基于多种恢复策略的弹性供应链网络设计问题

李珍萍, 刘 璐，刘若阳，张国维

(1.北京物资学院 信息学院, 北京 101149；2.北京物资学院 物流学院，北京 101149；3.华北电力大学 经济管理学院，北京 102206)

0 引言

近年来，自然灾害(如洪水、地震等)和破坏性突发事件(如工业事故、恐怖袭击等)加剧了供应链面临的风险[1]。例如，2000年爱立信的芯片供应商工厂发生火灾，导致供应链网络断裂，市场份额随之大幅下滑；2011年日本地震严重破坏了尼桑供应链，原因是12%的尼桑引擎来自地震灾区的工厂[2]；2001年的911恐怖袭击、2002年美国西海岸港口封锁造成全球范围内供应网络发生中断，供应链下游企业遭受了严重影响。而近几年国内频频出现因芯片缺货导致半导体工厂、汽车工厂等被迫停产的问题，暴露了我国产业链供应链的短板。随着全球化的发展，企业越来越重视全球范围内的供应链管理[3]。供应链管理的目标是实现供应链整体的效益和效率最大化，供应链网络实际上是节点企业之间相互连接的动态网络，供应链上任何企业都不是孤立的，而是互相依赖、相互关联的。但由于部分企业片面地追求高效，供应链变得越来越脆弱，缺乏弹性，加之市场环境不稳定等原因导致供应链面临的风险日趋增大[4]。

供应链网络设计(Supply Chain Network Design，SCND)是供应链管理的基础，弹性(Resilience)是供应链网络的一个关键特征，是使供应链具备抵御破坏性事件不利影响的能力[5]。随着全球破坏性突发事件的频繁发生，供应链网络在生产运作中面临越来越多的风险，而供应链网络中断对经济和社会造成长期影响和后果，恢复过程可能很慢[6]，由此给企业带来巨大损失。2020年的新冠肺炎疫情对全球供应链造成了严重冲击，受疫情影响国内外许多传统行业的供应链网络出现部分甚至全部中断，且在短时间内恢复艰难，对全球经济造成了重创[7]。疫情使我国企业生产秩序受到很大破坏，制造行业的供应网络运作情况不容乐观[8]，而国内关于弹性供应链网络设计研究较少，企业无法直接借鉴现有的研究成果使其快速恢复正常供应状态，致使社会经济发展迟缓。在此次疫情中出现的供应链中断问题暴露了企业供应链弹性建设的短板，也暴露了关于弹性供应链网络设计问题现有研究的不足。

弹性供应链网络设计是由RICE等[9]首先提出的，该问题受到企业界和学术界的广泛关注。关于弹性供应链网络设计问题，国内外学者从不同角度开展了相关的研究工作，明确供应链网络中断模式是设计缓解相应中断风险的供应链网络的前提，供应链中断模式可以分为两类:节点中断和运输线路中断。

