初中数学教科书中折纸活动的对比研究——以大陆人教版和台湾康轩版为例

朱佳威

(华东师范大学教师教育学院 200062)

张 雪

(杭州师范大学经亨颐教育学院 310018)

1 折纸活动在初中数学教学中的重要性

学生从初中开始系统地学习几何知识，但对初中生来讲，几何图形的性质与变换是相当抽象的，其可直接利用的资源和工具也不多，而折纸活动操作简单又有趣，恰好符合初中生的认知规律和年龄特征.我国《义务教育数学课程标准(2011年版)》的总目标提出“通过义务教育阶段的学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验”，并提出“感悟数学思想，积累数学活动的经验”[1]的建议.在一定程度上，折纸内容丰富了几何知识的呈现形态，帮助学生化解了几何学习中的痛点和难点，使其在掌握基础知识和基本技能的基础上，能够进一步收获数学活动经验.常文武指出：通过数学折纸的任务驱动方式可以有效培养学生创造力，折纸对学生创造力的激发尤其在于通过操作和想象来促进发散思维，加强知识、观念的新联结、新组合.[2]苟述珍通过个案分析得出结论：折纸能够促进学生的几何思维水平，对差生效果更为显著[3].由此可见，折纸在初中数学教学实践中有着非常重要的作用.

2 研究设计

2.1 研究对象与问题

大陆和台湾同宗同源、同文同语，拥有共同的文化传统，两者对于学生数学知识的理解、数学思维的训练、数学核心素养的培育等方面呈现出相同或相近的趋势[4].本研究选取的大陆教材是2013年教育部审定的人民教育出版社的初中数学教材(简称“人教版”).人教版是大陆应用十分广泛的主流教科书之一,具有基础性、丰富性和开放性的特点.选取的台湾教材是康轩文教事业出版社的初中数学教材(简称“康轩版”).康轩版在台湾当地使用范围最广、时间最长[5].本文主要回答以下三个问题：(1)大陆和台湾教材折纸活动的分布情况、活动目的各有什么特点？(2)这些特点的差异所隐含的教学理念差异是什么？(3)这些教学理念的差异对教学实践有哪些影响？本文试图发掘两种数学教科书的编写特点，进而对中国大陆的数学教科书编写和教师教学提供一定参考.

本文所界定的折纸所采用的纸张为正方形、长方形、三角形和圆面四种纸张.一般折叠过程中，不允许使用剪刀或胶水，但在涉及立体图形的活动中，必要时可使用剪刀剪出所需纸张的形状，再进行折叠.

2.2 研究方法

本文采用内容分析法对人教版、康轩版初中数学教材进行具体内容的分析，主要对教材中折纸活动进行探寻，寻求两套数学教材在折纸活动内容上的特征，并从分布情况、活动目的两个维度对大陆和台湾教材中折纸活动进行比较分析，呈现两套数学教材编写的异同.

3 研究结果

3.1 分布情况对比

3.1.1折纸活动的分布

人教版教材总计29个章节，折纸出现了28处：七年级上册7处；七年级下册2处；八年级上册7处；八年级下册8处；九年级上册1处；九年级下册3处.

康轩版教材总计22个章节，折纸共出现20处：七上1处，八下16处，九上3处，其余分册均未出现，具体分布情况如表1.

从表1可知，人教版教科书折纸活动出现总次数与密度均高于康轩版，且康轩版教科书的折纸活动分布较为集中，主要出现在八年级下册的三角形的基本性质、几何图形与尺规作图两个章节.用统计软件SPSS20.0进行Fisher精确检验，也得出其有极其显著的差异(χ2=19.371，p<0.01).

表1 人教版、康轩版折纸活动教材分册分布情况表

3.1.2折纸活动所在章节分布

在初中阶段，折纸多被用来探究数学图形结构之间的共性与区别，多被应用于几何领域.两版本教材的折纸活动章节分布如表2：

表2 人教版、康轩版折纸活动所在章节分布表

由表2可见，两版本教材的不同处在于人教版将折纸活动安排在立体几何领域，通过折纸来沟通二维与三维图形，而康轩版教材虽然有立体几何有关内容，但折纸内容未涉及立体几何领域.

