学科交叉背景下数值优化课程教学改革探索

徐丽君，王志平

（大连海事大学理学院 辽宁 大连 116026）

2020 年，教育部联合国家发改委等多部门共同发布了有关新时代教育教学改革的意见，会上提出了促进学科交叉融合发展的重要性，鼓励探索交叉学科中的关键问题，设立一批交叉学科研究中心，培养拥有核心技术的高精尖人才。根据统计（截至2019 年5 月31 日），高校自设交叉学科名单中，涉及数学学科的有数据科学、金融工程、工业与系统工程、数理经济、生物信息学、医学生物信息学、计算材料物理学、信息处理及智能控制、计算科学等。

“数值优化”课程源自传统的“优化方法”课程。优化方法课程是目前数学类、统计学、人工智能等专业本科或研究生阶段最基本、最重要的一门课程[1-2]，是一门理论性和实用性很强的专业课程，在交通运输、生产实际、金融经济、工程技术及军事等领域都有非常广泛的应用[3-4]。根据课程教学内容的侧重点不同，各高校设置的课程名称也略有不同，比如大多数高校开设的课程名称为最优化方法、最优化理论与方法等[1-6]。

以大连海事大学（以下简称“我校”）为例，数学学科研究生招生目录中有四个研究方向，即数据科学中的数学方法，组合数学及其应用，优化方法及其应用，微分方程及其应用。具体的研究内容包括生物统计、机器学习、人工智能、组合优化、神经网络、反问题等不同领域，问题背景源自多个交叉学科。根据前期调研和多年的研究生培养经验，四个研究方向都需要用到一些优化方面的理论和算法，因此在我校2018 年研究生培养方案修订工作中，将“数值优化”新增为数学学科硕士研究生的专业必修课之一。实际上，该课程也适用于对优化算法有需求的其他交叉学科相关专业，是一门应用广泛的课程，兼具数学学科的严谨性及相关交叉学科的实用性、实践性。随着社会高速发展、众多学科交叉融合问题的出现，比如计算机图像处理中的压缩感知、人工智能中的机器学习算法、现代医学中的数字影像处理和大数据分析等，对“数值优化”这门课的教学内容、理念、方法等方面提出了更高的要求，本文以此进行教学改革探索，具有一定的实际意义。

1 研究现状分析

目前国内许多大学开设优化方面的课程，常见的课程名称为“最优化方法”或“优化理论与方法”等，以“数值优化”作为课程名开设的学校较少。常见的课程内容基本以经典的优化理论和方法为主，比如无约束最优化、约束优化的最优性条件及求解方法等。教学内容主要包括一些最基本和实用的经典优化方法和简单算例。学生可以学到这些优化方法的理论依据、算法框架、收敛性质等。但是，随着学科交叉融合时代的到来，本课程不仅需要上面所列举的理论知识，还要求在数值上高效近似地进行求解。然而，目前采用的教材都是偏重于理论知识，并且内容比较陈旧，缺乏一些前沿的数值优化算法和技巧方法。

实际上，研究生数学基础各异，研究方向交叉融合。许多院校没有针对此问题开展相关教学内容、方法等方面的改革，而部分院校仅针对特定的二级学科研究方向开设此课程。因此，针对交叉学科背景下的“数值优化”课程一系列教学工作亟须改革，确保研究生在今后的学习和工作中能够学以致用。另外，在课程资源方面，目前没有一个全面系统的资源网站供学生进行自我学习和交流，尤其是本课程侧重的用于数值计算的实际案例资源。

2 教学改革探索

在教学内容方面，课程的教材内容应围绕优化算法，简要讨论优化问题基本概念、无约束优化基础，着重讨论线搜索方法、信赖域方法、共轭梯度法和拟牛顿法的联系与不同，以及约束优化算法。在已有教材内容的基础上增加目前交叉学科背景下广泛应用的大规模优化算法、无导数优化算法、稀疏优化算法和非光滑优化算法的教学，比如LASSO、交替方向法、邻近梯度法、深度学习算法等等。同时及时了解数值优化的发展现状和研究趋势，结合最新研究成果和教学实际，逐步增加新的知识内容，完成教学内容的改革（比如参考书籍《机器学习中的优化理论、算法及应用》）。同时根据需要，逐步修订与完善教学大纲。教学内容应强调算法的收敛性、复杂性和数值稳定性分析，注重讨论优化算法的基本原理与数值计算技巧，体现出应用问题的编程需要，并力图反映交叉学科领域的最新成就与发展前沿。

在教育理念方面，为培养学生的创新能力，加强数学思想的传授，由过去的单纯传授理论知识逐步转变为理论知识与思想传授相结合。该课程一方面体现其工具性，通过讲授优化的基本方法及理论，使学生掌握实用的数值方法，从而能够解决某些或某类具体的问题。另一方面体现其培养性，通过系统地传授优化方法的理论、算法和应用，举一反三，培养学生的创造性思维，当遇到新问题时能够应用已有方法或对已有方法进行改进，甚至设计新的方法求解。最后一方面是科研训练，在本课程中针对不同学科方向的研究生进行科研论文研讨，结合所学优化算法，交流科研论文中的方法，帮助研究生进入科研状态。

