运算教学中的数学语言转换

■ 李海东

在小学数学教学中，培养学生的运算能力是教师的重要教学任务之一。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明晰运算的对象，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。”数学教学也就是数学语言的教学。因此，数学运算教学离不开数学语言转换。在有效的数学语言转换中，学生可以明晰运算对象、理解法理关系、选择运算策略、发展推理能力、规范思考品质……教师要引导学生正确、迅速地进行数学语言转换，才能有效培养学生的运算能力，提升学生的数学运算水平。

一、阅读中转换，明晰运算对象

阅读是学生用数学眼光观察世界的有效方法之一，也是学生获取数学信息的基础，更是学生形成运算能力的前提。有效的数学阅读有助于学生明晰运算对象。教师要引导学生在阅读中了解运算信息，并在去伪存真、由表及里中准确把握运算对象的本质。有时，学生对运算对象的内涵、名称等未必熟悉或理解。教师要鼓励学生积极思考，努力对关键信息进行数学语言转换，尽量用自己熟悉或容易理解的数学语言表述运算对象，为正确运算做好充分准备。

比如，苏教版数学教材四年级下册“整数四则混合运算”例1的情境图（如图1）。

图1

学生仔细观察情境图，很容易发现一些数学信息：买一副中国象棋要12 元，买一副围棋要15 元，买了3副中国象棋和4副围棋。问题是一共要付多少元。要求购买中国象棋和围棋两种棋的总费用，需要先求出买两种棋各用多少元，再把这两种数相加。可以分步列式，也可以列综合算式解决问题。这是在三年级学习两步运算的基础上学习的新知识。区别在于三年级只要先求一种商品的费用，这里要先求两种商品的费用。

明晰运算对象就是要弄清题意，知道题目想干什么。能否明晰运算对象的本质是学生数学阅读水平的重要标志，也是培养学生运算能力的前提条件之一。通过数学阅读，学生可以把生活问题数学化，情境图可以逐渐抽象为3个12元和4个15元的和是多少。明晰运算对象的过程就是把图形语言（情境图）转换为文字语言的过程。这样转换，学生就能整体认识运算对象，弄清题意，把握知识本质。准确进行数学语言转换，为学生有效地理解运算对象奠定了基础。

二、探究中转换，理解算理与算法关系

引导学生理解算理、掌握算法是培养学生运算能力的关键：算法能帮助学生解决“怎样算”的问题，算理能帮助学生解决“为什么要这样算”的问题。算理和算法都需要学生在运算教学过程中独立探究和自主发现。苏教版小学数学教材一般不直接揭示运算方法，而是通过一些提示语，如“在小组里说一说，乘法可以怎样算？”，引导学生在探索和交流中逐步抽象、概括运算法则。因此，教师要“设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用。”经历探究活动过程时，教师要引导学生在数学语言转换过程中正确理解算理与算法的关系，帮助学生逐步形成运算技能。

教学苏教版数学教材六年级上册“分数乘法”时，教师出示例题（如图2）。

图2

1.小芳做3 朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米？

2.小华做5 朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米？

三、理解中转换，选择运算策略

理解运算问题就是要弄清楚运算教学的目的和问题的本质。正确理解运算问题，学生才能确定合理的运算思路，才能选择正确、合理、简洁的运算策略去解决问题。运算策略的选择决定了学生解决运算问题的过程是否高效快捷，体现了学生自身运算水平。如果选择的运算策略比较简洁，学生的运算过程就会比较简洁，运算速度就会比较快；反之，学生的运算过程就会比较繁杂，就会事倍功半。在理解运算问题的过程中，学生需要不断进行数学语言转换。学生理解运算问题越深刻，数学语言转换就越迅速，选择的运算策略就会越简洁、越合理。

图3

无论是整数、小数还是分数四则混合运算教学中，教师只有引导学生正确理解运算思路，并且关注学生的差异化运算思路，才能启发诱导学生想到用不同的运算策略去解决相同的运算问题，才能引导学生优化运算策略，才能提高学生的运算速度和运算能力。如果学生想不到转化策略，教师可以引导学生思考例1 中的不规则图形是怎样进行比较的，学生就会想到转化策略，就会联想到分数意义中的单位“1”。学生理解运算问题的过程要把符号语言转换为文字语言，选择运算策略的过程要把符号语言转换为新的符号语言或图形语言。通过有效转换，学生才能正确选择运算策略，才能使解决问题的策略更简洁、更合理。

