数学实验教学：融通直观感知与抽象思维——苏教版数学五年级下册“分数的基本性质”教学设计与思考

江苏省常州市新北区百草园小学 曹 琴

抽象的数学来自具体的生活生产实践，是可以在观察、实验、归纳、推理等过程中让学生亲身体验与感受到的。数学教学要兼顾学生的年龄特点和数学学科的特质，在趣和理之间找到平衡，化静为动，化抽象为形象，变被动为主动，在“动手做”中丰富学生对数学现实的直观体验，实现在数学探究中的思维发展。以数学实验组织和引领学生开展数学探究活动，借助物化工具，通过“具身”操作，融通直观感知和抽象思维，可以促进学生掌握数学知识，形成思维方式，拓展认识的理解深度。

“分数的基本性质”是一节基于分数意义理解的规律探索课。抽象地讲解分数“等值”不利于学生从“意义”中总结规律，开展数学实验。借助直观分析，可以帮助学生在对大量感性材料的自主探索中，建立表象，形成猜想，经历多种实验验证猜想，得出结论，并尝试运用推理，论证结论的正确性和可行性。通过数学实验教学，既沟通了知识之间的联系，整体建构知识体系，又立足探究发现过程，让学生主动经历数学规律的探究全过程，掌握规律探索的方法，尝试通过数学的逻辑推理解释现象，促进学生思维的发展，让数学学习过程更生动、有趣。

一、初次实验，形成猜想

1．引发认知冲突，激发学习需求

师：同学们，我们已经认识了整数、小数和分数，整数中有两个数大小相等吗？

生：没有。

师：小数呢？

生：有，比如0.1=0.10。

师：那么分数中有没有两个分数的大小相等呢？今天这节课我们先用实验的方法来进行研究。

2．丰富学习过程，经历自主探索

师：我们一起来看实验问题和实验要求。

实验问题1：你们能找到大小相等的分数吗？

实验要求：

（1）想一想，找一找：观察分数墙，能找到大小相等的分数吗？

（2）涂一涂，说一说：涂色表示你找的分数，并与同伴交流想法。

师：开始吧！

（学生自主实验）

师：同学们都完成了吧，我们一起来交流实验情况。拿着实验单上来，边展示边交流。

数都是1的一半，它们的大小是相等的。我把这些分数用等号连起来。（板书见图1）

3．观察实验结论，形成实验猜想

师：这些用等号连起来的分数的分子和分母是怎样变化的？

生1：分子和分母都乘了2。

师：嗯，非常好，你是从左边往右边看的，那从右边往左边看呢？（师边说边画箭头）

生3：我发现了也可以将分子、分母同时除以2或者除以3。

师：这些相等的分数中隐藏着什么规律呢？你能用一句话概括刚才的发现吗？

生3：分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小不变。

师：这个只是我们的一个猜想（板书），先打个问号，有了猜想后怎么办呢？

生：验证。

[思考]首先，从数系整体进入，引发认知冲突，从而激发学习兴趣，引发需求。其次，以学生熟悉的分数墙为实验工具，带着明确的实验问题，建立实验猜想，开展实验探索。本环节主要分两步：第一步，通过实验提升认知经验，形象、具体、可操作地积累研究素材，找到相等的分数，学生发现分数中确实存在两个数相等的情况；第二步，观察相等分数之间分母、分子的变化情况，形成猜想。从动手实验建立表象到观察抽象形成猜想，整个过程让学生先想再做，做后反思，借助直观感知，指导学生观察、比较、思考，发展抽象思维，学生在做中思、以做促思。

二、再次实验，探索规律

师：好，我们用实验的方法来验证我们的猜想。

实验问题2：任意一个分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小都不变吗？

实验要求：

（1）写一写：根据猜想的规律写一些分数。

（2）做一做：用你喜欢的办法验证这些分数是否相等。

（可以折一折、涂一涂、画一画、算一算）

（3）说一说：跟同伴交流你的想法与结论。

师：实验之前友情提醒两点：第一，举例的分数尽量不要跟刚刚的重复；第二，用折一折、涂一涂方法的同学，可以从抽屉里拿出老师为大家提供的同样大小的正方形纸片和圆形纸片，用画一画、算一算方法的同学可以在练习纸上“我的验证”空白处进行。

（学生独立实验）师：同学们，我们一起来交流实验过程和实验结论。第一层次：操作实验，形成表象

生：我先写了一个分数，再根据猜想的规律将分数的分子、分母同时乘2，得到一个分数。然后我用折一折、涂一涂的方法来验证（展示纸片），我发现这两个分数的大小相等，就证明我们猜想的规律（分数的分子和分母同时乘一个数，分数大小不变）是成立的。

