潮汐客流下地铁列车不成对运行图优化模型

李纵然，柏 赟，陈 垚，明先俊，曹耘文

（1.北京交通大学 交通运输学院，北京 100044；2.北京交通大学 综合交通运输大数据应用技术交通运输行业重点实验室，北京 100044；3.珠海市规划设计研究院，广东 珠海 519000；4.上海申通地铁集团有限公司 上海轨道交通运营管理中心，上海 200070）

近年来，大城市的空间与人口高速膨胀，功能分化明显，常见的“职住分离”现象使衔接郊区和市区的地铁线路具有明显的潮汐客流特征。早高峰时段进城方向客流量巨大（主客流方向），出城方向客流量较小（非主客流方向）；晚高峰则反之。早晚高峰时段线路双方向客流分布不均衡。既有的地铁列车成对运输组织模式下，双方向开行列数相等，面向潮汐客流时可能出现如下问题：主客流方向客流需求大于运能，导致大量乘客留乘，增加乘客出行成本；非主客流方向客流需求远小于运能，存在运能浪费，增加企业运营成本。

不成对运输组织指通过减少非主客流方向的开行列数、增大主客流方向的开行列数，来调整线路双方向的运能分布。目前地铁线路大多采用双车场的布设形式［1］，在新线规划设计中，“一段一场”的设计形式开始成为一大趋势。双车场布设使行车组织更为灵活，为列车不成对运输组织提供了条件。因此，有必要探索不成对运输组织模式，挖掘并合理调配运能，适应潮汐客流需求。梁强升［2-3］提出在高峰期加开单向车实现不均衡运输组织。杨锦明［4］提出早晚“交替发车”的不成对行车方案，即在早高峰时段主客流方向增开少量单向车，运行至终点站后下线，待晚高峰时段再上线反向运行。陈福贵［5］针对潮汐客流现象，提出早晚高峰时段在大客流方向的中部区段单向加车小交路的方案，缓解过饱和客流压力并节约运营成本。但既有研究大多为运营者的经验总结，缺乏普适性的不成对运行图编制模型，且由于车底数量限制只能单向加开或缩减少量列车，不适用于客流方向不均衡系数较大的地铁线路。

不成对运输计划下，线路双方向开行数量的不均衡使车底接续更为复杂，因此编制不成对运行图还要同时考虑车底运用计划。时刻表与车底协同优化方面已有大量研究。文献［6-7］均针对动态客流需求下的城市轨道交通时刻表与车底运用计划进行综合优化，前者基于时空网络理论构建了双层规划模型，后者构建了多目标一体化优化模型。文献［8］以车底总空驶距离和时间最小为目标，构建了车底空驶出场路径与时刻表综合优化模型。文献［9］以乘车公平性为原则，针对过饱和需求线路，综合优化列车的停站方案、时刻表及车底周转计划。文献［10］针对客流的时空分布不均衡性，基于列车灵活编组模式构建了时刻表与车底运用计划的混合整数线性规划模型。不成对运输组织下的车底运用计划研究相对较少。文献［11-13］建立了站站停模式下的列车时刻表和车底运用综合优化模型，求解了高峰时段不成对运行图。文献［14］针对客流断面及方向的不均衡性，从节能角度出发，提出一种结合大小交路和放空车的运行图优化模型。在车底数量有限的条件约束下，所得方案的双方向开行数量差异不大，这是由于非主客流方向开行列数较少且车底周转时间较长时，大量车底无法及时周转回到主客流方向，会使主客流方向运能紧张。

为提高非主客流方向车底周转效率，可结合快慢车运营模式，开行部分车站不停车的快车，从而缩短车底周转时间，尽快实现双方向车底接续，确保后续时段主客流方向有车底可用。既有关于快慢车的研究［15-18］均指出，开行一定数量的快车可大幅减少乘客的旅行时间，对长距离出行需求的乘客更有利。

