微积分教学注记三则

◎金少华 宛艳萍 徐 勇 陈秀引 臧 婷 程俊明

(河北工业大学理学院，天津 300401)

微积分是理工科大学生非常重要的基础课.本文结合近年的考研真题给出了用拉格朗日乘子法求条件极值的注记，并总结了第二类曲面积分及第二类曲线积分的计算方法，以激发学生的学习兴趣,培养其创新思维能力.

(一)用拉格朗日乘子法求条件极值问题时不要丢掉可能的极值点

例1求平面x+y+2z=1和柱面x2+2y2=1的交线上与xOy平面距离最短的点.

解曲线上的点(x,y,z)到xOy平面的距离d=|z|，作拉格朗日函数

L(x,y,z,λ,μ)=z2+λ(x+y+2z-1)+μ(x2+2y2-1),

从而有

解平面x+y+2z=0过椭圆中心，而椭圆中心到空间一点(x,y,z)的距离为

作拉格朗日函数

L(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-a2)+μ(x+y+2z),

从而有

初学者很容易将λ=-1这种情形忽略掉，而得到长、短半轴一样长的错误结果.

解根据题意，目标函数为f(x,y,z)=z2，约束条件是x2+2y2-z-6=0，4x+2y+z-30=0.

作拉格朗日函数

L(x,y,z,λ,μ)=z2+λ(x2+2y2-z-6)+μ(4x+2y+z-30),

从而有

当λ≠0时，解得x=4,y=1,z=12或x=-8,y=-2,z=66.

当λ=0时，由方程(11)解得μ=0,由方程(3)解得z=0，将z=0代入方程(14)和(15)，x与y无实数解.

故所求距离的最大值为66.

(二)利用格林公式计算第二类曲线积分

利用格林公式计算第二类曲线积分要注意三要素：积分曲线L为封闭曲线，L取正向，被积函数在L所包围的区域上有连续的偏导数.

(1)求I(D1)的值；

解(1)由二重积分的几何意义知，

当且仅当4-x2-y2在D上大于0时，I(D)达到最大，故D1:x2+y2≤4,

则由格林公式,有

(三)第二类曲面积分的计算方法

这里有三要素：二重积分的符号，上侧为正，下侧为负；把Σ投到xOy面得投影区域Dxy；把Σ的方程表示为z=z(x,y)的形式.

上述二重积分的积分区域关于x轴对称，而被积函数为y的偶函数，利用极坐标计算该二重积分，得

(2)利用高斯公式计算第二类曲面积分.这里有三要素：积分曲面Σ为封闭曲面；Σ取外侧；被积函数在Σ所包围的区域上有连续的偏导数.

解依题意，本题可直接利用高斯公式，得

利用高斯公式，得

利用坐标轴投影法计算上述三重积分，得

解利用高斯公式，但有奇点，可根据题目特点挖掉一个小球体：x2+y2+z2≤R2(R<1).

故

由于被积函数及其偏导数在原点处不连续，作封闭曲面(取内侧)：

Σ1:x2+y2+z2=R2,0

故有

(3)利用两类曲面积分之间的联系计算第二类曲面积分.

解本题被积函数偏导不连续且积分曲面不封闭，不满足高斯公式的条件，但可利用两类曲面积分之间的联系计算.

由dydz=cosαdS,dzdx=cosβdS,dxdy=cosγdS,根据两类曲面积分之间的联系,得