柔性联轴器平行不对中轴系振动特性分析

赵博，谷伟伟，潘渤，王延博

（1.西安热工研究院有限公司，西安 710054；2.西安西热节能技术有限公司，西安 710054）

在导致旋转机械振动异常的各类故障中，不对中出现的频率仅次于质量不平衡[1]。轴系不对中的可能原因有加工误差、安装误差和运行中的热膨胀、机械冲击作用等。不对中除了会导致设备振动变化，还可能导致轴承加速磨损、油膜失稳和转轴的挠曲变形等，危害极大[2]。研究和掌握不对中振动的机理和特征，对于旋转机械的故障诊断和治理具有重要意义。

轴系不对中分为轴承不对中、联轴器不对中和动静不同心3种类型，形式上又分为平行不对中、角度不对中和复合不对中[2-4]，更需要注意的是应用凸缘、齿套、膜片等各类的联轴器时轴系振动特性也需要分别讨论。文献[5]研究了联轴器交角不对中柔性转子-轴承耦合系统的非线性动力学行为，发现系统可能会出现分叉、跳跃以及混沌等非线性现象，着重研究了轴承非线性对系统振动特性的影响。文献[6]分析了不对中和碰摩耦合时的轴系振动特性，模型考虑了动静摩擦带来的非线性和轴承非线性，但不对中效应仅被模化为转速同步的离心和阻尼载荷。文献[7]以双子系统为研究对象，发现高、低压转子的振动相互耦合，在双转子系统临界转速的1/2会发生2倍频共振。文献[8]建立了包含滚动轴承的航发转子系统模型，通过数值方法分析了发生不对中和质量不平衡时的振动特性。文献[9]基于构建使用齿式联轴器的偏盘转子系统动力学模型，研究了系统在转子不平衡激励和联轴器不对中激励共同作用下的非线性响应特性。文献[10]针对柴油发电机组联轴器空间动态不对中问题，建立有限元模型并分析了系统的振动响应特性。文献[11]通过改变轴系标高来模拟各种轴承不对中工况，并根据轴承的载荷变化，反演计算出不对中联轴器所承受的力和力矩，并依此对轴系不对中进行定量的振动分析。文献[12]研究了刚性连接平行不对中转子系统的振动特性，发现其故障特征频率主要成分为1X 分量，但是建立模型时未考虑联轴器柔度的影响，以及横向振动和扭转振动的耦合效应。文献[13]研究了具有平行不对中故障的非对称发电机转子系统非线性动力学特征。

以上文献的研究对象多为应用刚性或齿套式联轴器的转子不对中系统，一般把联轴器模化为固定或铰接等刚性连接。然而，以火电厂核心辅机汽动给水泵组和部分风机组为例，普遍采用柔度不能忽略的膜片式联轴器，因此有必要对此类系统不对中特性进行分析研究。文献[14]通过建立柔性联轴器的三维有限元模型，计算了联轴器在旋转过程中刚度的周期性波动，将周期性波动的刚度引入系统控制方程，以此作为不对中产生二倍频振动的一种解释。文献[15]研究了弹性联轴器不对中转子-轴承系统的非线性动力特性，不对中效应被简化为简谐变化的外部载荷，重点研究了轴承非线性对系统振动特性的影响，未考虑不对中带来的弯曲和扭转振动耦合。

本文针对联轴器平行不对中问题，考虑联轴器弯曲、扭转和横向柔度的影响，对联轴器-转子-轴承系统进行适当简化，建立动力学模型并使用数值方法分析了平行不对中情况下系统振动特性。重点分析了平行不对中量和联轴器刚度对系统动力学特性的影响，为该类转子的振动故障诊断和治理提供理论依据。

1 动力学模型

考虑联轴器柔性的影响和横向扭转振动耦合效应，建立联轴器-转子-轴承系统模型，如图1所示。模型中联轴器两侧允许有相对横向位移、扭转角和偏转角；轴承具有 x和 y两个方向相对独立的刚度和阻尼，驱动转子支撑为刚性；各转轴为刚性，并忽略转轴惯性，轮盘位于转子中部。图1中：（ x , y）为被驱动转子的轮盘中心横向位移坐标；（ θx, θy）为其轮盘的偏转角； φ1为 驱动转子的旋转角； φ2为被驱动转子的旋转角；（ x1, y1）和（ x2, y2）为被驱动转子在左右轴承处轴心横向位移坐标；（ x3, y3）为被驱动侧半联轴器轴心横向位移坐标。

图1 联轴器平行不对中轴系模型示意图

系统中转子、轮盘和联轴器各位置中心坐标满足的约束关系如下：y,θx,θy,φ1,φ2。在上述广义坐标下系统的总动能为

由方程组（1）可知，系统的一组广义坐标为： x,

式中： Ip1为 驱动转子轮盘的极转动惯量； Id2和 Ip2分别为被驱动转子轮盘的极转动惯量和直径转动惯量。系统的总势能表示为

式中： kx和 ky分 别为轴承在 x和 y 两个方向上的横向刚度。系统的拉格朗日方程为

式中： qj为系统的各广义坐标； Q¯j表示轴承阻尼力和驱动力等非保守力在各广义坐标下对应的广义力。忽略式（2）动能中陀螺力矩项，将系统驱动力矩设定为M，约定阻力与角速度平方成正比为。由式（2）～式（4）得到系统的动力学控制方程为：