本文针对具有潮汐客流特征的地铁双车场线路，提出1种结合单向车、快慢车运营模式的不成对运输组织方案。在主客流方向开行部分单向车以降低运营成本，非主客流方向开行停站方案不同的部分快车以加速车底周转。在此基础上，构建考虑车底运用计划的不成对运行图优化模型，设计定制的改进遗传算法进行求解。

1 问题描述

选取1 条连接市区与郊区的地铁线路，线路上车站数为K，线路2 端各配属1 个车场。为研究需要，将实际车站根据上下行方向视为2 个物理车站［19］。以该线路的早高峰时段为研究对象，假设上行为进城的主客流方向，车站从K+1 到2K依次编号；下行为出城的非主客流方向，车站从1到K依次编号。该线路不成对方案下的行车过程如图1所示。图中：j和j'分别为主客流方向、非主客流方向的列车序号。

图1 不成对方案下的行车组织

主客流方向采取高密度的发车频率，均为站站停慢车。非主客流方向采取低密度的发车频率，开行站站停慢车（如列车j'-1）以及部分大站快车（如列车j'和j'-2），快车通过跳站来加速车底周转，实现双方向车底的循环接续。为进一步节约运营成本，主客流方向开行部分由郊区车场始发的单向车，如列车j完成上行车次任务后下线，停放于市区车场，该车底晚高峰时段重新上线反向承担下行车次任务，最终回到郊区车场。结合单向车、快慢车模式的不成对运行图如图2所示。

图2 结合单向车、快慢车模式的不成对运行图

对于实际运营的地铁线路，列车的停站时间、区间运行时间已经确定，因此慢车根据列车首站发车时刻即可确定列车在沿途各站的到发时刻［19］。大站快车还需综合优化停靠站点，基于各站客流需求及实际运营情况给定快车的若干停站备选方案，当非主客流方向快车的首站发车时刻及停站方式确定后，即可生成各站的到发时刻。

乘客出行需求是制定列车运行计划的基础。潮汐客流需求一般出现在早晚高峰时段，故研究时段内的OD 出行需求可看作全日时变出行需求中的1个峰值［20］。潮汐客流需求下，高峰时段线路双方向客流量分布不均衡，故主客流方向乘客到达率显著高于非主客流方向。在给定不均衡客流到达率的基础上，考虑列车容量限制、先到先服务原则等，可对乘客的上下车行为进行微观刻画［21-22］，从而精确计算不同OD乘客的总旅行时间。

乘客重视地铁的出行时效性，不成对运行图编制时应尽量减少乘客的总旅行时间。开行的列车越多，对于乘客而言候车时间越短，但对于企业而言运营成本越高。因此基于方向不均衡客流需求，如何在既有车底数量限制下，尽可能多地分配主客流方向开行列数，减少非主客流方向开行数量，是不成对运行图编制的关键。

2 考虑车底周转的不成对运行图优化模型

以线路运营数据、OD 客流需求等作为输入，考虑行车安全、列车容量、上线车底数量等约束，通过调整线路双方向的开行列数、非主客流方向快车的停靠站点以及各列车的首站发车时刻，达到乘客总出行成本以及列车运营成本的最小化。