(1)考虑供应链节点中断的研究

供应链节点中断指供应网络中的供应商受中断影响，部分或全部供应能力失效。仅考虑节点中断的供应链网络设计问题可以归结为设施选址问题。

闫妍等[10]研究了基于节点失效的弹性供应链应急管理策略，建立了供应链网络正常运行和单一节点失效情况下的单目标混合整数规划模型, 并运用CPLEX软件进行求解，提出了一个以供应链总成本最小化为目标的网络运行方案。马卫民等[11]研究了考虑节点中断的可靠供应链网络设计问题，在具有供应点、中转点、需求点的供应链中挑选合适的中转点来构建一个可靠的供应链网络，并在某些节点发生中断以后，保证供应链能较为正常地运行。关志民等[12]根据不确定理论研究弹性供应链问题，建立多目标机会约束规划模型，采用标准化正规化约束法求解模型的帕累托前沿，并进行了算例求解和关键参数的灵敏度分析。周健等[13]考虑多级供应问题，建立了两阶段、双目标、多周期的混合整数规划模型，将节点中断风险下的供应商选择、生产配送调度进行集成优化，并提出应急计划策略。张松涛等[14]提出一种供应链应急鲁棒策略，在发生供应随机中断时仍能满足顾客需求，同时基于TakagiSugeno模糊控制系统，构建了一种含提前期的供应链应急模糊模型，并通过实例仿真计算验证了模型的可行性和有效性。狄卫民等[15]针对三级供应链系统，考虑需求不确定性和工厂与配送中心的中断情况，建立了以期望总成本最小化为目标的供应链选址-库存决策模型。设计了混合遗传算法，通过算例验证了模型和算法的有效性。SNYDER等[16]基于经典的设施选址问题，研究了配送中心发生随机中断时的供应链网络设计问题，假设所有配送中心的中断概率相同，对模型进行简化，并利用拉格朗日松弛算法进行求解。JABBARADEH等[17]提出混合鲁棒-随机优化模型和拉格朗日松弛方法，用于设计应对设施中断的弹性供应链，并说明供应链设计决策受设施强化策略、决策者的保守程度、需求波动、供应能力变化和预算约束等因素影响。CARDONA-VALDÉS等[18]研究三级网络中配送中心发生随机中断时的弹性供应链设计问题，以总成本和总服务时间最小化为目标，建立随机优化模型，利用L型算法求解，并给出了数值结果，证明了计算的有效性。NAMDAR等[19]研究供应节点发生中断时，考虑利用采购策略应对中断风险，建立两阶段随机规划模型，求解模型并分析不同中断程度下各种采购策略的最优组合。AZAD等[20]考虑中断发生时设施部分失效，中断影响客户需求发生变化，建立混合整数线性规划模型来确定设施的最佳位置和客户的分配，提出一种具有有效不等式的Benders加速分解方法，通过大规模算例验证了模型和算法的有效性。

上述研究仅考虑供应节点发生中断的情况，实际中，有可能发生运输中断的情况，如运输道路或运输工具的破坏造成运输中断。因此，在设计供应链网络时，应该将弹性概念纳入运输线路决策。文献[10,13]建立的确定性优化模型未考虑不确定参数对弹性供应链网络设计的影响，而中断事件的发生往往具有随机性，研究中断随机的弹性供应链网络设计问题会更加贴近实际情况。文献[12,14,17-19]利用机会约束规划、鲁棒优化、随机规划等模型进行弹性供应链网络设计，这些研究为解决不确定条件下的弹性供应链网络设计问题奠定了基础。

(2)考虑节点和运输中断

运输中断指供应网络中的运输线路受中断影响，部分或全部运输能力失效。同时，考虑节点中断和运输中断的供应链网络设计问题可以归结为设施选址-分配问题。

蔡政英等[21]分析了中断造成的交互影响，考虑中断事件给供应环节带来边路失效，将弹性运作问题描述为多变量耦合控制模型，建立一种弹性响应机制。AZAD等[5]考虑节点和运输中断的情况，提出了一个混合整数规划模型，利用改进的Benders分解求解模型，确定供应链中配送中心的最佳位置和分配客户的最佳方案。AHMADI-JAVID等[22]研究了由制造商—分销商组成供应链网络中的分配路由问题。当网络发生中断时，制造商的生产能力发生变化，分销系统中车辆的运输能力也受到干扰，目标是在适度、谨慎或悲观的风险度量政策下，确定设施点、分配和路线决策。

上述研究综合考虑了两种中断对供应链网络设计的影响，这些研究为解决多种中断情况下的弹性供应链网络设计问题提供了理论参考。现有文献[19，23，24]已证明，采用随机规划模型设计抵御中断风险的弹性供应链网络效果较好，本文在此基础上，通过建立两阶段随机规划模型，结合备用供应和现货购买两种中断恢复策略，规避网络中节点和运输线路两种中断风险，进一步丰富弹性网络设计模型研究的理论成果。

在已有的相关研究中，同时考虑节点和运输路径中断的情况较少，本文针对供应链网络中节点和运输均可能发生中断的情况开展研究，其中节点中断定义为设施供应容量部分失效；运输中断定义为运输线路部分或完全阻断，从而导致单位运输成本增大。假设中断场景数量有限，每种场景下中断的供应节点已知，从中断节点到各个需求点道路中断程度已知，且可以表示为单位运输成本的增加比例。在中断发生时考虑启用备用供应商或现货购买两种中断恢复策略，以最小化弹性供应链网络建设和运营总成本为目标，建立两阶段随机规划模型，寻找最优的弹性供应链网络设计方案和各种场景下的最优供应策略，达到降低供应链中断风险、增加企业利润的目的。

