APP下载

回归·拓广·升华
——以一道解三角形试题的分析历程为例*

2022-12-04耀

中学数学杂志 2022年7期
关键词:平分线定理三角形

王 耀

(江苏省苏州第一中学 215006)

笔者在近期的高三一轮复习中,发现一道解三角形选择题的准确率不高,于是以此为契机,精心构思,通过师生合作将一些相关知识点完美串联起来,具体讲评历程整理如下.

1 问题呈现

2 知识梳理

教材溯源1(人教版教材第54页“综合运用”第17题)证明:设△ABC的外接圆的半径是R,则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

简证(1)当△ABC是锐角三角形时,外接圆O半径为R,如图1,连结BO并延长,交外接圆于点A1,连结A1C,则圆周角∠A1=∠A.

图1 图2

3 问题解决

在批阅这道题时,笔者发现得分率相对较低,询问后得知即使答对的学生,也有部分是通过对三角形特殊化后“猜对”的答案.因此,在讲解前,笔者特地回顾教材,对正弦定理的来龙去脉进行回顾(知识梳理部分).这样处理后,许多学生再面对这道题时,得到以下解法:

图3

解法1中,通过初等几何知识(圆周角相等)以及正弦定理的拓广结论进行求解,让解题思维不只是“冰冷的美丽”,能否继续展开“火热的思考”,也是值得探究的问题.除了采用“化角”的转化策略,笔者也尝试进行“化边”转化,进而引导学生进行思考,将解法2的教学片段整理如下.

师:在解三角形中,由三角形的角平分线能想到什么性质或结论?

图4

生2:相交弦定理,也就是利用△A1BD∽△CAD可知BD·DC=AD·DA1.

师:生2讲得很全面,问题转化为求出角平分线AD的长度,怎么求解呢?

师:上面对三角形中内角平分线的定性分析、定量计算,复习了经典的结论,现在请大家将上面的信息综合起来,推导一下线段AA1的长度表达式.

评注(1)这个解法中,综合运用了多个定理,如角平分线定理、相交弦定理、余弦定理、角平分线长公式等,其中,与角平分线相关的公式、定理都是命题中的热点,本文下面会举例说明.

图5

多么简洁的方法,的确让大家眼前一亮,笔者和学生一起感受这道题蕴涵的数学之美,也有学生提出能不能利用余弦定理来证明这个结论?结合前面的解法,师生讨论后发现这个方向是可行的.

解法4如图6,设∠BAC=A=2θ,则∠BAA1=∠CAA1=∠BCA1=∠CBA1=θ,可设A1B=A1C=x.

图6

真是条条大路通罗马啊,一道小题竟然可以有几种方法去研究它,不知不觉地就过了一节课.课后,笔者也意犹未尽,继续思考,得到如下更为简洁的解法:

4 拓展运用

为了巩固上文中的一些解题策略,笔者选取了几道习题供学生进行练习,升华思维.

图7

例1(2018·江苏卷13)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.

图8

评注此题也可以运用几何法进行直观想象,即利用角平分线定理构造调和点列,得到结果,但是用解析法进行逻辑推理更加严谨,可培养学生数学推理、数学运算的能力.

图9

评注在人教版新教材第64页中,让学生用向量法研究三角形的性质进行数学探究的研究活动,本例恰好是在所学知识基础上,对三角形的内心进行向量表示的完美体现.

例4(2021·全国I卷19)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.

(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

图10

评注这道题虽是中档题,但是从学生反馈来看,不少人用时较多.可见,将未知的问题转化为熟悉的结构特征,选择有效的转化策略尤为重要,本题由定比分点进行向量表示是最高效的解题途径.

