半群的秩和3次方幂等元秩①

张心茹， 罗永贵， 刘木村

贵州师范大学 数学科学学院，贵阳 550025

设S是半群，A是S的非空子集且a，e∈S.若对任意的s∈S，存在a1，a2，…，am∈A，使得s=a1a2…am，则A是半群S的生成集，记S=〈A〉.若对半群S的任意生成集B都有|A|≤|B|，则A为半群S的极小生成集.通常半群S的秩定义为

rankS=min{|A|：A⊆S，〈A〉=S}

其中|A|为A的基数.

若e2=e，则e为半群S的幂等元，半群S中所有幂等元之集记为E(S).类似地，A中所有的幂等元之集记为E(A).

若(a3)2=a3且a3≠a，则a为半群S的3次方幂等元，所有3次方幂等元之集用E3(S)表示.类似地，A中所有3次方幂等元之集记为E3(A).

若A⊆E3(A)，且对任意s∈S，存在b1，b2，…，bm∈A使得s=b1b2…bt，则A为半群S的3次方幂等元生成集.令M是半群S的任意3次方幂等元生成集且|A|≤|M|，则A为半群S的3次方幂等元极小生成集.进而|A|为半群S的3次方幂等元秩，记为

rank3(S)=min{|A|：A⊆E3(S)，〈A〉=S}

设Xn={1，2，…，n}并赋予自然序，Tn和Sn分别是Xn上的全变换半群和对称群，记Singn=TnSn，则Singn是Tn的子半群且Singn为奇异变换半群.记

ker(α)={(x，y)∈[n]×[n]：xα=yα}

显然

其中1≤i，j≤n且i≠j，即

设n≥3，3≤k≤n，记

令E(Dn-1)为Dn-1中所有幂等元之集，于是有

R(i，j)={α∈Dn-1：iα=jα}

Lq={α∈Dn-1：im(α)=Xn{q}}

本文未定义的符号及术语参见文献[12-16].

为完成定理1和定理2的证明，先给出以下若干引理：

引理1[2]当n≥3时，Singn=〈E(Dn-1)〉.

引理4[5]当1≤r≤n-2时，Dr⊆Dr+1·Dr+1.

证易验证，～是Dn-1上的等价关系.对任意α∈Dn-1，记

|im(αj)|≥n-1 |im(αp)|≥n-1 1≤j，p≤t

f=min{i：|im(αi)|=n-1，1≤i≤t}

l=h1+…+hf-1p=hf+1+…+hk-1

|im(g1αfg2)|=|im(αf)|=n-1

设g1αfg2的唯一非单点核类为{x，y}，则xg1αfg2=yg1αfg2.于是

xg1αfg2αk…αt=yg1αfg2αk…αt

引理10设n≥3，3≤k≤n，则rankE*=3.

引理12设n≥3，3≤k≤n，当k为奇数时，rankE∇=n-k+1；当k为偶数时，rankE∇=n-k+2.

定理1的证明因为

再由引理1知Singn=〈E(Dn-1)〉.又因

则

定理2的证明由定理1知

显然

因此

设δ∈Dn-1，且δ的唯一非单点核类为(i，j)，其中i，j∈Xn，则Dn-1中3次方幂等元的形式如下：

设n≥5，3≤k≤n.记

为完成定理3及定理4的证明，先给出以下若干引理：

⋮

⋮

对任意的j∈{k-2，k-1，k}，s∈{1，2，3}，有

证根据引理13及引理14可知

从而

定理3的证明因为

则

定理4的证明由定理3知

显然

因此