基于改进层次分析法的指标权重方案设计

2022-12-13张驰

中国新技术新产品 2022年18期

张驰

（江苏财经职业技术学院智能工程技术学院，江苏淮安 223000）

0 引言

考核与评价是一个单位对部门和员工工作的检查，是判断工作完成情况好、坏的标准，是资源再分配的重要依据。优秀的评价方案能体现工作重点，充分调动员工积极性，对领导者、普通员工均有重要价值。一个优秀的考核评价过程最重要的步骤便是对考核指标进行权重赋予。只有客观科学的权重赋予，才会使评价目标清晰明确、主次分明。传统的指标权重一般依赖于专家的经验直接赋予。这种方案指标明确，权重清晰，可以将指标完成情况以具体的数据呈现出来。但其不合理之处也十分明显。首先，权重产生由专家直接给出，主观性太强。其次，权重固定单一，不同的考核主题重点不同，固定权重显然不能突出重点。因此权重的产生必须是相对客观的、动态的。这就需要一套针对考核主题产生相应权重的过程，该过程必须减少主观性的影响。这种为了产生合理权重而进行的过程可以称之为权重产生的模型，它对权重产生至关重要。

1 经典层次分析法分析

层次分析法[1]是权重产生的优秀模型之一，诞生于20世纪70年代初，经过几十年的检验，它被事实证明是一个优秀的、科学的模型，在考核评价领域具有一定的权威性，是一个针对多目标、多层次的综合决策模型。它主要由4个步骤组成。

1.1 构造层次结构模型

构造层次结构模型[2]如图1所示。

图1 层次结构模型

1.2 构造对比判断矩阵

层次分析法的第二步便是构造对比矩阵[3]，它是整个层次分析法最重要的部分。其主要意义在于将定性指标间的关系描述成定量数据之间的关系。指标权重正是由对比矩阵的构建而产生的。由于指标很多，专家在权重设置中很难精确地把握，因此广泛采用1～9尺度标准作为确定判断定量值的依据。重要性越大，值越高。为更符合人们的正常思维，一般可以采用十分制打分。如打分为wi、wj，取aij=wi/wj，进而形成判断矩阵，如公式（1）所示。

1.3 计算判断矩阵权向量

层次分析法的第三步便是计算权向量[4]，以归一化的权向量值作为指标的权重。

将矩阵还原可得公式（2）。

通过观察可知，判断矩阵恰好与向量W=（w1，w2，w3，…，wn）T存在正比关系，如果将w1，w2，w3，…，wn归一化，使其和为1，则可将w1，w2，w3，…，wn视为指标的权重。这就是所谓层次分析法的权向量。

再通过仔细观察，可以发现公式（3）。

式中：n为一具体实数，可知向量W可为判断矩阵的特征向量。

而利用最小二乘法可以证明用特征方程求得的权向量平均误差较小，因此采用求特征方程的方法求权向量。如果W的值不是唯一的，那么就存在选择的问题：1）如果判断矩阵A与公式（2）一致，即则称A为一致阵。一致阵的秩是1，说明它存在唯一的非零特征根，即n是唯一的（矩阵的阶数），那么W也就是唯一确定的，这是理想状态。如果指标存在层次性，将W归一化即可认为其元素是该指标基于上层指标的比重。2）专家的评判是主观的，不是严格意义上的数学计算。在以某一指标为基准时，专家的打分不一定满足aij·ajk=aik。这就使矩阵A为普通的正互反矩阵。这时可以人为进行规定，取最大特征值所产生的特征向量作为权向量W。因为n越大，权向量W内的元素相差也就相对较小，人为因素产生的偏差就最小。如果指标存在层次性，将W归一化即可认为其元素是该指标基于上层指标的比重。

1.4 一致性检验CR

由上述分析可知，最理想状态的判断矩阵为一致阵，它的每个相关元素之间的比率是一致的，唯一的非零特征根也可认为是一致阵的最大特征值。而由于人为偏差，必然导致非一致的正互反矩阵的最大特征值大于阶数n，并且元素偏离一致矩阵元素越多，最大特征值也就偏离越多。偏离过大的特征值所形成的权向量不能成为指标权重。所以，层次分析法还要求对判断矩阵进行一致性检验，即CR值[5]。

其中CR=CI/RI，RI为修正值，根据矩阵阶数的不同，有不同的对照值。如果计算结果CR≤0.1[6]，则结果满意。否则，不具有一致性，需要专家重新打分，直到满足一致性检验，这里不再赘述。

2 层次分析法的改进

2.1 层次分析法的不足

2.1.1 两两对比过程过于冗长

经典的层次分析方法需要对指标进行两两比较[7]，然后得出二者重要性的大小。这种方法虽然降低了专家或决策者对指标评价的难度，但同时也增加了专家或决策者对指标判断的次数。例如简单的4项指标，专家要进行4×3/2=6次比较才会形成比较矩阵，标度量过大容易引起决策者的反感和混乱。

2.1.2 频繁比较易造成矛盾

层次分析法之所以需要一致性检验，就是因为大量的两两对比易使专家产生混乱。例如，评价a、b、c这3位老师的教学水平，由于3位老师的教学水平差不多（出勤率、学生期末成绩及格率等），只是在实际调查中c老师学生的期末成绩获得高分的人比a、b老师的学生多一点，在两两比较判断中会出现如下情况：1）a和b具有相同的重要性，a和b之间判断矩阵A中的元素a12的值为1。2）判断a和c时，专家没考虑期末成绩获得高分人数这一因素，这样a和c重要性也一样，所以a和c之间判断矩阵A中的元素a13的值也为1。3）判断b和c时，专家又考虑期末成绩获得高分人数这一细微因素，认为c比a好一些，所以给出b和c之间判断矩阵A中的元素a23的值也为1/2，即c比b好。