四、推理中转换，形成运算品质

思维品质是学生思维的个性特征，反映了学生个体智力或思维水平的差异，主要包括思维的深刻性、思维的灵活性、思维的独创性、思维的敏捷性和思维的批判性。运算能力和推理意识是小学生数学思维的主要表现。运算教学中的推理主要以归纳或演绎的方式存在，具有一定的严密性和逻辑性，这种严密的逻辑思维就包括分析能力、类比归纳能力、推理论证能力、抽象概括能力等。在运算教学中，教师虽然不要求学生具体说出自己是如何进行推理的，但学生说算理或运算程序的过程包含了数学推理。当然，学生在推理过程中需要不断进行数学语言转换。教师要恰当引导，促进学生在推理中形成良好的运算品质。

图4

学生探究规律的过程往往要经历归纳推理的过程。教学“加法交换律”时，教师先引导学生根据情境图（如图4）中的跳绳问题，列式28+17=45 或17+28=45，得出28+17=17+28 后，再写出几个类似的例子，如1+2=2+1,123+321=321+123 等，再引导学生在观察中归纳出算式中蕴含的规律——两个数相加，交换加数的位置和不变，也有的学生用甲数+乙数=乙数+甲数、○+□=□+○、▷+◎=◎+▷……表示规律，最后引导学生抽象概括出用字母表达的加法交换律——a+b=b+a。学生归纳加法交换律的过程中多次进行了数学语言转换：分析情境图，要把图形语言转换为符号语言（算式）；把算式中蕴含的规律用文字语言或符号语言表述出来，要把符号语言转换为文字语言或新的符号语言；把规律用a+b=b+a表达，就统一转换为符号语言了。引导学生迅速归纳概括规律，能有效培养学生的思维敏捷性；鼓励学生用不同形式表达规律，能有效培养学生的思维独创性……

竖式计算和简便运算过程中蕴含了演绎推理，也是培养学生良好的数学思维品质的有效途径。在简便运算3.2×1.25时，只要教师能充分提供思考时间和空间，学生会出现很多不同的方法：用乘法分配律包括3.2×1.25=（4－0.8）×1.25=4×1.25－0.8×1.25=5-1=4或3.2×1.25=（3+0.2）×1.25=3×1.25+0.2×1.25=3.75+0.25=4；用乘法交换律和结合律包括3.2×1.25=4×0.8×1.25=（4×1.25）×0.8=5×0.8=4 或3.2×1.25=0.4×8×1.25=0.4×（8×1.25）=0.4×10=4 等。无论哪种方法的运算过程中都蕴含了演绎推理。用乘法交换律和结合律进行简便运算的推理过程如下：大前提是乘法交换律和结合律，小前提是3.2=0.4×8或3.2=0.8×4，结论是3.2×1.25=（4×1.25）×0.8=5×0.8 或3.2×1.25=0.4×8×1.25=0.4×（8×1.25）=0.4×10。学生在演绎推理中多次进行了数学语言转换：递等式是把符号语言转换成新的符号语言，交流不同的运算思路或运算方法要把符号语言转换为文字语言。鼓励学生用不同方法进行简便运算，能有效培养学生思维的灵活性、独创性和深刻性，学生只有对运算律有深刻认识，灵活运用运算律，才能想出不同方法，甚至想到比较独特的运算方法；鼓励学生把自己的思路表达出来，能有效促进学生进行严密的推理论证，从而促进学生规范化思考问题，帮助学生养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。

总之，在数学运算教学中，教师要引导学生学会“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”，以便学生在运算中明晰运算对象，理解运算“法”“理”，选择运算策略，形成思维品质，从而有效培养和发展数学运算能力。当然，培养小学生的运算能力不是一蹴而就的事，需要教师在长期的运算教学中持之以恒地进行引导，促进学生逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯，逐步养成讲道理、有条理的思维习惯和理性精神。有效的数学语言转换是培养和发展学生运算能力的有效保障。