思政融入教学 教学体现科研——基于课程思政的数值分析课程教学理念

李梦霞，董 勇

（1.长江大学 计算机科学学院，湖北 荆州 434023；2.长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023）

从2013 年到2021 年，习近平总书记15 次谈到了“培养什么人”的问题，反复强调要“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”。习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调，要用好课堂教学这个主渠道。使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。把“立德树人”作为教育的根本任务。中共中央、国务院印发了《关于加强和改进新形势下高校思想政治工作的意见》的文件，提出了坚持全员全过程全方位育人的方针政策，指出要“把思想价值引领贯穿教育教学全过程和各环节，形成教书育人、科研育人、实践育人、管理育人、服务育人、文化育人、组织育人长效机制”[1]。2020 年5 月28 日，教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》[2]，进一步明确了针对不同类型的课程开展课程思政的要求。

数值分析课程[3]是大学数学专业的专业必修课程，也是工科专业的公共必修课程，是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科。这门课程中涉及的许多数值计算方法可应用于求解科学与工程领域中的许多问题，所以该课程对于工科专业的学生及工程技术人员十分重要。本文针对的授课对象是计算机专业学生，数值分析作为科学计算的基础理论与基本方法的课程，已成为计算机专业学生的重要课程。

陆亮等[4]针对机械专业的数值分析课程，围绕机械专业的特点，探讨了课程思政的具体实施过程，提出采用量规表进行作业评价的方法。邵新慧等[5]以数值分析课程为例，探讨了在大学数学基础课程中进行课程思政的策略，将数值分析课程中适合采用的思政元素分为三类，具有一定地启发性。孙斌等[6]以桥梁结构数值分析课程为例，探讨了针对桥梁工程专业选修课进行思政改革的建议。闵杰等[7]将数值分析课程的思政元素分为七个类别，分别给出了案例。黄政阁等[8]针对计算方法课程的教学现状，提出从四个方面实施课程思政的策略。本文从塑造学生“三观”的角度，结合数值分析课程的特点和学生的特点，探讨了数值分析课程的教学理念：“思政融入教学，教学体现科研”，及其具体的实施注意事项。

一、数值分析课程特点及学生特点

数值分析是以高等数学、线性代数及计算机程序设计为先导课程的课程。其所包含的内容十分丰富，涉及的研究方法深刻，并且有自身的理论体系。该课程既有纯数学的高度抽象性与严密性的特点，也有实际应用的广泛性与技术性的特点，是与计算机紧密关联，具有很强实用性的数学类课程。但是与纯数学又不同，比如，在计算系数矩阵A 为n 阶非奇异矩阵的线性方程组Ax=b的解时，线性代数课程中只讨论了解的存在唯一性的Cramer 法则，以及方程组的精确解法，但是应用Cramer法则和精确解法求当线性方程组的阶数n 很大（甚至达十几万）时的解时，无法进行。因此，数值分析根据线性方程组系数矩阵的特点（低阶稠密矩阵或大型稀疏矩阵），研究了适合计算机程序实现、满足精度要求的、省时省存储量的高效数值算法及其相关理论支撑；有时还要考虑算法的收敛性及程序设计技巧；有的算法理论上虽不太严密，但实际计算又是行之有效的，也可以运用。具体来说，数值分析课程的特点概括起来，有以下四点。

（1）面向计算机。针对计算机的特点，提供计算机能直接处理的算法。

（2）可靠的理论分析，能保证算法的收敛性和数值稳定性，并达到给定的精度，进行有效的误差分析。以上都需有严密的数学理论作为支撑。

（3）好的计算复杂性。即时间复杂性和空间复杂性，确保算法能在计算机上高效实现。

（4）有数值实验。算法要满足相关理论，还要通过数值实验进行可行性验证。

数值分析课程融合了高等数学、线性代数、计算机程序设计等课程的知识和方法，有利于融入课程思政的内容，在传授知识过程中潜移默化地对学生进行思想政治教育，培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。同时，由于数值分析课程涉及的知识普遍比较抽象复杂，学生在学习的过程中极易产生畏惧心理，从而降低学习效率。通过在教学中融入思政元素，可以降低课程的抽象性，增强课堂教学的趣味性，提高学生学习的积极性，进而帮助学生建立正确的世界观、人生观和价值观。