1 问题描述与分析

1.1 问题描述

本文考虑由供应商和需求点组成的二级供应链网络。已知某企业服务区域内有J个需求点，每个需求点的需求量bj为常数；该企业拟从I个主供应商和N个备用供应商中选择一部分构建弹性供应链网络，为所有需求点提供服务。若主供应商i被选中，则需要支付固定运行成本fi，正常情况下主供应商的最大供应能力为Oi；当随机突发事件发生时，主供应商的供应可能发生部分或全部中断，导致供应量减少，主供应商和需求点之间的运输线路也可能发生中断，导致单位运费增加。为了降低突发事件对供应链的影响，企业可以选择一部分备用供应商加入供应链网络，并以合同约定的方式确定备用供应商的应急供应量，若备用供应商n被选中，则企业需要支付固定费用gn并与备用供应商约定产品应急供应价格an。当突发事件发生时，若主供应商的供应量无法满足客户需求，可以由备用供应商以约定的价格向需求点供应产品以满足需求点的部分需求。假设主供应商和备用供应商的产品同质，突发事件不会影响备用供应商的约定供应量和约定供应价格。若备用供应商的约定供应量无法满足客户点的需求量，企业可以按现货价格qs从市场上购买产品满足客户需求，或者向缺货客户j支付单位缺货损失费mj。构建弹性供应链网络问题可以描述为，企业选择主供应商并确定正常情况主供应商向需求点供应产品的数量，同时确定备用供应商和备用供应商的应急储备量，以及各中断场景下主供应商和备用供应商向需求点运送产品的数量、现货购买量或缺货损失量，在保证任何场景下需求点的需求都能得到满足的同时，使弹性供应链网络运行总成本最小。

1.2 问题分析

供应链发生中断的直接后果是给企业带来巨大经济损失，其中包括：直接经济损失和连带经济损失，前者表明中断发生后某个部门或生产环节直接受中断影响而发生变化，后者表明由于部门或生产环节之间的相互联系，供应链中其他部门或生产环节会间接受到影响[25]。这就意味着节点或运输中断会给企业增加额外的成本，且中断程度越严重，企业的生产效率越低，而成本越高。

准确识别中断风险是实现供应链弹性的先决条件，也是有效管理风险的必要前提，对中断发生的准确预测和辨识可以支持中断恢复决策，帮助企业达到规避风险降低损失的目的。企业可以通过多种指标(如天气变化、自然灾害预警、原材料市场价格、劳动力市场价格等)建立中断风险预警系统，利用大数据、通讯技术、信息共享等多种手段，实时检测相关指标的变化情况，通过建模或映射技术识别供应链中关键环节的潜在风险；建立供应链弹性管理文化；定期进行风险评估等[26]。

由于突发事件导致的供应点中断和运输线路中断具有随机性，若供应链缺乏弹性，一旦某些环节发生中断，就会造成巨大损失甚至导致整个供应链系统瘫痪。设计弹性供应链的目的是预防随机中断对供应链系统造成严重破坏，降低系统运行总成本。由于中断的发生具有随机性，弹性供应链网络设计问题具有两阶段特征：在中断发生前，选择主供应商、并确定正常情况下主供应商为各个需求点供应产品的数量，形成正常的供应链网络，同时确定备用供应商和备用供应商的应急储备量；在中断发生后，根据主供应商和配送路径的中断情况，确定从主供应商、备用供应商为各个需求点供应产品的数量，以及各个需求点的现货购买量和缺货损失量等，形成中断后的应急恢复策略。

虽然针对不同主体，设计弹性供应链的目标略有不同，但对于大多数企业来说，实现利润最大化或运行成本最小化是其最主要的目标之一，因此企业在设计弹性供应链时，通常会以突发事件对企业造成的损失最小作为衡量供应链弹性能力的标准之一，即以供应链网络受中断影响后产生的成本极小化作为优化目标[5]。本文以最小化供应链网络正常情况和中断情况下的期望总运行成本作为弹性供应链设计的优化目标。其中正常运行成本主要包括主供应商的固定运行成本、主供应商向需求点的运输成本；应对中断所需的成本主要包括备用供应商的固定运行成本、应急产品储备成本、所有中断场景下主供应商与备用供应商向需求点供应产品的运输成本、现货市场购买成本以及需求点的缺货损失成本等。

