抓住数学本质，引发深度思考——浅析有关“田忌赛马中的对策问题”的教学实践与思考

李 桃

(广德市实验小学教育集团西校区 安徽宣城 242200)

引言

“田忌赛马中的对策问题”属于“数学广角”领域，这个领域的教学主要是通过一些较简单的事例渗透一些重要的数学思想与方法。在教学实践中，有的教师把这类课上成了简单的游戏活动课，课堂活动过程形式化，热闹的背后实质上是学生缺乏思考、归纳，收获甚微。笔者曾在安徽省小学数学教学专业委员会学术年会教学观摩研讨活动中执教过这节课，并且制作的微课曾获得安徽省一等奖。2021年，笔者又将本节课浓缩精华，摄制的精品课获评省级精品课。结合对本课的多次研究，笔者现将自己的教学思路进行整理，并与同行共研。

【课前思考】本课以田忌赛马的故事为教学蓝本，引导学生通过游戏探究、体验对策，积累相应的活动经验。学生通过课外阅读已经了解这个故事，但并没能用数学的眼光去分析故事。如何抓住数学的本质，引发学生深度思考，让课堂更具有“数学味”，笔者设计如下教学情境。

课前游戏：逃牌游戏

游戏规则：大牌可以压小牌，也可以选择不压牌，大的一方继续出牌，先出完者获胜。(双方牌分别是3、10、K和7、10、大王)

若生选大牌，师就先出。师先出10，生不管怎么出牌结果都是教师赢。

师生再战。(先出10是关键)

【思考】课前师生体验“逃牌”游戏，通过“逃牌”游戏激活学生已有的生活经验。引导学生发现游戏策略，学会思考，认识到在比赛或游戏中策略的重要性，激发学生的策略意识。

一、游戏导入，初步感知

(一)直观演示，明确规则

1.师：想不想继续玩扑克牌游戏？要思考怎样在游戏中获胜。

2.宣布游戏规则。

师：接下来的这个游戏的规则和课前游戏的规则是不一样的，怎么玩呢？(利用多媒体出示游戏规则，见图1)

师：红牌和黑牌选哪种颜色的三张牌会赢？为什么？

师：猜一猜，哪方会获胜？(学生讨论)

3.出示：红牌10、7、4，黑牌3、2、A。(见图2)

师：如果你选黑牌，你觉得你会赢吗？

得出结论：红牌和黑牌双方大小悬殊明显，胜负分明，这样的比赛是不公平的。

(二)变化点数，继续感知

师：实力悬殊太大，这样的比赛不公平，那么将牌换一换，黑牌换成9、6、3。继续思考，黑牌有赢的可能吗？观察比较红牌和黑牌的三张牌的点数，你们有什么发现？(学生得出黑牌略小的结论)

师：这样换过后，黑牌略小，结果又会如何？你认为哪方能获胜？说说你的理由。

【思考】以扑克牌游戏替代田忌赛马故事情境，激活了学生已有的生活经验。学生可以自主体验，积累活动经验，为后续探究、归纳做好铺垫。

二、再次游戏，探究对策

(一)抛出问题，突破思维定式

师：有没有其他的应对策略？有的话，一共有几种？在这些策略中黑牌是不是一定没有机会获胜？(利用多媒体出示学习任务单)

同桌合作，填写学习任务单。(见图3)

第一局第二局第三局获胜方红牌1074黑牌1黑牌2黑牌3黑牌4黑牌5黑牌6

(二)分层反馈，感受有序思考

1.汇报不完整的、无序的方法。

2.汇报完事的、有序的方法。(预设从无序到有序)

生：红牌出10，黑牌出9，后面3和6交换位置是两种方法；红牌出10，黑牌可以先出6，3和9交换位置也是两种方法；红牌出10，黑牌出3，后面6和9交换位置又是两种方法，一共是六种方法，列式为2×3=6。

(三)感受黑牌(弱方)取胜的策略

1.初步感受策略

师：请看表格，在这么多策略中你发现了什么？(见图4)

第一局第二局第三局获胜方红牌1074黑牌1963红黑牌2936红黑牌3693红黑牌4639红黑牌5396黑黑牌6369红

师：思考一下，黑牌赢的那一次有什么高明之处？

生:用最小对最大。

师:你这拿最小敌最大，不是拿鸡蛋碰石头吗？

生:我是要留着大牌放后面呢！

生:用黑牌中的9对红牌中的7黑牌赢，用黑牌中的6对红牌中的5又是黑牌赢，三局两胜，黑牌胜。

2.感受有序思考、择优选用思想

师：我们是怎样发现且确定只有这一种方法才能取胜的？

预设：排列法，有序地以一张牌固定开头……

得出方法：有序列举。

【思考】在游戏中，引导学生体会有序思考的运用，使学生在对比、交流中初步感受取胜策略的本质特征。引导学生有序排列、列举填表、相互对比，经历运用数学方法分析实践、寻求最优策略的过程，积累活动经验。

三、多次体验，总结取胜策略

(一)再次体验，初步提炼

课件出示(见图5)：

师：为什么6和9只能换成5和8，不能再换小，3却可以换成2和1甚至再小也行？

生:黑牌最大的牌对红牌中等的7，要比7大，所以最小是8。黑牌中等的牌要对红牌最小的4，比4大是5，所以最小也是黑牌5，才能保证黑牌后两局赢。

(二)提炼最优策略

师：要想黑牌在比赛中获胜，该怎样做？

师：最小的黑牌与最大的红牌PK，结果肯定是输，这是一种应对策略，这一步的目的是什么？(板书：全盘考虑)