从上面控制方程可以看出轴系的横向振动和扭转振动是耦合的，式（5）和式（6）中的kctδcosφ2和kctδsinφ2即为不对中产生的横向振动和扭转振动之间的耦合项。由于 φ2本身也是广义坐标，其三角函数即为非线性项。除方程（9）仅包含各广义坐标的线性项为线性方程外，其他方程中均包含sinφ2和cosφ2等非线性项，表明此系统的控制方程组为非线性。此非线性方程组难以求出解析解，但是可以使用数值方法求解。

2 数值求解及分析

表1列出了数值模型选用的参数。转子尺寸及质量属性参考BENTLY 公司生产的RK-4型试验台转子，并以文献[14]中的膜片联轴器三维有限元计算结果为参考设定柔性联轴器刚度。

表1 转子系统参数

2.1 时频特性

求解式（5）～式（10）组成的非线性方程组时各广义坐标初值均设定为0，使用的求解方法为5阶Runge-Kutta 法。图2为计算得出的被驱动转子转速变化趋势，可以看出转速达到100 rad/s附近后有小幅度的规律性波动，表明轴系存在明显的扭转振动。对进入稳态后的转子角速度交变量进行FFT 变换，得到图3所示的转子扭转振动频谱，可以看出扭转振动以2倍频为主，并有少量的1倍频分量，如图3所示。

图2 被驱动转子转速变化趋势

图3进入稳态后转子扭转振动频谱

图4 为进入稳态后转子轮盘轴心X 和Y 方向横向振动响应的时域波形，结果显示X 方向幅值更大，且两个方向振动有约90°的相位差。图5为对X 方向振动时域波形进行FFT 变换得到的频谱，显示振动为1 倍频分量。图6为利用两个方向振动响应合成得到的轴心轨迹，是较为标准的椭圆形。

图4 进入稳态后转子轮盘处X 方向和Y 方向横向振动波形

图5 进入稳态后转子轮盘处X 方向振动频谱

图6 进入稳态后转子在轮盘处的轴心轨迹

2.2 联轴器刚度和不对中量对响应影响

通过改变不对中量δ，计算具有不同不对中程度时转子横向振动幅值。无量纲化不对中程度以不对中量 δ和转子跨内长度l之比表示。计算结果显示振动始终以基频分量为主，振动幅值和不对中量取对数后呈近似线性关系，如图7所示。同时，存在不同不对中量时，扭转振动都以2倍频为主，并含有少量基频分量，扭转振动幅值和不对中量为正相关。

图7 不同不对中程度下转子横向和扭转振动幅值

考虑到平衡不对中激振力大小和联轴器横向刚度相关，计算了不同横向刚度下的轴系振动响应。无量纲化联轴器横向刚度以横向刚度 kct和轴承刚度kx之比表示。图8为不同联轴器刚度下转子横向和扭转振动幅值，可以看出，在同样的平行不对中量下，转子横向及扭转振动幅值随联轴器横向刚度增大而增大，取对数后近似为线性关系。

图8 不同联轴器刚度下转子横向和扭转振动幅值

3 分析讨论

结合数值计算的结果，对于式（5）～式（10）组成的非线性控制方程组也可以做定性分析。当轴系正常稳态运行时，以被驱动转子为研究对象，若其瞬时转速均值为 ω，则转子的转角可以表示为

式中： ε(t)表示与扭转振动相关的转速瞬态波动。根据上一部分中的数值计算结果和一般经验，可以认为≪ω和ε(t)≪1是成立的，进一步可以认为cosφ2≈cosωt 和sinφ2≈sinωt成立。如果将式（5）到式（8）中的 φ2替换为 ωt后，即转子横向振动不受扭转振动影响，振动控制方程组也从非线性退化为线性，求解出转子横向振动振动表达式为x=Axsin(ωt+ψx)，显然为单纯的1倍频振动。

以火电厂使用柔性联轴器的汽动给水泵为例，泵转子长度2 m 左右，但是不对中量不会超过2 mm，即 δ/l＜10-3。从数值计算结果可以看出，即使在δ/l＜10-2范围内，系统未表现出明显的非线性特征，横向基频振动均以基频为主。可以认为，在具有实际意义的不对中量情况下，柔性联轴器平行不对中引起的横向振动以基频为主。

不失一般性，可以假设求解出转子横向振动X 向振动表达式为 x=Axsin(ωt+ψx)。以式（10）中的kctδx sinφ2为观察对象，分析扭转振动2 倍频来源。将X 向振动表达式代入后这一项可以表示为kctδAxsin(ωt+ψx)sin(ωt+ε(t))，这是一个角频率为2ω的的交变量，解释了扭转振动2倍频的成因。

由于控制方程中激发振动的广义力为不对中量和对应刚度的乘积，也很容易理解振动幅值随不对中量和联轴器刚度增大而增大。这一结论也说明相同对中状态下，使用柔性联轴器的轴系振动要优于使用刚性联轴器的轴系振动。

4 结论

研究表明，柔性联轴器平行不对中可以激发出轴系二倍频的扭转振动，振动幅值随不对中量和联轴器刚度增大而增大。在生产实际中可能存在的不对中量情况下，即当平行不对中量与转子跨距之比小于10-3时，具有平行不对中的柔性联轴器连接的转子稳态运行时，横向振动为基频分量，幅值大小随不对中量和联轴器刚度增大而增大，不存在明显的其他频率分量。