师（追问）：那同时除以一个数行不行？

生：也可以的，反过来看就行。

第二层次：画图实验，理解内涵

师（追问）：一个表示了这样的1份，另一个表示了这样的2份，分数的大小怎么会相等呢？

生：表示的份数不一样，平均分的份数也不一样，但结果是相等的。

师（小结）：分数是由分子和分母两部分组合而成的，要综合看平均分的份数和表示的份数。平均分的份数多，表示的份数也相应地多了；平均分的份数少，表示的份数也相应地少了，结果还是相等的。

第三层次：思维实验，感悟本质

生：我用化小数算一算的办法验证，结果也是相等的。（见图3）

[思考]数学实验要动手、动眼、动嘴，更需要与大脑协同。数学实验可以借助实物工具进行操作，更可以是思维实验。第一层次中，学生经历了完整的实验验证的过程，根据猜想先写出相等分数，再用折一折、涂一涂等形象的方法进行验证。学生通过实验动手操作，动眼动脑，从而得出正确的结论，再通过教师追问，全面验证猜想。第二层次中，画一画是较为抽象的验证方法，这一层次的交流展现了不同学生的不同思维层次，打开了学生的思路，同时通过教师追问，学生厘清了分数基本性质的内涵实质，知其然更知其所以然。第三层次中，聚焦渗透转化的思想方法，一方面呈现学生不同的思考方式；另一方面学生通过交流学习，积淀学习的方法并进一步领悟转化思想的作用。通过三个层次交流验证前面的猜想，从形象到抽象，学生不仅验证了猜想的正确性，厘清了规律的内涵本质，同时积累了学习的方式，即“猜想—验证—结论”，学习知识，发展思维，学会学习。

三、沟通联系，建构性质

师：同学们用折、涂、画、算等多种方法验证了“分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小不变”这个结论。想一想，分数还跟哪些知识有联系？你们能用它来说明吗？

生：分数与除法是有联系的。

师：看来你对知识之间内在的联系理解得非常到位，那同学们能用除法的知识来推理出分数中的规律吗？请看——

实验问题3：你能根据商不变的规律来说明上面的结论吗？

（学生独立完成）

师：哪位同学来交流你的说明过程？

生：我利用商不变的规律把5÷6中的被除数和除数同时扩大2倍变成10和12，商不变，然后利用分数与除法的关系，把除法算式写成分数，上面的除法算式用等号连接，下面的分数也能用等号连接，证明分数的分子、分母变化规律是成立的。（见图4）

师（小结）：同学们把新知识转化成旧知来进行验证和推理，得出了正确的结论，很了不起。这也是数学上经常用的方法，老师为你们点赞。

师：同学们，学到这里，你们有什么困惑或新的想法吗？或有什么要补充的吗？

生：分子、分母同时乘或者除以一个数，这个数必须是非0的数。（板书）

师：你可真会学习，一边学一边想，非常棒！同学们都学会了吗？

[思考]实验的过程应合情推理，基于数学的严谨和科学，仅仅通过合情推理得出结论是不够的，在直观、有趣生动的同时，还需要理性思维，恰当的逻辑推理有助于更好地理解数学知识。这部分从合情推理到演绎推理，回归数学的理性，利用旧知证明新知，并质疑反思，学生经历了从感性到理性、从具体到抽象的过程，建立起系统的认知结构。

本节课教学中，教师注重引导学生在亲历活动中解决问题、发展思维、自主完善并建构知识体系。学生围绕“能找到大小相等的分数吗”“分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小不变吗”两个实验问题展开探究。学生通过第一次动手实验，直观感知不同分数可以相等，进而观察、分析这些分数的分子、分母变化情况，初步抽象出猜想。教学中，如何帮助学生从抽象认知中走出、获得直观经验的解释是突破学习难点的关键，教师应用“数学实验”，让学生借助“圆形、正方形纸片”等实验工具，通过“折一折”“涂一涂”“画一画”“算一算”来进行验证，鼓励不同的学生采用不同的实验方法验证相等的分数，基于事实形成表象，这正是构成思维可逆性的基础。

在数学实验活动中，学生多种感官参与，丰富了体验，使数学学习的过程变得生动、有趣，既提高了学习效率，又提升了思维。两次数学实验，学生从具象到抽象，再从抽象到具象，在不断地融通中发展能力、提升素养。正如蒙特梭利说的“我听过了，我就忘了；我看见了，我就记得了；我做过了，我就理解了”。

在数学探究活动中应用数学实验，改变了常规数学课堂的形态，学生在实验的过程中充分动手动脑，习得知识、领悟方法、明晰道理，融通了直观感知和抽象思维，这样的数学学习既严谨又生动，能更好地发展学生的数学思维。