这样就形成了判断矩阵，如公式（4）所示。

通过假设可以进行逻辑判断，由1）可知a与b重要性一致，由3）知b比c的重要性差，所以可得a比c的重要性差，这与假设2）矛盾。

因此可知，A是存在矛盾的判断矩阵。当指标数很多时，很难发现判断矩阵是否矛盾，如公式（5）所示。

这就是由于过多的、频繁的比较后，人的主观印象变化所造成的矛盾。所以需要一致性检验来判断矩阵是否存在矛盾。然而，在频繁的对比过程中，即使是极有经验的专家也难免发生错误，这就会导致判断矩阵时常不能通过一致性检验。如果为了考评更客观而邀请多位专家进行对多项指标进行打分，导致对比更频繁，会极大影响专家的情绪和考评工作的进展。

2.2 经典层次分析法的改进

为了解决工作量大、多目标易产生矛盾等不足，特做如下改进。

首先，只对判断矩阵的上三角或下三角进行标度。因为判断矩阵是正互反矩阵，矩阵主对角线上的数字是互为倒数的。因此只需要对一半的矩阵进行标度。标度公式如公式（6）所示。

其次，出现矛盾矩阵的罪魁祸首便是繁复、大量的两两对比。如果比较次数较少，甚至只比较一次，矩阵其他元素由一次比较所形成的数据之间的关系得出，便不会产生矛盾矩阵。所以只需要取1个元素为标准比较，判断矩阵的其他元素由专家打分的比值或差值得出，这样可以使判断矩阵具有完全的一致性。应该注意的是，由于只进行一次标度，其他元素均是根据一次标度之间的数据关系来进行填充的，如果一次标度不合理，势必会导致整个判断矩阵不合理。

再次，应选取多个专家自由选取标度因子进行独立标度。而由此带来的多判断矩阵的情况，可以用统计学的相关知识进行检验。

置信度[8]是指人们所做判断的可靠性，或所测数据的可信程度。置信区间[9]是指通过样本估计的总体某个参数的估计区间。置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果周围的程度。例如1-α=0.95，表示可靠性（概率）大于95%。可以预见，均值置信区间的中点值可以反映大部分数据的分布情况。

由数理统计的相关知识可知这样一个数学定理：设x1，x2，x3，...，xn是来自总体为N（μ，σ2）的一个样本，如公式（7）所示。

式中：、S2分别为样本的均值和方差；μ、σ2分别为总体的均值和方差；n为数据样本个数。

在用样本方差S2代替总体方差σ2时，统计量服从的是（n-1）个自由度的t分布。

设专家给出的判断矩阵同一位置的元素为xij，数据平均值为，对给定的α（通常取0.05，即置信度1-α为95%），由t分布表可得tα（n-1）的值，设为T。如公式（8）所示。

式中：μ为整体平均值；S2为样本方差；n为数据个数。

通过公式（8）可以得出μ的取值范围，设为[a，b]，则可用中点值aij=（a+b）/2作为专家一系列判断矩阵元素xij的代表元素，进而形成综合矩阵。再将用统计方法得到综合判断矩阵进行一致性检验。如果矩阵CR值≤0.1，则符合一致性检验，如果CR值大于0.1，则可以给打分专家提供综合矩阵，让专家进行权重值的相关探讨，进而重新打分。

2.3 改进层次分析法的合理性分析

首先，矩阵A满足aii=1、aij=1/aji以及aij>0这3个条件。

其次，如果对矩阵A的上三角形进行标度，当指标评分相同时，如a12=a13，会导致a23=a13/a12=1。当指标评分不同时，如a12=2，a13=3，会导致a23=a13/a12=3/2>1，即A1比A2重要一些，A1比A3更重要一些，所以A2比A3重要一些，符合层次分析法对重要性的定义。并且它们之间还有一定的比例关系，符合对评分的一般性认知。当然，如果a12=0.5，a13=0.25，则会导致a23=a13/a12=0.5<1。即A2比A1重要一些，A3比A1更重要一些，所以A2比A3次要一些，满足判断矩阵元素的相关定义。对矩阵A的下三角形进行标度的过程类似，也满足层次分析法对判断矩阵的构造要求。

再次，该判断矩阵虽然只进行了一次标度，但这次标度同样是以两两比较得出结果，避免了所谓因为指标数量巨大而造成的专家打分混乱。它是以1个因子为准进行标度，按照一定的准则进行统一判断，所以避免了因考虑不同因素而造成的打分矛盾。

从次，专家打分完成后会进行综合矩阵的一致性分析，避免了由于专家之间的认知不同所造成的矛盾和不客观。

最后，专家们自由选取基准指标进行一次标度，相当于一位专家进行完整的两两比较过程。当然，如果专家本身再根据自身资历、经验情况拥有相应权重，评价就会更客观。

2.4 改进层次分析法模型设计

结合经典层次分析法的流程，可以得出改进层次分析法的具体流程如下：1）选取m位考核专家，根据其能力与关联度进行权重赋予，分别为p1，p2，p3，...，pm。2）每位专家选取一个指标为基础指标，运用层次分析法进行一次指标赋分，每个元素乘以专家权重，构成含专家权重系数的对比矩阵。3）选取所有专家对比矩阵同一位置数形成集合，计算整体平均值μ，以μ为对应位置对比矩阵的元素，形成综合对比矩阵。4）计算综合对比矩阵CR值，如果小于等于0.1，则转（5），否则转（2）。5）计算综合对比矩阵权向量，并归一，每位元素即为指标权重。