2.1 基本假设

（1）研究时段内的首、末时刻均发车。

（2）区间运行时间、停站时间以及启停车附加时间均为定值。

（3）仅在非主客流方向组织大站快车，且不考虑快慢车越行。

（4）车底采用不固定车场运行模式［7］，且按就近原则进行接续。

（5）乘客均选择乘坐直达列车，且遵循先到先服务原则［23］。

（6）乘客不产生二次滞留。

2.2 参数及变量定义

1）参数

［0，T］为研究时段；N为列车定员；J为研究时段内开行的列车集合；S为车站集合，s，k均为车站序号；ρ为表示客流方向的变量，取1 为主客流方向，取2 为非主客流方向；Jρ为研究时段内ρ方向开行的列车集合；Sρ为ρ方向的车站集合；J*为非主客流方向快车的集合；L为快车的停站方案备选集合，l为停站方案序号；为0-1 变量，若第l种停站方式下列车在s站停车，则取值为1，否则取值为0；为列车在s站的停站时间；τA为列车的启停附加时间；为区间［s，s+1］的纯运行时间；分别为ρ方向终点站的最大、最小折返接续时间；mρ为ρ方向车场的可运用车底数量；λsk为s站—k站OD 对的乘客到达率；Imax和Imin分别为最大、最小发车间隔时间；Idt，Ida和Ita分别为发通、发到、通到间隔时间；μw和μv分别为乘客的等待、在车的单位时间成本；ck为列车的单位开行成本；cr和co为车底的折返、出入段的单位成本；CQ为乘客总出行成本；CV为列车运营成本。

2）中间变量

3）决策变量

nρ为ρ方向的开行列数；ζ为非主客流方向快慢车开行比例（快车∶慢车为1∶ζ）；为列车j的首站发车时刻；为0-1 决策变量，若快车j选择第l种停站方式则取值为1，否则取值为0。

2.3 目标函数

优化目标为乘客总出行成本和列车运营成本最小，即

乘客总出行成本为单位时间成本与乘客总旅行时间的乘积，乘客总旅行时间又由乘客候车时间和乘客在车时间组成，见式（2）。其中：不成对运输组织下的乘客候车时间分方向计算，包括到站乘客及滞留乘客的候车时间；乘客在车时间根据在车乘客数量、区间运行时间和停站时间进行计算。

其中，

列车运营成本包括列车的开行成本以及车底周转的附加成本，见式（3）。其中：列车开行成本为单位开行成本与双方向开行列数的乘积；车底周转的附加成本包括折返成本以及出入段附加成本，分别为单位折返、出入段成本与相应的折返、出入段作业次数的乘积。

2.4 约束条件

模型的约束条件包括运行图、客流以及车底周转3个方面。

2.4.1 运行图相关约束

为确保运能满足需求，研究时段首、末时刻应均有1 趟列车发出，即式（4）和式（5）；且上下行方向列车的总开行数量为列车集合中的元素个数，即式（6）。

主客流方向均衡发车，各列车在始发站的发车时刻满足式（7）；非主客流方向开行停站方式不同的快车，列车的发车间隔不均衡。总的来说，双方向的发车间隔均需满足法定最大最小追踪间隔时间约束，即式（8）和式（9）。

列车的出发、到达时刻由区间纯运行时间、停站时间以及启停车附加时间决定［24］，出发时刻、到达时刻分别为

主客流方向全部开行站站停列车，因此仅需满足发到间隔时间约束，即

非主客流方向开行快慢车，列车在各站有到达、通过、出发3种状态，因此相邻列车的到发时刻需分别满足发通、发到、通到间隔时间约束，即

主客流方向均为站站停慢车，慢车在各站均会停靠，即

非主客流方向快车的停靠方式是从停站方式备选集中选取的，因此构建快车停靠站点约束为

非主客流方向快车与慢车的开行数量遵循1∶ζ的比例关系，即

式中：M为1个任意的正整数。

2.4.2 客流相关约束

为了确保运能与客流需求相匹配，根据OD 乘客到达率及时刻表可对各类乘客数进行推算［24-25］，得到相邻列车发车间隔内的到站乘客数为

乘客因出行便利性只选择乘坐直达列车，得到到站乘客中的候车乘客数为

乘客不产生二次滞留，所有滞留乘客全部会乘坐下一列车，即

上车乘客数由列车的当前剩余能力、候车乘客数共同决定，其中候车乘客数包括上一列车的滞留乘客数以及发车间隔时间内的到站乘客。根据列车剩余能力与候车乘客数间的大小关系，可划分2 种情况，即

先到先服务原则下，如果列车剩余能力不足以容纳站台候车乘客数，那么应首先满足滞留乘客，并更新列车剩余能力，再根据更新后的列车剩余容量与候车乘客数的比值来划分各类到站OD 的上车人数；如果列车剩余能力足够大，那么可同时满足候车乘客与滞留乘客的所有乘车需求，即