2016 年5 月，时任教育部副部长林蕙青在厦门大学“一流大学本科教学高峰论坛”上的讲话中指出：从教育对象特点看，90 后大学生是互联网时代的“原住民”，他们的价值观念、思维方式、学习方式、交往方式与上一代学生相比有了很大变化，我们以往熟悉的教育理念、教学内容和方式、管理手段，迫切需要做出相应调整。

二、数值分析课程思政融入教学的方式

2020 年5 月28 日，教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》[2]（以下简称《纲要》）中指出，要深入挖掘各类课程和教学方式中蕴含的思想政治教育资源，让学生通过学习，掌握事物发展规律，通晓天下道理，丰富学识，增长见识，塑造品格，努力成为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。《纲要》中也指出，要结合专业特点分类推进课程思政建设，本文讨论的数值分析课程的授课对象是计算机专业的学生，也就是工学类专业课程，因此，要注重强化学生的工程伦理教育，培养学生精益求精的大国工匠精神，从而激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。

与父辈大学生相比，新一代的大学生见多识广，思维素质已经有了较好的发展，也许思想还不成熟，但具备了一定的思考分析能力，因此，思政融入教学的方式方法需要更为慎重，过犹不及。好的思想政治工作应该像盐，但不能光吃盐，最好的方式是将盐溶解到各种食物中自然而然吸收。将思政融入教学的过程中，要做到思想基础和正确的方向指引；言语不能过于高调，政治意图不能太明显；要讲究规律性、精准性和实效性，从而增强时代感和吸引力；要做到润物细无声，体现价值引领[9]。

以下通过几个案例，展示了如何润物细无声地将思政融入课堂，实现对学生构建正确三观的正向促进。

案例1：求解低阶稠密矩阵方程组的问题。利用Gauss 消去法求解n 阶（n≤500）线性方程组Ax=b，其中系数矩阵A 是一个n 阶非奇异矩阵，b 是n 维列向量。Gauss 消去法是最基本的直接法。是求解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，其应用十分广泛，近年来在求解大型稀疏矩阵方程组中也取得了进展。该方法早在公元一世纪左右成书的《九章算术》中已有记载，《九章算术》蕴含了我国古代数学先驱刘微的数学方法及精髓，远远早于德国著名数学家、物理学家Gauss 生活的年代。

讲述该知识点时，自然地融入我国数学家在数学的发展过程中的卓越成就，极大地推动数学的发展。并且，在讲授的过程中，介绍相关的中国数学史，使学生丰富学识，增长见识，培养学生的爱国情怀，增强学生的民族自豪感，激励学生刻苦学习、努力钻研、勇于探索的精神。

同时回顾线性代数课程中的行初等变换法求解线性方程组的相关内容，引导学生对比两门课程中对应内容的差异，使学生体会量变引起质变的辩证观。

数值分析课程中蕴含着许多重要的数学思想和方法，可以从中挖掘出思政元素来促进学生相关知识点的认识和理解，从而更好地掌握数学思想方法。用思政元素来进行思想政治教育可促进学生树立正确的人生观和辩证观。

案例2：算法的数值稳定性。用单步法（Euler 法、后退的Euler 法、改进的Euler 法、梯形法、Runge-Kutta 法等）求解常微分方程初值问题，存在各种计算误差，如数字舍入而引起的小扰动，在误差的传播过程中，出现了大量的积累，从而“淹没”了差分方程的真解，这就涉及到单步法的稳定性问题。算法的数值稳定性实际上就是一个由量变到质变的过程，即误差大到一定程度就会导致错误的结果，这体现了量变质变的辩证思想。此处可以很自然地提出量变引起质变的观点，激发学生的思考，有助于增强学生的辩证思维能力，进而助力学生建立正确的“三观”。