1.3 模型假设

为简化问题，作如下假设：

(1)主供应商的固定运行成本和各个需求点的需求量已知。

(2)主供应商向需求点运送一单位产品的运输成本为常数。

(3)备用供应商的固定运行成本为常数，应急产品单位储备成本为常数，且备用供应商不发生中断。

(4)发生中断以后，各个需求点的现货购买成本和缺货损失成本为常数。

2 弹性供应链网络设计问题的两阶段随机规划模型

为了建立随机中断情况下的弹性供应链网络设计问题数学模型，本章首先定义相关符号和决策变量，然后建立两阶段随机规划模型，在场景数量有限的情况下，将模型转化为等价的确定型模型，并给出模型中约束条件的说明。

2.1 符号说明

(1)集合

I为备选主供应商集合；

N为备选备用供应商集合；

J为需求点集合；

S为中断场景集合。

(2)索引

i为备选主供应商索引,i∈I；

n为备选备用供应商索引,n∈N；

j为需求点索引,j∈J。

(3)参数

fi为主供应商i的固定运行成本；

Oi为正常情况下主供应商i的最大供应能力；

gn为备用供应商n的固定运行成本；

an为备用供应商n的单位产品储备成本；

bj为需求点j的需求量；

tij为正常情况下，主供应商i向需求点j供应产品的单位运输成本；

mj为需求点j单位产品缺货损失成本；

πs为中断场景s发生的概率。

(4)随机参数

ξ：主供应商的随机中断场景；

ri(ξ)为在中断场景ξ下，主供应商i的供应量占最大供应量百分比；

cij(ξ)为在中断场景ξ下，主供应商i向需求点j供应产品的单位运输成本；

dnj(ξ)为在中断场景ξ下，备用供应商n向需求点j供应产品的单位运输成本；

q(ξ)为在中断场景ξ下，从现货市场购买产品的单位价格。

2.2 模型建立

(1)第一阶段的决策变量：

pij为正常情况下，从主供应商i向需求点j供应的产品数量；

en为备用供应商n的应急产品储备量；

(2)第二阶段的决策变量：

yij(ξ)为在中断场景ξ下，主供应商i向需求点j供应产品的数量；

wnj(ξ)为在中断场景ξ下，备用供应商n向需求点j供应产品的数量；

lj(ξ)为在中断场景ξ下，为需求点j提供的现货购买量；

hj(ξ)为在中断场景ξ下，需求点j产品缺货数量。

在确定主供应商和备用供应商位置以及备用供应商的应急产品储备量时，未来可能发生哪种中断场景是无法准确预测的，因此中断事件发生后主供应商的供应能力具有随机性。根据这一特性，建立两阶段随机规划模型，使供应链中断发生前的正常运行成本和突发中断后恢复运行的期望补偿成本之和最小。

第一阶段模型：

(1)

s.t.

(2)

(3)

xi∈{0,1},zn∈{0,1},pij≥0。

(4)

在第一阶段模型中，目标函数(1)表示中断发生前供应链网络的正常运行成本和中断后恢复运行的期望补偿成本之和最小化，前4项表示中断发生前供应链网络正常运行成本，最后一项表示中断发生后，供应链恢复运行所需要的期望补偿成本。其中Q(x,p,z,ξ)表示基于第一阶段选中的主供应商x、主供应商向需求点供应产品的数量p和备用供应商z等，当中断场景ξ发生时，第二阶段按照最优策略恢复运行所需要的补偿成本，即补偿函数值[27]。Eξ(Q(x,p,z,ξ))表示对于任意中断场景ξ，供应链恢复运行的期望补偿成本，即补偿函数的期望值。

第二阶段中断发生后供应链恢复模型：

(5)

s.t.

(6)

(7)

(8)

yij(ξ)≥0,wnj(ξ)≥0,hj(ξ)≥0,lj(ξ)≥0。

(9)

(10)

s.t.