由s站出发前往k站的过程中，列车j离开s站时的在车乘客数和到达k站时的下车乘客数分别为

完成一系列上下车行为后，列车j在s站的剩余能力为

此时到站乘客中的滞留乘客数为

研究时段内，需确保各站的到站乘客最终都能乘坐列车，即总上车乘客数要等于研究时段内总到达乘客数，上下行方向分别约束，即

2.4.3 车底周转约束

考虑上、下行方向的各列车在起终点站的到发时刻是否满足最大、最小接续时间，若满足，车底可直接进行折返接续；若不满足，需要从距离最近的车场上线新车底。因此，主客流方向起点站（K+1 站）和终点站（2K站）的车底折返时间约束分别为

非主客流方向起点站（1站）和终点站（K站）的车底折返时间约束分别为

从运营角度出发，需确保上线车底数不大于各车场的可运用车底数量，2个车场分别约束，即

3 求解算法

上文建立的模型为混合整数非线性规划模型，且问题求解规模较大，难以采用精确算法进行求解。遗传算法利于全局择优，具有快速收敛、鲁棒性高等优点［26］，因此考虑设计定制的改进遗传算法。

为使不成对运行图满足上线车底数约束，在遗传算法中嵌入双层循环规则。先在时刻表模块利用设计的遗传算子，启发式求解出1 个不成对时刻表；再将其输入车底周转模块，求解该不成对时刻表下的车底周转计划，判断是否满足上线车底约束，若不满足，返回时刻表模块重新求解。通过不断地迭代循环，最终在可接受的时间范围内求得1个较优解。算法具体步骤如下。

步骤1：先算法初始化，输入线路信息、列车参数、OD 乘客到达率、区间运行及停站时间等已知时刻表信息、算法参数等；再根据法定最大发车间隔及OD 客流需求推算的最大断面客流量，给出双方向开行列车数范围［nρ，min，nρ，max］，生成所有的开行方案组合，转步骤2。

步骤2：选取1 种开行方案组合，估算双方向均衡发车模式下所需的上线车底数量，判断是否符合总运用车底约束，若不满足，则重新选取其他开行方案组合进行判断，直至满足约束条件；基于快慢车开行比例1∶ζ，依据式（15）采用二进制编码生成所有快车的停站方案组合，计算各组合下的快慢车在始发站的最大发车间隔Ij，max和最小发车间隔Ij，min，转步骤3。

步骤3：基于1 种停站方案组合选取快车停站方案，主客流方向依据式（7）生成始发时刻，非主客流方向随机生成［0，1］之间的发车间隔概率σj，计算出各相邻列车在首站的发车间隔时间Ij=σj(Ij，max-Ij，min)+Ij，min，并推算各列车在中间站的到发时刻，生成不成对初始时刻表，判断是否满足各类追踪间隔时间约束，若不满足，则继续选取快车停车方案，直至不成对初始时刻表满足所有追踪间隔时间约束，转步骤4。

步骤4：基于不成对初始时刻表，依据就近接续原则得出双方向车底接续关系，判断上线车底数量是否满足约束式（32）和式（33），若不满足，转步骤3；若满足，添加到初始种群，直至完成对所有停站方案的选取判断后，转步骤5。

步骤5：遗传算法更新初始种群，设计选择、交叉、变异算子，依据实数编码的发车间隔概率σj构造变异算子，选取［Ij，min，Ij，max］中的1 个随机概率对染色体基因进行变异；根据式（17）—式（25）推算各类乘客数，依据式（1）—式（3）计算适应度函数，记录当前代最优解，判断是否满足迭代终止条件，若不满足，则继续更新初始种群并计算，直至当前代最优解满足迭代终止条件，转步骤6。