师:那如果将黑牌换成8、5、1，你觉得黑牌能赢吗？

师生比赛，学生从实践中发现规律，要求教师先出牌。

师：从再次比赛中，你又有了什么新的发现？(板书：知己知彼)

【思考】为了能更好地引导学生理解比较抽象的策略方法，教师为学生搭建好探究活动的“脚手架”，让学生全员参与探究，真正提高教学的有效性。通过不断尝试，学生逐渐明晰使用策略能获胜的前提、方法、特征，教师在潜移默化中渗透了数学方法。

四、解析“田忌赛马”，内化对策略的理解

(一)课件出示“田忌赛马”视频

1.引导学生思考

思考：第一次比赛，为什么田忌全都输了？并观看马速对比图(见图6)。

2.引导学生思考

思考：田忌怎样出马才能赢？师生运用Flash动画软件进行比赛演示，再现田忌赛马赢的场景(见图7)。

3.总结分析

分析发现：调换出场顺序以弱胜强的策略称为“田忌赛马”策略。

(二)比较玩牌游戏和田忌赛马的共同点

师：回忆一下刚才的玩牌游戏与田忌赛马的故事，其有什么共同之处？

对比分析：弱者后出，以最小对最大，以最大对中等，以中等对最小。

【思考】通过对比“田忌赛马”和玩牌游戏，不同的比赛用的是相同的对策，引导学生从本质上认识到二者的“同”，对策略有了更高层面的理解和内化。

五、巩固应用，拓展深化

出示巧兵布阵(课本107页第3题)。

师：生活中也会用到这样的对策，你有用过或听过吗？(学生自由举例)

课件出示(见图8)：

师：根据数据你了解到什么？

学生用连线法分析对阵情况。

学生展示讨论结果，提出将名字用字母或数字符号代替，简化解决问题的过程。(见图9)

师：方法多样，只要保证五局三胜即可。

【思考】有效利用教材资源。本题设计不仅是方法的巩固，更体现了方法的多样性。通过本题练习巩固学生对“田忌赛马”策略的掌握，使学生再次感受到策略的重要性。同时学生提出用字母或数字符号代替学生姓名，简化解决问题的过程，说明学生具有符号意识，抽象推理能力得到提高。

六、课堂总结，延伸课外

师：通过这节课的学习，各位同学有什么收获想和大家分享吗？

师：生活中我们面对的问题并不是一成不变的，还有许多不同于“田忌赛马”式的对策。当我们面对一场比赛或竞争时，我们要善于观察、勤于思考、学会分析、讲究策略，这样才能取得最终的胜利。

拓展延伸：抢王牌游戏。

师：今天的这节课就要结束了，但我们的游戏还将继续，老师之后还会和大家PK，你们敢不敢接受挑战？课后和同学玩一玩，看谁能找出抢到王牌的必胜策略，老师等着你来挑战。

课件出示(见图10)：

【思考】到此，本节课的学习即将结束，学生在亲身体验中深刻感受到“田忌赛马中的对策问题”，然而，生活中的对策是变化多样的，通过拓展游戏的设计让学生将学习引向纵深，激发学生探究的欲望。抢王牌游戏是根据课本中的内容改编的，其中的策略不尽相同，相信学生一定能在探索抢到王牌的必胜策略中提升思维，体会到学习的乐趣，以及对策思想的应用价值。

七、总结

(一)板书设计(见图11)

(二)教学思考

1.尊重学习起点，加深体验力度

教学之前，笔者做了前测，从前测分析结果中发现，大约90%的孩子已经知道田忌赛马的故事，知道两次比赛的结果，大约10%的孩子能用连线的方式表达比赛策略。可是大部分的孩子熟知故事，却没有从数学的角度分析和思考。如果仅仅局限于故事，忽略学生已有的生活经验，那将是没有数学味的数学课。因此，只有将“做”与“思”有机结合，让全体学生参与到游戏过程中，让学生在体验中探究策略，将外化的“做”浓缩为内隐的“思”，这样学生的个性才能得到发展，才能提高课堂教学的有效性。

2.精选学习素材，提高探究有效度

学习素材是师生共同研讨的文本，针对这节课的教材内容笔者进行了大胆的处理。首先，对教材内容进行改造、加工，用游戏“比扑克牌的大小”代替故事“田忌赛马”。其次，将教材中的“拍球比赛”改为“巧兵布阵”，训练学生严谨、周密的思维，使其体会策略的多样性，拓展学生对不同策略的认识。最后，为了能更好地实现学以致用的目标，将教材第108页的“报数”游戏改为“抢王牌”游戏。这样，整节课将玩牌游戏贯穿始终，并延伸课外。

3.落实深度学习，巧设探究坡度

学生根据生活经验可能会找到获胜的方法，而我们的教学不应止步于此，而是要引导学生发现其内在的本质(对策思想)。为了能更好地使学生理解比较抽象的知识，教师有必要为学生搭建好探究活动的“脚手架”，让更多学生参与到探究中来。笔者设计了多样化的“扑克牌比大小”游戏，让学生在活动中体验、感悟对策。“意外”的失败让学生“醒悟”，学生要求老师先出什么牌，然后采用田忌赛马的对策，最终获取胜利。学生有了反侦察能力，说明这节课他们不仅仅理解了“田忌赛马”策略，而且策略意识已经深深地走进了学生的内心深处。通过层层剥笋法，学生的思维得到发展，学生善于发现、交流、提炼，在立与破中不断完善认识，对策略的认识更为全面、立体、深入。

“数学广角”对学生数学核心素养提升的作用不容小觑。教师要抓住数学的本质，真正落实深度学习，这样课堂才能焕发出生命的光彩，学生才能学会用数学的眼光看待问题。