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

xi∈{0,1},zn∈{0,1},pij≥0,yijs≥0,

wnjs≥0,hjs≥0,ljs≥0。

(16)

目标函数(10)表示供应链网络正常情况和中断情况下的期望总运行成本最小化，其中正常情况下的运行成本包括主供应商的固定成本、主供应商向需求点运输成本、备用供应商的固定成本、备用供应商的应急储备成本；各种中断场景下的运行成本包括主供应商与备用供应商向需求点供应产品的运输成本、需求点的现货购买成本和缺货损失成本；约束条件(11)表示正常情况下主供应商向需求点供应产品的数量不超过它的最大供应量；约束条件(12)保证正常情况下满足各个需求点的需求量；约束条件(13)表示每种中断场景下，备用供应商向需求点供应产品的数量不超过它的应急储备量；约束条件(14)表示每种中断场景下，每个主供应商向需求点供应产品的总量不超过其受中断影响后的最大供应量；约束条件(15)表示每种中断场景下，每个需求点的从主供应商、备用供应商和现货市场获得的产品数量与缺货量之和等于总需求量；约束条件(16)表示变量取值约束。

3 算例分析

本章主要利用模拟生成的算例进行计算和分析，验证两阶段随机规划模型的有效性。通过灵敏度分析，研究中断后考虑运输成本和采取多种中断恢复策略对弹性供应链网络设计的影响。最后，对比已有文献的研究结果得出，采取多种中断恢复策略可以降低总成本，减少中断风险带来的影响。

3.1 模拟算例与求解结果分析

3.1.1 参数设置与算例生成

为了便于计算，假设供应商的中断相互独立，中断发生时，考虑主供应商中至少有一个受到影响，甚至所有的主供应商均受中断影响，为了简化问题，本文直接取中断场景数量与主供应商数量相等，即|S|=|I|，假设任意中断场景s发生的概率均为πs=1/|S|。

主供应商和备用供应商的固定成本、缺货损失单价以及需求点的需求量是确定的常数，主供应商和备用供应商向各需求点运输产品的单位运费、各中断场景下主供应商剩余产量占总产量百分比以及现货购买单价服从均匀分布。

为验证本文两阶段随机规划模型的有效性, 首先设置主供应商数量|I|、备用供应商数量|N|、需求点数量|J|与中断场景数|S|的不同取值，生成小、中、大规模3组算例，对每个算例进行模拟计算，分析求解时间变化情况。3组算例参数设置如表1所示。

表1 3组算例的模型参数设置情况

3.1.2 求解结果与分析

利用Python编程调用Gurobi求解器求解随机规划模型，得到3组算例的最优供应方案，具体求解结果如表2所示。

表2 3组算例计算结果

第1组算例在正常情况和每种中断场景下的供应网络图，如图1～图6所示，图中阴影部分表示被选择启用的供应商。

在正常情况下，供应商和运输路径没有中断风险，选择启用主供应商2、3、5向所有需求点供应产品。

场景1发生时，启用备用供应商2向需求点9、10供应产品，现货购买量为0，缺货损失量为0。

场景2发生时，启用备用供应商2向需求点9、10供应产品，现货购买量为0，缺货损失量为0。

场景3发生时，启用备用供应商2向需求点9、10供应产品，现货购买量为17，缺货损失量为0。

场景4发生时启用备用供应商2向需求点6、9、10供应产品，现货购买量为0，缺货损失量为17。

场景5发生时，启用备用供应商2向需求点9、10供应产品，现货购买量为81，缺货损失量为0。

通过计算发现，在第1组算例的5种场景中，场景4存在缺货损失，场景3和场景5需要现货购买。每种场景现货购买产品的单价和每个需求点的单位产品缺货损失价格已知，进一步分析可知，每种场景至多存在现货购买和缺货两种情况中的一种。当供应商产品供应量不足时，衡量该场景下现货购买总成本和缺货损失总成本，从而选择成本较小的方案。

为进一步验证模型的有效性和求解方法的可行性，根据主供应商数量|I|、备用供应商数量|N|、需求点数量|J|和中断场景数|S|的不同取值，生成了27个不同规模的算例，分别对每个算例进行模拟计算与分析，具体结果如表3所示。

表3 27个不同规模的算例求解结果分析

从表3可以看出，随着算例规模的增大，求解器的求解时间逐渐变长，但增长速度并不快，最大规模算例的平均求解时间仅有4.98 s，中小规模算例的平均求解时间均不到1 s。因此，直接用Gurobi求解随机规划模型，可以在短时间内得到精确最优解，由此说明了本文方法的有效性。

3.2 随机规划模型求解效果分析

两阶段随机规划模型的广义形式[28]为

minz=cTx+Eξ{minq(ω)Ty|W(ω)y=

h(ω)-T(ω)x,y≥0}。

s.t.Ax=b,x≥0。

其中，与某一特定场景相关的模型为

minz(x,ξ)=cTx+min{qTy|Wy=h-Tx,y≥0}。

s.t.Ax=b,x≥0。

定义1随机规划问题的解，即补偿问题的解，称为此时此刻解(RP):

