基于GeoGebra的数学实验教学实践与反思——以“二次函数的性质”为例

张 彤

(苏州大学数学科学学院 215006)

高贞寿

(江苏省苏州市吴江区松陵第一中学 215200)

数学实验是通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，是学生运用有关工具(实物或计算机等)，在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动．[1]数学实验教学将过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实有机融合，实现了静态数学观与动态数学观的融通，使得数学教学变得完整而有活力．[2]苏科版《义务教育教科书·数学》将数学实验引进教材，专门设置了“数学实验室”，为教师开展数学实验教学提供了素材和基本线索．笔者参与了九年级下册5.2节“二次函数的图象和性质”中的“数学实验室——二次函数的性质”公开课的研讨和磨课过程，并在数学实验教学中应用动态数学软件GeoGebra(下称GGB)探究了含参二次函数图象的变化规律．

1 基本情况

·教材分析

本节课旨在对含参二次函数图象的变化规律进行探究，使学生深入理解二次函数的图象和性质，对学习二次函数与一元一次方程、不等式和二次函数的应用都有非常重要的意义．利用动态数学软件可以较好地演示二次函数图象的变化规律．

·学情分析

学生在八年级已经学过一次函数和反比例函数，对函数的研究结构和方法有了初步的体悟．在九年级下册第5章5.1节和5.2节中，学生又系统地学习了二次函数的概念、图象和基本性质，完整地经历了二次函数图象和基本性质的研究过程，具有从特殊到一般、从具体到抽象的思维经历．含参二次函数的相关内容一直是学生学习的难点．利用GGB强大的动态演示功能，可以帮助学生经历参数变化引起图形变化规律的过程，促进学生从感性的数学认识顺利地过渡到理性的数学原理的探究，从而突破难点，降低学习坡度．

·教学目标

(1)利用GGB构建数学实验平台，通过实验操作、比较研究、探索发现参数变化引起图形变化的规律，促进对含参二次函数图象的理解和认识．

(2)感受数形结合的思想方法，体会由具体到抽象、从特殊到一般的研究方法，提高观察、分析和解决问题的能力．

·教学重点与难点

教学重点 参数的变化引起二次函数图象的变化规律．

教学难点 理解二次函数参数引起图象变化的数学本质．

·教学方法与手段

问题启发式、小组合作式、实验操作式相结合．

·教学器材

未来教室，人手一台装有GGB软件的电脑．

2 教学过程

2.1 复习回顾，引入课题

师：很好！对于二次函数y=ax2(a≠0)，参数a从3变到-3，其图象发生了怎样的变化呢？下面，我们来研究这一问题．

设计意图通过具体的二次函数，教师引导学生发现二次项系数的正负和绝对值大小对函数图象的影响，为系数由具体数字变为抽象字母作好铺垫．

3.1 实验探索，归纳性质

探究1参数a对二次函数y=ax2图象的影响．

师：请同学们打开桌面上的GGB画图软件，新建滑动条a(-10≤a≤10)，然后在下方“输入”位置新建函数y=ax2．如图1，滑动a改变a的大小，观察二次函数y=ax2的图象，看看有什么变化？

图1

生1：开口方向和大小在变化．

生2：当a=0时，图形消失了．

师：请仔细观察，当a=0时y=0，图形不是消失了，而是变成了直线y=0，即x轴．

师：对应a的数值，看看具体是怎么变的？

生4：当a>0时，开口向上；反之，开口向下(图略)．

生5：当|a|越大时，开口越小；当|a|越小时，开口越大．

设计意图数学实验的关键是让学生参与到实验探究过程中．教师引导学生通过操作GGB观察系数a对二次函数y=ax2图象变化的影响，从直观的角度回答探究1，为其数学分析作准备．

师：同学们，请思考一下，为什么当|a|越大时开口越小，当|a|越小时开口越大？

(学生思考)

师：我们以前学习过一次函数y=kx+b(k≠0)，|k|的值越大，y随x的变化速率越快，图形呈现“陡”的情况．

生6：哦！我懂了．在这边，|a|越大，y随x的变化速率越快，图形呈现“陡”的情况，抛物线的开口就越小；反之，开口就越大．

师：那么谁能来总结一下参数a对二次函数y=ax2(a≠0)图象的影响？

生7：a的正负影响二次函数y=ax2(a≠0)图象的开口方向．a为正数，图象开口向上；a为负数，图象开口向下．

生8：|a|影响图象的开口大小．|a|越大，y随x的变化速率越快，图形也是呈现“陡”的情况，抛物线的开口就越小；反之，开口就越大．

设计意图教师帮助学生回忆参数k对一次函数y=kx+b(k≠0)图象变化的影响，并将该方法迁移到二次函数中，借助GGB直观动态的演示，引导学生探索、发现相应的性质．

探究2参数a,b,c对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)(*)图象的影响．

师：上面我们已经研究了参数a对二次函数y=ax2(a≠0)图象的影响，下面仿照上述研究方法，进一步探究参数a,b,c对二次函数(*)图象的影响．

各小组先进行学生个人探究，再合作讨论，从开口方向、开口大小、对称轴位置、与y轴交点C这四个方面探究：当参数a,b,c分别变化时哪些量在变，是如何变的；哪些量是不变的．

(教师巡视，了解学生存在的困难，适时指导解惑，引导学生自己实验、观察、总结)

师：我们首先邀请第一小组代表演示、总结．

生9：仅参数a变化时，我们发现，开口方向和开口大小都在变化，如图2．a的正负影响图象的开口方向．当a为正数时，图象开口向上；当a为负数时，图象开口向下．|a|影响图象的开口大小．|a|越大，抛物线的开口就越小；反之，开口就越大．这与我们前面研究的y=ax2(a≠0)的情况一致．