在教学方法和教学手段方面，由于本课程讲授大量优化算法的理论以及它们之间的比较，非常适合将多媒体辅助教学方式引入课堂，使算法流程和比较结果直观化。比如：线搜索方法和信赖域方法可以使用动图对迭代点的寻找进行演示。因此，有效结合多媒体和动图软件技术，将其融入数值优化的课程教学中，是本课程的重要改革方向之一。此外，由“以教师为中心”向“教师-学生”研讨式教学方式转变，比如以学科方向分组进行课程内容的研讨、报告和实验等。另外，充分利用现代教学手段，增强课堂教学效果，使学生尽可能地理解并掌握优化算法的知识。例如：制作生动具体的PPT 课件，将抽象的概念利用图片动态演示，将数值算法可视化，帮助学生理解算法的原理及不同算法的效率，同时节省课堂抄写定理定义的时间，提高课堂效率；利用现有的数学软件（如Matlab/R/Python等）验证程序的正确性和可用性，加强了学生对知识的理解，提高了学生的学习兴趣。

在课程考核方面，课程传统的考核方式注重学生数学知识的掌握，忽略了对其创新能力、动手能力的要求。为了培养创新型人才，除了要求学生利用数学软件或其他编程语言在实验课上编写程序这种常规做法外，还需要设计交叉学科方向的具有实际应用背景的、创新型试验习题，让学生利用计算机编写软件，此部分作为课程考核的补充部分。

在课程资源方面，整合学科交叉方向知识点的网络资源，建设目前没有的课程资源，不仅包括常规的教学课件、代码等，还包括一些应用优化算法的实践案例资源，是一些优化算法的前沿进展，便于学生学习、交流、研讨。同时，让同学们参与资源搜索、分享等工作，锻炼搜索相关文献资源的能力。

3 航运学科背景下的教学案例

我校作为航运特色高校，坚持航运特色，注重交叉融合，在数学学科建设过程中，重点围绕我校一流学科“交通运输工程”的几个研究方向，例如船舶运输安全保障技术、高效海运物流系统与运营管理技术、智能船舶开发及运用技术等。经过近年来多学科之间的交流探讨，发现上述研究领域中用到很多数值优化方面的理论和算法。下面以如船舶智能配载中的优化问题为例，介绍本课程的教学改革成效。在货船配载中需要考虑很多因素，比如装船时间、船舱利用率、装载效率、倒箱量等，这些因素可以作为优化问题中的目标函数；比如吃水深度、稳定性、船舱容量、堆装规则以及客户需求等可以作为优化问题中的约束条件。在本课程教学过程中，以此问题为背景，可以引出众多优化子问题，比如船舶浮态平衡计算的优化问题、集装箱装卸中的整数规划问题、装卸货物倒箱量极小化问题等。进一步讲解其中将用到的一些算法，比如传统的线搜索、信赖域等算法和遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等启发式算法。同时，课程中还引入了目前流行的神经网络、深度学习、机器学习等方法，供同学们进行自由式、自主性探索。课程考核方面，让同学们分组进行讨论，针对某一子问题，通过文献搜索、建模、设计算法、模拟实验等步骤，完成一份科研报告或论文。在此过程中，既将本课程所学的优化算法进行了实际应用，又使得同学们在研一上学期锻炼了基本的科研能力，对研究生系统科研素质的培养奠定了一定的基础。有的研究生还以此为研究方向，继续开展深入的研究，恰好符合了“以成果为导向”的OBE 教育理念。同时，本课程也实现了以教学促科研、以科研补教学的教学目标，尤其对于航海类方向的研究生，达到了因材施教，学以致用的教学目的。

4 实施教学改革遇到的问题

教学内容上要兼顾交叉学科不同研究方向的背景，新内容的引入给课堂组织和教学带来了一定困难，需要在课程内容方面做好取舍，使学生掌握优化基本知识的同时，顺其自然地涉猎新知识。

在开展课程教学的同时进行科研训练，结合“教师-学生”研讨式教学，需合理安排时间和教学进度。以我校数值优化课程为例，该课程总学时48 课时，根据近两年的研讨式教学经验，研讨式教学课时需控制在16 课时以内，并且课程内容要相对简单，不能有过多的定理证明和推导等。

多媒体教学是把双刃剑，一方面，大大提高了学生学习兴趣，激发了学生的创新思维。另一方面，在教学过程中教师如果运用不当，也会造成一定的负面影响。多媒体教学信息量很大，相比于板书教学进程快，许多学生不能记笔记或者忙于记笔记，忽视了老师的课堂讲解，不能很好地适应多媒体教学。因此，教师一定要采取板书和多媒体相结合的方式进行讲授，比如算法的理论演示可以采用多媒体进行教学，而部分关键理论推导和算法框架可以采取板书教学，这样能够有效提高学生的课堂学习效率。

课程思政的融入是为贯彻习近平总书记有关“与思想政治理论课同向同行”的讲话精神，也是目前很多高校课程面临的问题。如何挖掘本课程中的思政元素，需要集思广益，在课程教学过程中进一步交流探讨。

5 结语

在交叉学科背景下，很多研究方向都需要优化的理论和算法，数值优化在其中扮演着重要的角色。本文通过对数值优化课程的教学改革，基于OBE 成果为导向的教育理念，将教学与科研融合，以教学促科研，以科研补教学。通过向“教师-学生”互动研讨式教学方式转变，结合专业方向的实际需求，达到因材施教、学以致用的目的。从而达到锻炼研究生自主学习能力、增强其创新能力、提升其科研素养的目的，为培养适应科技发展的新时代人才奠定基础。