在本文第1组算例中，RP=82 507.36(元)。

定义2所有场景对应的最优目标函数值的期望值，称为观望解(WS):

在本文算例中，各场景对应的最优目标函数值如图7所示。

因此，WS=0.2×(76 995.0+80 235.6+83 494.2+83 420.2+79 221.2)=80 673.24(元)。

定义3完全信息的期望值(EVPI)是此时此刻解与观望解之间的差值，它是衡量决策者为了获得关于未来的完整和准确信息而准备支付的最大金额:

EVPI=RP-WS。

由本文第1组算例计算得，EVPI=82 507.36-80 673.24=1 834.12(元)。

综上所述，EVPI>0，且EVPI约为RP的2.22%。

定义4期望值解(EV)是用随机变量的期望值代替随机变量，求解期望值问题得到的解

在本文第1组算例的计算中，EV=79 409.76(元)

定义5期望值问题的预期结果(EEV)是将求解期望值问题得到的第一阶段的决策变量值代入补偿问题中得到的：

在本文第1组算例的计算中，求解期望值问题得到的第一阶段决策变量为x=(0,1,1,0,1)T，z=(0,1,0)T，e=(0,188,0)T，代入两阶段随机规划模型中得到EEV=82 935.12(元)。

定义6随机解的价值(VSS)是期望值问题的预期结果与此时此刻解之间的差值，它是决策者在决策时忽略不确定性的成本：

VSS=EEV-RP。

因此VSS=82 935.12-82 507.36=427.76(元)。

验证随机规划模型正确性的常用方法是通过计算VSS值进行判断，若VSS>0，则说明随机规划模型优于不考虑随机因素的期望值模型，为了消除量纲差异对VSS取值的影响，也可以采用VSS占总费用的百分比指标。首先计算27个算例的VSS值和VSS占总费用的百分比，结果如表4所示。

表4 27个算例VSS值的求解结果分析

观察表4可以发现，27个算例的VSS值均大于零，说明若忽略不确定性，用期望值代替随机变量得到的方案需要支付更多的成本。为了消除量纲差异对结果的影响，将VSS值与随机规划模型的目标函数值相除，求出VSS占总费用的百分比，结果显示，随机规划模型得到的方案比期望值模型得到的方案平均费用大约降低0.5%～8.08%，进一步验证了应用两阶段随机规划模型解决弹性供应链网络设计问题的正确性。以上结果说明，在研究受中断影响的供应链网络设计问题时，有必要考虑随机性，使用本文的随机规划模型求解。

3组不同规模算例的VSS占总费用的比值如图8所示。

由图8中可以看出，算例的VSS值占总费用比值随算例规模的增大而不断增大。在第3组算例中，最大规模算例的VSS值占总费用比值高达8.08%，可见忽略随机因素建立供应链网络付出的成本是很大的，因此考虑两阶段随机规划模型构建弹性供应链网络可以帮助企业达到降本增效的目的。

3.3 灵敏度分析

3.3.1 中断后单位运输成本的影响分析

本文考虑供应节点和供应网络运输均受中断影响，供应点中断后的剩余供应量、供应点向需求点的单位运输成本均与场景相关联，由于中断后节点的剩余供应量和供应商与需求点之间的单位运输成本均会影响到网络运行总成本，这些参数的变化对网络设计结果会产生影响。

本节重点分析供应商单位运输成本变化对供应链网络运行总成本的影响，利用第1组算例，分别取7组不同单位运输成本进行计算，记录各个参数对应的网络运行总成本，如图9所示。

由图9可以看出，随着单位运输成本的增加，供应链网络运行总成本单调递增。在本文的3组算例中，考虑运输受中断影响的目标函数值均高于忽略运输受中断影响的目标函数值，并随着算例规模的增大，二者差值越来越大，如图10所示，因此中断造成的供应网络运输成本变化越大，其对供应网络设计带来的影响越大。

3.3.2 中断恢复策略的影响分析

本文考虑应急储备供应和现货购买两种中断恢复策略，在中断发生之前确定需要开启的备用供应商和产品的应急储备量，在中断发生时确定从现货市场购买产品的数量。

对比仅考虑现货购买和仅考虑备用供应商的单一恢复策略，同时考虑这两种中断恢复策略时的总期望成本有所下降，3组算例在3种策略下的最优目标函数值如图11所示。

由图11可以看出，仅实施一种中断恢复策略时的总期望成本均高于同时采用两种恢复策略的情况。因此，在设计弹性供应链网络时有必要考虑一种以上的恢复策略，以达到降低成本的目的。

