调和Hardy空间上调和Toeplitz算子的若干代数性质❋

2022-12-01魏晓东石岩月

中国海洋大学学报（自然科学版） 2022年12期

魏晓东，石岩月

(中国海洋大学数学科学学院，山东青岛 266100)

在Hardy空间上，一个有界线性算子A是Toeplitz算子当且仅当UAU*=A，其中U和U*为H2上的单侧移位算子。1964年由A. Brown, P. Halmos[1]给出该方程，利用Toeplitz算子满足该方程的特性,证得了一系列有关经典Hardy空间上Toeplitz算子的重要的代数性质。一般地，将该方程称为Hardy空间上Toeplitz算子的特征方程。在不同函数空间上探究各种算子的特征方程是函数空间上算子理论研究的重要课题之一。2007年D. Sarason[2]首先在模型空间上给出了截断Toeplitz算子的定义，并给出了此类算子的特征方程。随后，国内外很多学者对截断Toeplitz算子进行了一系列深入的研究[3-10]。鉴于对偶截断Toeplitz算子和截断Toeplitz算子成对出现且具有紧密联系，丁宣浩和桑元琦[11]最先对两个对偶截断Toeplitz算子的乘积展开研究，分别给出了乘积为零、乘积为有限秩算子以及乘积为对偶截断Toeplitz算子的充要条件。随后，丁宣浩、桑元琦和秦越石合作对此类算子生成的C*代数进行了研究[12]；丁宣浩、桑元琦和李永宁合作刻画了以函数φ(z)=z为符号的对偶截断Toeplitz算子的换位及其不变子空间[13]。最近，顾才兴[14]给出了对偶截断Toeplitz算子的特征方程，结合此特征方程和复对称性给出对偶截断Toeplitz算子的判定方法，并利用该方程部分简化了文献[11-12]中的证明。2020年，丁宣浩、秦越石和桑元琦[15]给出了调和Hardy空间上的调和Toeplitz算子的定义，并研究了算子的有界性和紧性问题、零积问题、乘法封闭性和交换性问题。目前对调和Hardy空间上调和Toeplitz算子的研究还相对较少。本文主要从算子方程的角度进行研究，将顾才兴[14]给出的对偶截断Toeplitz算子的若干性质推广到调和Toeplitz算子。

1 预备知识

记复平面上的开单位圆盘为

D={z∈C:|z|<1}。

设L2为单位圆周上关于弧长测度平方可积的可测函数全体构成的空间，设H2为L2中负项傅里叶系数为零的函数全体构成的空间，即

在上述结论的启发下，丁宣浩、秦越石和桑元琦[15]给出了调和Hardy空间的定义。在本文中均设u,v为Hardy空间的内函数,由u,v诱导的调和Hardy空间定义如下：

Mu(f)=uf；Mv(f)=vf；

设

事实上，∀g∈L2，

又由于Quv是自伴算子，所以

从而

在本节的最后，我们回顾一下复对称算子的定义和相关研究成果。令H为可分的无穷维复Hilbert空间，L(H)是H上的有界线性算子全体构成的赋范线性空间。令C为Hilbert空间上的算子，且C满足：

(Ⅱ)〈Cx,Cy〉=〈y,x〉，∀x,y∈H；

(Ⅲ)C2=I，其中I为单位算子。

由性质(Ⅱ)知C为H上的等距算子。一般地，称满足上述三个条件的算子C为H上的对合的共轭线性等距算子。

设T∈L(H)，若存在对合的共轭线性等距算子C:H→H使得

T=CT*C,

则称T为关于算子C的复对称算子。

复对称算子最早是由S. Garcia和M. Putinar[17]从复对称矩阵推广到Hilbert空间的。郭坤宇和朱森[18]最先提出了Hardy空间上Toeplitz算子的复对称性问题。由于对合的共轭线性等距算子C选取的多样性，要完全回答该问题是非常困难的。目前关于该问题的研究主要有两个思路：一个是先构造特定的对合共轭线性等距算子C，然后研究Toeplitz算子对指定算子C的复对称性[19-20]；另一个是适当限制Toeplitz算子的符号函数，根据复对称算子的性质寻找符号函数必须满足的条件[21]。关于Bergman空间和Dirichlet空间上的Toeplitz算子的复对称性问题的研究可参见文献[22-24]及其参考文献。