相同的是两地教科书中折纸活动多应用于平面几何领域，尤其是几何图形认识、轴对称、三角形、平行四边形等章节.在教学过程中把折纸作为一种教学的辅助手段，通过折纸去观察、探究、验证某个几何结论.在代数领域均出现一次折纸活动，可见折纸有沟通几何与代数的作用.具体代数内容如下：

大陆人教版数学教材在14.1“整式的乘法”的复习题部分设置了这样一道折纸习题：“如图1，有一张长方形纸板，在它的四周各角切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒.如果纸盒的容积为4a2b，底面长方形的一边长为b(b<4a)，求长方形纸板的长和宽.”此问题在设置上不仅实现了“二维”平面向“三维”空间的过渡，并且沟通了几何与代数，借助折纸问题帮助学生复习整式的乘法.

图1

台湾康轩版数学教材在七上“数学悦读”栏目介绍了“报纸的奥秘”，对应教材“指数律”与“科学记号”.通过漫画的形式富有趣味性地呈现出“将报纸折叠30次后的高度与珠穆朗玛峰的高度进行对比”这一内容.并通过这一栏目让学生了解到“指数的运算”与“科学计数法”在生活中的广泛应用性.对学生来说，这部分内容可读性强，文中抛出的问题“一张报纸能对折几次？”充分地调动起学生的积极性，文末呈现“只能折8次”的结论也激起了学生自己动手验证的强烈好奇心.

3.1.3折纸活动栏目分布

折纸活动在不同版本教材中出现的栏目不同，其所表现的作用也不尽相同.其出现的位置可以分为以下三类：第一类，呈现在正文中，多利用折纸引入概念、性质和定理或直观感知几何变换，如轴对称、旋转、平移等，让学生参与到概念的形成中来；第二类，呈现在例题或习题中，以折纸作为问题情境的试题巩固知识；第三类，章节末作为拓展阅读或数学活动的折纸活动.统计结果如表3：

表3 人教版、康轩版折纸活动出现栏目分布情况表

两版教材中折纸活动出现栏目有显著差异(Fisher精确检验，χ2=7.315，p<0.05),人教版教材较少在正文中使用折纸活动，多出现在习题与章节末作为数学活动.而康轩版教材多将折纸活动安排在正文中以引出概念，折纸题相对较少.如同样有关“大边对大角、大角对大边”的折纸活动，人教版教材将其作为习题出现，而康轩版教材则将其作为概念引入的方式出现在正文中.

3.2 活动目的对比

3.2.1通过折纸来讲授新知的比较

通过折纸来讲授新知识在人教版教材中并不常用,只出现3处，而康轩版则出现了9次，具体内容对比见表4：

表4 人教版、康轩版折纸活动讲授新知对比表

折纸活动很适用于几何新知识的教学，因为其具有显著的直观性.几何中的点、线、面等基础概念，又或是垂直、平分、重合等基本关系都可以在折纸中体现.但在人教版教科书中，却鲜见用折纸来讲授新知，康轩版教材的折纸内容在新知教学上分量较重.值得注意的是，康轩版教材在利用折纸探究三角形内角和问题上，没有严格的证明，使这一内容缺乏严谨性.如果只通过量一量、剪一剪、拼一拼就得出三角形的内角和是180°，缺乏理论证明，不利于学生思维品质的提升[6].

3.2.2通过折纸来巩固知识的比较

以折纸为背景的题目，在人教版教材中总计16题，康轩版为7题.戴再平按照题目的外在特征将习题分成三类:求解题、证明题或说明题、变换题或求作题[7].结合教材及习题分类，将折纸习题按求解题、说明题、制作题进行分类，统计结果如图2所示.