3.4 与文献中研究结果的对比分析

3.4.1 与文献中算例的对比分析

文献[29]研究了9个供应商向10个需求点供应产品的可靠供应链网络设计问题，考虑了决策者对中断风险的偏好α∈[0.5,1]和对需求波动风险的偏好β∈[0,0.5]，但未考虑中断恢复策略，分别求得在不同风险偏好组合下的最优选择方案，如表5所示。

表5 文献[29]中算例的计算结果

本节使用文献[29]中的算例进行计算分析，利用随机规划模型求解该问题，考虑文献[29]中的5种中断情景，供应点固定成本、最大产能和容量限制采用文献[29]中表2的数据，需求点的需求量采用文献[29]中确定的需求量estd，本文考虑2种中断恢复策略得到最优结果如表6所示。

表6 使用本文方法求解文献中算例的结果

对比分析表5和表6的计算结果可以发现，在考虑中断恢复策略情况下得到的供应链网络总运行成本低于文献[29]中各种参数组合下得到的网络运行成本；考虑多种中断恢复策略比单一中断恢复策略得到的网络运行成本更低，可见在弹性设计供应链网络时，考虑多种中断恢复策略能够有效提高抵御风险的能力，降低网络运行总成本。

3.4.2 与文献中算法的对比分析

为进一步验证直接使用Gurobi求解弹性供应链网络设计问题数学模型的优越性，本节对Gurobi求解结果与文献[29]中的遗传算法求解结果进行对比，分别记录两种方法求解3种规模算例的平均目标函数值、平均求解时间，并分析遗传算法的近似比，具体结果如表7所示。

表7 Gurobi求解器与遗传算法求解结果对比

从表7可以看出，使用Gurobi求解器直接求解中、小规模算例的平均求解时间比遗传算法的平均求解时间短，对于大规模算例，Gurobi求解器的平均求解比遗传算法的求解时间略长，但二者相差不到1 s。此外，Gurobi可以得到精确最优解，而遗传算法只能得到近似最优解，随问题规模的增大，遗传算法得到的近似最优解与精确最优解的差距越来越大，因此使用Gurobi求解器求解本文模型无论是求解速度还是结果精度方面，均具有明显的优越性。

4 结束语

弹性是供应链设计中关注的核心问题，供应链的全球化、产品生命周期变短和客户需求的波动，使企业意识到供应链中断可能会导致不良的运营和财务影响，为减少这种影响带来的损失，供应链必须设计成能够提供有效的响应，并能恢复到原始状态甚至更好的模式，这就是供应链弹性的本质[30]。

本文研究了弹性供应网络的设计问题，以提高其应对随机中断的弹性。考虑了供应链中节点和运输均可能发生中断的情况，在中断发生时考虑启用备用供应商和从现货市场购买两种中断恢复策略，建立两阶段随机规划模型，目标是供应链网络期望运营总成本最小化。通过对模拟算例进行求解分析，验证了随机规划模型的有效性，利用随机规划模型得到的网络比利用确定模型得到的网络总运行成本平均降低3.49%。通过灵敏度分析发现，随着中断后运输费用的增大，网络运行的总费用逐渐增大，选择的备用供应商数量越来越多。采取多种中断恢复策略可以明显降低总费用，降低中断风险对网络带来的影响。本文设计的弹性供应链网络可以应用到实际中，为企业提供应对风险的供应链管理决策依据。

本文建立的模型约束比较简单，直接使用求解器进行求解。未来将设计精确算法或启发式算法[30]，对更大规模的算例进行求解和分析。本文仅考虑了供应点和需求点之间的二级供应网络设计问题，之后的工作可以对供应点、中转点和需求点之间的三级或多级供应网络设计问题展开研究。还可以考虑供应链的恢复时效问题，以供应链企业运营总成本和总服务时间最小为目标[31]，研究动态多周期的供应链网络设计问题，设计更切合实际的弹性供应网络以应对网络面临的中断风险，提升供应链整体的稳健性和安全性，为供应链企业提供应对突发事件的有效策略。