案例3：非线性方程的求根问题。用二分法求非线性方程f（x）=0 在有根区间[a，b]上的根。二分法的基本思想是将有根区间[a，b]对半分，并检验函数f（x）在二分所得新的小区间端点处的函数值，从而确定新的有根区间，反复执行上述过程，直到区间[a，b]长度缩小到给定误差范围之内，此时区间中点（a+b）/2 即为所求近似根。设问：如果区间[a，b]中没有根存在，二分法还能找到根吗？可以自然地提出：我们在成长的道路上也一定要有鉴定的目标，同时采用正确的方法，沿着正确的方向前进，这样才能离目标越来越近，不然就会偏离目标，从而导致错误的结果。此时，我们是潜移默化地将思政元素融入到了教学过程之中，在帮助学生树立正确的人生观。

数值分析课程中理论多且大多比较复杂，尤其是公式特别多，学生学习起来较困难，并且大多数学生认为公式难记忆。事实上，很多公式都具有很强的规律性，在讲授的过程中，可以向学生展示相关的规律性，体现数学公式的美感，从而使学生更容易记住公式，能更愉快地学习，增加学生对数值分析课程的学习兴趣。预习的重要性在学习初始阶段至关重要，其可构建学生对知识学习的大体思路，利于学生合理规划学习目标，对预期学习目标进行预判，使学生对学习过程游刃有余，提升学习自信。而ARCS 理论则正借鉴了课前预习的核心思想，教学初始阶段，通过明确告知学生学习的阶段性目标与总体目标水平，学生自身将对学习内容予以架构，有效提升了学习内容的明晰性。

三、教学体现科研

在教学过程中体现科研因素，不仅有利于培养学生的科研创新能力，也有利于学生养成正确的“三观”，以达到培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人的教育目的。

针对具体的教学内容，可以按照如下7 个步骤组织教学：工程需求—科学问题—研究现状（及不足）—提出新的思路—新思路论证—算法设计及实现—实际应用（检验）。值得注意的是，该顺序对应了实际科研的过程。在工程需求部分，可以自然地引入本国的重大工程成就，激发爱国热情和学习积极性；提出科学问题阶段，必然需要回顾已有知识，提高学生的自信心；现状分析部分，可以简介已有方法及其成果，同时指出不足之处，采用辩证思维的方法分析研究思路的多样性，以及寻找不足之处的方法，增强学生辩证思维的能力；新思路的提出和论证部分，也可以基于辩证法来进行分析，尤其是对立统一规律、量变质变规律；算法设计及实现部分，可以联系计算机软、硬件的限制，联系美国打压华为事件，帮助学生建立正确的价值观、世界观。

实际应用部分，包含两个方面的内容：检验理论、理论指导实践。可以引入部分科研失败的案例，或者某些科研项目的曲折过程，体现除对理论进行检验的重要性，突出实践是检验真理的唯一标准，培养学生辩证思维的能力：真正科学的认识是现实历史发展的反映，要求思维的逻辑与历史的进程相一致。也可以引入理论在实践中的应用案例，例如中国当前所取得的世界领先的重大成就、历史上的领先成就，一方面展示理论对实践的指导作用，另一方面激发学生的爱国热情、学习的积极性和科研自信心，帮助学生正确三观的养成。

四、课程设计示例

针对数值分析课程[3]中第7 章：非线性方程与方程组的数值解法，其中，第7.4 节为Newton 法，其教学目标是让学生理解Newton 法的基本思路，掌握Newton 迭代公式及其收敛性的证明，精通Newton 法的算法，熟练应用Newton 法解决实际问题。本文按照前述7 个步骤来阐述授课内容的组织过程。

（一）工程需求

例1：悬索桥梁设计。

例2：天体轨道的计算。

在引入例1 时，以中国南京长江第四大桥为例，指出该桥梁是我国首座三跨吊悬索桥，位居当时世界第三，体现出国家的强大。在引入例2 时，顺势介绍神舟飞船和天宫空间站，表明了我国科技的先进性。激发学生的学习兴趣，使学生树立探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。

（二）科学问题的提炼

例1：为设计悬索桥梁中悬索垂度x，需要求解如下非线性代数方程

式中：a 表示悬索的跨度；L 表示悬索的长度。

例2：天体轨道的计算中需要求解超越方程xasinx=b，其中a，b 给定。

为解决实际工程问题，首先要从实际工程问题中提炼出科学问题，也就是要针对实际工程问题建立数学模型。简介数学建模的过程，强调建立数学模型需要以学生已经掌握的数学、物理等知识作为基础，让学生感觉到已经掌握的知识的价值，激发学生的自信心、自豪感，同时帮助学生建立正确的价值观、人生观，例如机会垂青有准备的人。