图2 人教版、康轩版折纸活动习题对比

从图2可以看出人教版教材中的折纸习题类型丰富且多样，既有某一图形的制作类题目，如利用正方形折出三棱锥，也有常规的求解题及说明题.在目的上，有的题目侧重于考查几何变换，也有的侧重考查空间想象及动手能力.而康轩版教材题目则均为说明题，并且全部分布于“剪出线对称”这一主题，内容相对单调且集中，题型也比较一致.如下题：

承例7，若依照图3指示对折两次，剪下三角形后，剩下的纸张展开是下列哪一个图形？

图3

答：.

3.2.3折纸作为拓展活动或拓展阅读的比较

人教版教材安排了九处与折纸有关的拓展活动，既有数学内部的探究活动，如利用折纸折出过一点的平行线；也有和现实生活结合的综合活动，如制作笔筒、包装盒，等等，这些活动与学生的日常活动是直接相关的，是能够直接激活学生知觉的素材.这些活动是教材编写者为学习者精心编写设计的，符合学生的认知规律且有利于学生的学习.但有关研究表明：虽然教师比较认可在教材中设置“阅读与思考”等栏目，但是从教师对栏目的了解程度来看，教师的研究力度普遍不高，该栏目的教学价值与教学作用还未得到全面的重视[8].

康轩版教材安排了四处与折纸有关的拓展阅读，分别是“利用折纸制作正三角形”“64=65？”“报纸的奥秘”“相似吗？”这些内容可读性非常强，首先内容本身就能引起学生的阅读兴趣，其次又配有插画，使得整个内容呈现非常生动.

人教版拓展栏目上的折纸活动更强调让学生自己动手操作，而康轩版在拓展栏目上则侧重利用折纸有关问题来引起学生的学习兴趣，侧重于对某些问题的解答.但相同的是两版教材的折纸内容都与生活紧密相连，体现了数学在实际生活中的应用.

4 结论与教学启示

总的来说，人教版教材体现的理念是“在折纸中体验数学”，而康轩版教材则是“将折纸融入数学”[9].当前，数学活动经验的研究是一个热点问题[10].数学概念涵盖数学定义、公式、定理等，是数学学习的基础.数学本身严肃的学科特征，使得在教学实践中，学生在数学概念学习环节的课堂体验普遍不好，降低了教学效率[11].在人教版教材编写的基础上，吸收台湾数学教材的编写优点，在概念教学时加入数学活动值得借鉴.近年来，出现了不少以折纸为背景的中考、高考题，使得折纸活动改头换面以题目的形式和学生见面.在日常教学中，教师就要让学生积累折纸的数学活动经验.在折纸教学活动中，教师必须要有一定的把控能力.要让学生明白教学不是为折纸而折纸，而要给学生营造一个手、脑并用的操作环境.另一方面，教师也要适当放手，否则将不能达到培养学生发散思维、提高学生探究能力的目的[12]，这对教师的教学设计提出了更高的要求.另一方面，台湾教科书在每册书后设置了附件，以供学生剪下作为教学使用，同时在书的右下角还设置了翻页动画来展示勾股定理的动态证明过程，这样的安排使教科书变得更为充实有趣，不仅将教科书作为知识的载体，更丰富了数学教学活动的资源，值得借鉴.

对于教师教学来说，虽然折纸在呈现概念时有一定优势，但并不是唯一的手段.教科书不是知识的唯一载体，而是一扇窗，可以通往外面的旖旎风光.教师可以设置其他多样化的教学活动来帮助学生理解概念，如在圆的周长教学时，就可以让学生利用“线测法”或“滚动法”自己测量圆的周长.作为教师要充分考虑数学活动的主体性、直观性、过程性、合作性、开放性等优势，根据教学内容和学生实际，有目的地多设计一些好的数学活动，依托于这些数学活动，有效促进学生基本活动经验的积累.长此以往，学生自然能形成数学直观，提升抽象概括等能力[13].