图2

师：总结得不错！他们认为参数a影响二次函数图象的开口方向和开口大小．有补充的吗？

生10：我来补充一下．我们小组观察到，当a=0时，函数变为一次函数y=bx+c，其图象为一条直线．

师：很好！观察得非常仔细，并且分析了原因.当a=0时函数变为y=bx+c，为一次函数，所以其图象为一条直线．

生11：老师，我们组也有补充．我们发现，在参数a变化时，抛物线的对称轴也在移动位置(图略)．

师：非常好！对称轴的位置也与参数a有关．那么有没有不受参数a影响，始终不动的？

生12：与y轴交点C．

师：参数b变化时，情况又如何呢？

生13：我们小组发现，当参数b变化时，对称轴的位置发生了变化．抛物线的开口大小也发生了变化，开口方向不变(图略)．

生14：老师，我们认为抛物线的开口方向和开口大小都没有变．

师：当参数b变化时，对称轴的位置发生变化是没有疑义的．但在抛物线的开口大小上有一定的争议．参数b对抛物线的开口大小有影响吗？请同学们再实验操作一下．

在教师的指导下，学生通过实验没有发现参数b对抛物线的开口大小有影响．

师：通过实验，我们可以得到：参数b仅对对称轴的位置有影响，对其他没有影响．

师：那么参数c对图象的哪些元素有影响？

生15：仅对抛物线与y轴交点C有影响(图略)．

师：很棒！下面我们来总结一下参数a,b,c变化对二次函数(*)图象的影响．

生16：参数a影响抛物线的开口方向和开口大小，a的正负影响图象的开口方向，当a为正数时，图象开口向上；当a为负数时，图象开口向下；|a|影响图象的开口大小，|a|越大，抛物线的开口就越小；反之，开口就越大．同时，对称轴的位置也受参数a的影响．

生17：参数b仅对对称轴的位置有影响．

生18：参数c仅对抛物线与y轴交点C有影响．

设计意图通过GGB动态演示参数a,b,c变化时对二次函数(*)图象变化的影响，以学生先自主探究再小组合作的方式探索相应的结论．

探索3参数a,b,c对二次函数(*)图象影响的原因分析．

师：你能分析一下原因吗？

师：分析得非常好，我们可以简单地记为“左同右异”．那么，对y轴交点C的坐标(0,c)的影响如何呢？

生20：当c>0，抛物线与y轴交点C(0,c)在y轴正半轴上；当c=0，抛物线与y轴交点C(0,c)在原点(0,0)处；当c<0，抛物线与y轴交点C(0,c)在y轴负半轴上．

师：总结得非常好！这里我们可以简单地记为“上正下负”．

师：今天我们利用GGB软件通过实验结合数学分析，探讨了参数a,b,c的变化对二次函数(*)图象变化的影响．GGB帮助我们直观清晰地观察动态二次函数图象变化及相应的复杂动态问题，希望同学们在以后的学习中熟练运用．

设计意图利用计算机进行数学实验，除了验证结论外，应将重点放在促进学生对数学的理解和探究更多的数学结论上．在探索2的基础上，教师紧扣开口方向、对称轴和与y轴交点这三个主要的图象特征，引导学生发现函数图象变化的整体趋势，并从二次函数表达式本身进行数学分析，揭示其变化规律背后的数学原理．

3 教学反思

(1)在数学实验教学中的应用分析

数学是一门逻辑性很强、具有高度抽象性的学科，而初中生处于具体形象思维向抽象思维的过渡阶段，对这一阶段抽象思维能力的培养，不仅要基于已有的认知水平，还要依赖于具体生动的表象．因此，对于“数形结合”这一重要数学思想方法，如何使用信息技术辅助教师的教和学生的学已成为一线教学需要关注的问题．本节数学实验教学课使用GGB软件研究二次函数的性质，探讨含参二次函数图象的变化规律，既是教学的重点，也是教学的难点．本节课教者从始至终一直在引导学生自主操作GGB软件，以自主探究和合作讨论的方式观察参数a,b,c数值的变化对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象变化的影响，以师生互动的形式揭示图象变化的原因，并对原因进行抽象概括和归纳、总结．凭借GGB强大的动态演示功能，“二次函数的性质”这一复杂、抽象的代数问题，经历学生自主改变参数值的大小和观察相应图象的变化规律，被转换成一个形象、直观的几何问题，并在“形”“数”互变中建立数学关系．教师还以师生互动的方式，运用基于代数抽象推理的讲授来弥补几何直觉的不足．这节课将抽象的知识具体化、形象化、动态化，再自然地过渡到严密的逻辑推理上，不仅可以提高学生学习数学的信心和兴趣，还可以培养学生良好的数学思维方式和学习习惯．

(2)在数学实验教学中的优势分析

建立数学实验室，让学生获得适应未来生存与发展所必需的数学活动经验，是义务教育阶段数学课程的目标之一．苏科版数学教科书要求教师在“教学实验室”中用几何画板软件研究二次函数的性质．比较而言，GGB比几何画板更容易上手，操作也更为简明流畅，“数”“形”结合得更好．在数学实验教学中，学生可以在教师的引导下，同步操作GGB进行几何图形的建构，并借助图形的变换、测量、试验和分析，研究几何图形的性质，从而实现以自主体验的方式完成“数学基本活动经验”中的“探究活动”和“论证活动”．