（三）现状分析

在引入Newton 法之前，学生已经学习了解非线性方程的二分法和简单迭代法。这两种方法都具有计算简单、程序易实现的优点，并且二分法的收敛性总能得到保证。但是这两种方法收敛速度都较慢，并且二分法不能求偶重根和复根，简单迭代法迭代次数较多。此处，需要指出：二分法和简单迭代法虽然有不足，但在当时却是巨大的进步。这也体现出了辩证法的思想，评价一件事或一个人，不能脱离其所处的环境，有助于学生建立唯物主义历史观。注意到两种方法都具有效率偏低的问题，要提出新方法，可以把提高效率作为着眼点。

（四）新思路提出

如何提高求解效率呢？启发学生思考现有的哪种类型的方程的求解较容易，学生很容易想到线性方程，于是考虑如果能将非线性方程线性化，问题就可能变得容易。接下来就要思考如何将非线性方程线性化，让学生回顾高等数学中学习的Taylor 展开，很容易看出将非线性函数f（x）在初值x0处进行一阶Taylor 展开，得

f（x）=f（x0）+f＇（x0）（x-x0）+（x-x0），ξ 介于x 与x0之间，取线性部分近似f（x），从而可得f（x）≈f（x0）+f＇（x0）（x-x0）。

于是，接下来就来考察线性函数f（x0）+f＇（x0）（x-x0）的零点。

这一过程中，可以采用对立统一思想来分析非线性函数与线性函数的关系，帮助学生建立唯物辩证法的观点。同时，可以介绍线性化思想的广泛性，体现辩证法的普遍联系性，也有助于学生养成正确的三观，提高辩证思维能力。

（五）新思路论证

基于已有的知识基础，严密的论证新的思路。

此过程中，可以指出事物发展的曲折性，帮助学生建立坚持、不畏困难的品质，以养成积极的人生观。

接下来，对Newton 公式的收敛性及收敛速度进行严密论证，得出该方法具有局部收敛性，并且是平方收敛的，进一步说明了Newton 法的优越性。这一论证过程体现了数学的严密性，提示学生，在生活中也应该具有这样的严密性，可以助于帮助学生养成做事严密的品质。Newton 法中，近似解逐步靠近真实解的过程也体现出了量变引起质变的规律。

（六）算法设计及实现

引入软、硬件限制，介绍并行、量子计算机。指出硬件是算法设计的基础。

回顾常规计算机系统具备的功能，进行算法设计和实现。给学生介绍超级计算机，自然地介绍我国的神威、天河、曙光等超级计算机系统，体现出国家的进步和强大，帮助学生建立爱国、民族自信的观点，利于三观的养成。还可以介绍潘建伟院士关于量子计算机的研究成果，进一步提高学生的民族自信心和自豪感，激发学生建立正确人生观、价值观的积极性。

（七）实际应用（检验）

针对实际问题抽象出的科学问题，利用C 语言程序进行计算，与理论精确解对比，突出新算法的有效性；同时，将Newton 法与二分法和简单迭代法对比，验证Newton 法的求解效率高。帮助学生建立实践是检验真理的唯一标准的观点。

同时，给出特殊的非线性方程，此方程采用Newton法求解失败。引导学生认识到，算法都有其适用范围，不存在普适的最有算法。本质上是对立统一、否定之否定规律的体现，有助于学生提高辩证思维的能力。同时，通过反例，可以激发学生思考进一步改进求解方法的思路。

五、结束语

数值分析课程既涉及数学理论，又直面工程实际，具有很强的应用性，是大部分理工科专业的必修或选修课程，随着计算机应用范围的进一步扩展和深入，需要学习该课程的学生会越来越多。在课程教学中融入思政工作、体现科研过程，将有助于学生养成正确的三观。本文从“思政融入教学，教学体现科研”的教学理念出发，探讨了在数值分析课程中进行思政教育的方式方法和注意事项，尤其强调了润物细无声的观点，为“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”提供参考和借鉴。