明确弹性中心这个概念。减振器可以看为有两固连端的三维弹性支承，如果沿着某轴线的载荷作用在弹性支撑上，使得弹性支承两端的移动方向和力方向保持一致，并且两端之间只有线位移没有角位移，那么这个轴线称为弹性支承的弹性主轴[13]。当一个弹性支承和刚体组成系统，弹性支承的三个弹性主轴的交点为弹性中心；当多个弹性支承和刚体组成系统时，多个弹性支承的三个方向的弹性主轴交于一点时，该点为弹性中心[14]。

定义弹性坐标系、惯性坐标系和求解坐标系。弹性坐标系原点位于减振系统弹性中心，各坐标轴与弹性主轴重合，与图1中所示坐标系各轴一致；惯性坐标系原点位于设备质心，各坐标轴分别对应设备的各个中心惯性主轴。求解坐标系原点为光电设备质心，三个坐标轴与弹性坐标系各轴一致。

在小位移假设的条件下，阻尼对于系统固有频率的影响很小可以忽略不计，推导出减振系统的六自由度无阻尼自由振动动力学方程，写为

(1)

式(1)可以简写为

(2)

式(2)中:矩阵M、K分别称为系统的质量矩阵和刚度矩阵，可代入系统的特征方程，即

|K-w2M|=0

(3)

式(3)中：w表示系统的固有频率，计算得到系统的六阶固有频率[15]。

假设光电设备为质量分布均匀的长方体，当减振器安装面通过质心并关于质心对称分布时，减振系统的弹性中心与质心重合，即求解坐标系与弹性坐标系一致。此时有kxβ=kβx=kxγ=kγx=kyγ=kγy=0；kαβ=kβα=kαγ=kγα=kβγ=kγβ=0。

在此前提下，可以分为3种情况分别谈论。

(2) 弹性坐标系与惯性坐标系Z轴重合，其他两轴不重合的情况下(其他情况类似)，此时有Ixz=Izx=Iyz=Izy=0；Ixy=Iyx≠0。

系统α与β方向通过惯性积Ixy耦合，其余方向独立。由于本文目的研究惯性积参数对耦合减振系统的影响，只讨论耦合的两个角方向，方程可以简化为

(4)

(3) 弹性坐标系与惯性坐标系的各个坐标轴都不平行，此时有Ixz=Izx=Iyz=Izy=0；Ixy=Iyx≠0，Ixz=Izx≠0，Iyz=Izy≠0。

系统α、β和γ三个角方向相互耦合，其余方向独立，耦合的三个角方向的方程为

(5)

2 惯性积对固有频率的影响

对上述第2种情况进行深入分析，对式(2)求解，得到系统的无阻尼固有频率并进行无量纲化处理[10]，即

(6)

当ε取不同值时，分别画出无量纲固有频率关于无量纲惯性积的曲线，如图2所示。下面分ε≠1和ε=1两种情况进行讨论。

图2 无量纲惯性积对无量纲固有频率的影响Fig.2 Influence of dimensionless inertia product on dimensionless natural frequency

3 算例分析

某光电设备减振系统关于XOY平面对称，分别对图3所示三种系统进行讨论。

图3 减振系统平面示意图Fig.3 Simplified plane diagram of vibration isolation system

三种系统保持质量相同，质心一致，其惯性参数以及计算的无量纲惯性积列于表1。

表1 各系统的惯性参数Table 1 Inertial parameters of each system

减振器安装方式及位置如图1所示，关于质心对称安装，减振器另一端与工装件相连；四个减振器参数相同，三向等刚度，设置刚度k=1 250 N/m，设置阻尼比为0.12，减振器安装位置参数表2所示。

表2 减振器安装坐标Table 2 Inertia coordinate of each isolators

根据式(2)计算出系统的固有频率，为方便分析，将3种系统计算得到的模态频率以及各自的无量纲惯性积列于表3，并计算两阶频率的差值。

表3 系统固有频率分布Table 3 Distribution of system natural frequency

减振系统的性能常用传递率来表示。对于耦合系统，定义角位移激励下的位移传递率，表达式为

(7)

式(7)中：x为在α或者β方向产生的响应；y为激励在α或者β方向产生的静态响应。

对工装件分别施加两个角方向的位移正弦激励，幅值为1，频率范围为0～100 Hz。利用数值计算方法，得到的系统的传递率如图4所示。

图4 各系统两个角方向的位移传递率Fig.4 Displacement transmissibility in the two angular directions of each system

与无耦合系统相比，耦合系统在两个转动方向均出现峰值，因为惯性积的存在，任一方向的激励均会在两个方向上产生响应。耦合系统有两个共振峰，一个反共振峰，这是区别无耦合系统的重要特征。

4 结论

本文建立了惯性积不为零的光电设备减振系统动力学模型，对仅存在惯性耦合的减振系统进行了理论及数值分析，推导了系统固有频率与惯性积参数的数学表达公式，研究了系统动力学特性和幅频响应特性。在某型直升机载光电跟踪吊舱设备中，根据直升机实际测量的激励幅值，依据上述理论设计合适的设备惯性积分布，得到跟踪精度0.5 mrad(均方根)的结果，圆满完成了试验任务，得到如下结论。

(1) 惯性积的存在改变了系统动力学特性，引起对应两个角方向的耦合，降低了低阶固有频率，增大了高阶固有频率。

(2) 随惯性积的增加，系统对应的两阶固有频率差值增大。减振系统耦合的两个方向的固有频率一定不相等。

(3) 针对光电设备视轴稳定，在设备存在角振动激励时，为光电设备减振系统各阶的模态频率的设计以及优化设备惯性积分布提供了理论依据。

(4) 当对两个角方向同时激励时，相较于无耦合系统，惯性耦合系统在低阶模态方向的减振区传递率小于无耦合系统。