步骤6：找出最优个体适应度值，记录当前开行方案下的最优停站方案及不成对时刻表，判断是否选取完所有开行方案组合，若不满足，转步骤2；若满足，转步骤7。

步骤7：对比各开行方案组合下的最优值，输出最优不成对时刻表，计算结束。

4 案例分析

以某条城市轨道交通线路为例，该线路全长58.96 km，共有车站13 个。担当列车的定员为930 人。车场1 和车场2 的可运用车底数量分别为16 和24 列。快车有2 种停站方案选择［15，27］，相应的停站方案备选集合分别为{1，3，7，9，13 }和{1，2，3，7，9，12，13 }。区间纯运行时间、停站时间及快车停靠站点如图3所示。

根据图3，该线路上研究时段内各站OD 客流到达速率见表1。表中：以色阶形式直观展示数值大小，颜色越接近红色，表示OD 乘客到达速率越高，客流量越大。计算可知：主客流方向最大断面客流为17 622 人·h-1，非主客流方向最大断面客流为3 513 人·h-1；早高峰时段方向不均衡系数高达1.67，潮汐客流特征显著。其他参数及取值见表2。

图3 线路站点及各项作业时间

表1 研究时段内的OD乘客到达速率 人·s-1

表2 其他参数及取值

4.1 模型有效性及优化效果

考虑到启发式算法求解的随机性，进行多次迭代后，在可接受的时间范围内求得1个较优解。图4 为算法迭代收敛图，定制的改进遗传算法在迭代100 次后趋于收敛，求解时间在30 min 以内。求解出高峰时段不成对运行图如图5所示，得到主客流方向、非主客流方向的列车开行数量分别为21 列和12列，快、慢车开行比例为1∶2，高峰时段上线车底数量共32趟。

图4 算法收敛过程

图5 高峰时段列车不成对运行图

将本文得到的不成对方案与成对方案进行对比，结果见表3。表中：括号内数字为计算得到不成对方案的优化率。由表3可知：不成对方案的主客流方向通过增大开行数量来满足大客流需求，使线路平均满载率降低了1%，乘客服务水平提高；非主客流方向开行列数由20 列减少至12列，乘客总等待时间虽有所增加，但列车运营成本减少17.8%，说明开行数量的减少，极大地提高了企业运营效益；非主客流方向快慢车的开行，也使得乘客在车时间减少8.7%，乘客总出行成本减少7.1%，且高峰小时上线车底数减少6列，说明开行部分快车大幅减少乘客在车时间，加速车底周转的同时也减少了部分长距离出行的乘客时间成本。总的来说，本文提出的结合单向车、快慢车的不成对方案具明显优于成对方案。

表3 不成对运行图与成对运行图的指标统计

4.2 与均衡发车不成对方案的效果对比

为验证非主客流方向快车开行的必要性，对比得到的快慢车不成对方案与双方向均为站站停慢车且均衡发车的不成对方案（站站停不成对），结果见表4。由表4 可知：快慢车不成对方案在非主客流方向开行部分快车，由于非均衡发车导致乘客等待时间延长；站站停不成对方案下，列车发车间隔较小且分布均衡，乘客总等待时间较小。但开行快车有其必要性，一方面快车可通过跳站大幅减少乘客在车时间（7.8%），缩短乘客总旅行时间（6.9%），降低乘客总出行成本（6.7%），另一方面快车加速了非主客流方向车底的周转，更有利于双方向车底接续，从而减少上线车底数。综上，本文不成对方案在加速车底周转的同时，减少了乘客总出行时间，有助于实现更大程度的不成对运输组织。

表4 站站停与快慢车模式下不成对运行图的指标统计

4.3 灵敏度分析

1）方向不均衡系数

线路方向不均衡系数直接影响不成对方案双方向的开行列数，从而影响上线车底数，对不成对方案实施的必要性起决定性作用。以0.04 为步长，取方向不均衡系数分别为1.43，1.47，1.51，…，1.71，分别得出不成对方案与成对方案的双方向总列数、乘客出行时间和目标函数，并计算不成对方案下各指标的优化率，结果如图6所示。