5 教学感悟

(1)回归教材,理解数学

2017年版课程标准指出,通过高中数学课程的学习,获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”);提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”).高考命题的依据是“课标”“考纲”与“教材”,命题源于教材但又高于教材,这是全体高三教师的共识.那么,高三数学备考的课堂教学中,提升“四基”“四能”,离不开对教材的深刻理解.章建跃教授近年来倡导的“理解数学”[1]引起了广泛的关注,他提出,教好数学的前提是要理解数学,只有理解数学知识的本质,才能积累教学知识的表达经验.

的确,通过文中分析的这道题不难看出,对于广大师生而言,理解教材是教师教好数学、学生学好数学的关键,教材中的定理和一些典型的例习题之间常具有一定的关联性,其中渗透了某些经典的数学思想方法.因此,在高三的复习工作中,要认真研读教材,充分发掘教材的使用价值,通过对教材的深入思考与研究,帮助学生系统地梳理知识,构建知识网络.例如,本文中通过对正弦定理背景下的习题讲评的设计,师生共同探究问题的背景、方法和联系,帮助学生积累问题解决过程中常用的解题经验.

(2)拓展探究,建构数学

教学的目的是使学生学会未知的知识,逐步由“学会”到“会学”.也就是说,学生在学习过程中接受新知识,更重要的是要学会如何独立思考.因此,笔者认为给学生提供合适的研究对象,进行拓展研究,显得尤为必要.这些素材广泛分布在教材中,例如正文、思考、旁白、例习题等.

在高考复习教学中,如果只是对知识点重复罗列,无法提高学生学习的参与度和内驱力.不妨注重联系,“合纵连横”地进行知识体系的再建构,即通过“点—线—面”的方式,将教材中的关联知识点灵活呈现[2],在教师的引领下,学生对概念、定理、公式的来龙去脉进行再认识,对教材知识进行再巩固,提高知识综合运用的能力,提升问题解决的成功率.

本节课中研究的问题,与三角函数、向量、正弦定理、余弦定理、不等式、初等几何等知识之间有着密切的联系,这些知识都是解决几何问题的有力工具.通过对其中分析思维历程的展示,让学生领会到知识的精髓,积累数学探究的活动体验.

(3)强化运用,升华思维

以“微点”入手的课堂教学是近年来高三数学复习中的常见课型[3],教师精心选择素材,结合归类设计、变式开发等手段完善讲评策略,通过学生自主探究、师生合作探究,对知识进行运用和拓展,探究解法联系,还原问题本原,从而引导学生积极、主动地矫正思维问题,深入体会数学思想方法,拓宽思维的广度,发掘思维的深度,进一步完善知识结构.这样的课堂设计,常需要从微观和宏观两个层面进行构思,师生积极参与,使高三的数学课堂充满生机活力,对学生思维的发展、创新精神的培养和实践能力的提高有积极的作用,对教师课堂教学效率和品位的提高有参考价值.

通过本节课中的问题解决过程发现,解法之间有联系,更有创新,各具特色,解题过程不再是“冰冷的形式化美丽”,而是那种发散的、火热的思考过程,达到了数学思维的自然流淌.由此可见,面对数学问题,只要我们学会广泛的联想和生动的类比,我们就会拥有宽阔的思路,探究出各式各样的方法.如果在解题过程中,对于每一个细节再进一步深入思考,继续追寻下去,那么解法还能不断改进,不断优化,化复杂为简单,聚分散为统一.这一切不仅可以提高我们发现问题、解决问题的能力,更是一种数学美的享受.

总之,提高学生的问题解决能力和提升学生的数学思维品质,是数学解题教学的永恒主题.作为教者,应善于引导学生重视知识背后的结构、联系和规律,积累问题解决过程中的思维经验,追求知识能力的应用和迁移,从而让教师的课堂教学更加精彩,最大限度地促进学生数学素养的有效落实.

猜你喜欢

平分线定理三角形
J. Liouville定理
玩转角的平分线
角平分线形成的角
多用角的平分线证题
A Study on English listening status of students in vocational school
三角形,不扭腰
“三共定理”及其应用(上)
三角形表演秀
如果没有三角形
折叠莫忘角平分线