图6 不同方向不均衡系数下的不成对方案各项指标

由图6 可知：随着线路方向不均衡系数的增大，总目标函数优化率由-0.8%提高到18.3%，乘客出行时间的优化率由-7.0%提高到15.5%，说明不成对运输组织模式适用于客流方向不均衡系数较大的地铁线路；当方向不均衡系数小于1.47时，不成对方案的优化效果不佳，即当该线路高峰时段方向不均衡系数不小于1.47时，可以启动不成对方案。由于不成对方案还会受到高峰时段长度、运用车数量等因素影响，因此不同线路不同高峰时段启动不成对方案的方向不均衡系数临界值可能有所不同。

2）高峰时段时间长度

高峰时段时间长度是决定不成对方案可实施性的重要因素之一。若高峰时段时间长度过长，导致双方向车底不能及时周转，会使不成对方案无法实施。以0.5 h 为步长，分别取高峰时段为1.0，1.5，2.0 和2.5 h，分别得出不成对方案与成对方案的各项指标，并计算不成对方案下各指标的优化率，结果如图7所示。

图7 不同高峰时段下的不成对方案各项指标

由图7 可知：随着高峰时段时间长度由1 h 延长至2 h，不成对方案的优化效果在逐步减小；在2 h 高峰时段不能求解出1 个兼顾上线车底数、快慢车行车间隔约束的不成对方案。因为不成对运输组织下的双方向上线车底数量不均衡，若高峰时段过长，导致部分车底不能及时周转回到主客流方向形成高峰运力，造成主客流方向部分列车无车底接续。由此可见：不成对运输组织模式适用于高峰运营时段较短的地铁线路。在实际运营过程中，需根据高峰时段长度来判断是否有必要实施不成对方案。

3）快慢车开行比例

快慢车开行比例直接影响非主客流方向的开行列数，进而影响双方向车底接续以及上线车底数量。将快车：慢车的比例分别设置为0∶1（全慢车），1∶1，1∶2 和1∶3 共4 种。分别得出不成对方案与成对方案的各项指标，并计算不成对方案下各指标的优化率，结果如图8所示。

图8 不同快慢车开行比例下的不成对方案各项指标

由图8 可知：随着慢车开行比例的增大，非主客流方向的开行数量增加，列车运营成本增大，而乘客出行时间随之减少；当开行比例增大为1∶3时，列车运营成本保持不变，乘客出行成本反而增大。这是由于快慢车追踪间隔的限制，无法进一步增加非主客流方向列车数，而发车间隔更加不均衡，导致乘客服务水平下降。在满足列车开行条件下，通过适当提高非主客流方向慢车开行比例的形式来增大开行列数，可以提高乘客服务水平，更好地实现不成对运输组织。

5 结语

本文研究能够适应潮汐客流的方向不均衡特征的地铁列车不成对运输组织模式。为增大主客流方向运能同时减少非主客流方向运能浪费，提出了主客流方向开行部分单向车、非主客流方向开行部分快车的不成对运输组织模式。以乘客总出行成本和列车运营成本最小化为目标，构建了考虑车底运用计划的不成对运行图优化模型，设计了定制的改进遗传算法进行求解。案例表明：相比于成对方案，本文不成对方案使乘客总出行成本降低7.1%，列车运营成本节省17.8%，高峰时段上线车底减少6列，证明了不成对方案对乘客服务水平和企业运营效益都有一定的优化效果；相比于站站停不成对方案，本文不成对方案使得乘客出行及列车运营综合成本降低4.2%，高峰时段上线车底减少1列，证明了结合单向车、快慢车的不成对运输计划加速了车底的周转，更有利于实现不成对运输组织；对方向不均衡系数、高峰时段长度以及快慢车开行比例进行的灵敏度分析，证实不成对运输组织模式适用于客流方向不均衡系数较大、高峰运营时段较短的地铁线路。