基于LSPIA的带能量项B样条曲线拟合

2022-12-01邓重阳李亚娟

杭州电子科技大学学报(自然科学版) 2022年6期

王越，邓重阳，李亚娟

(杭州电子科技大学理学院，浙江杭州 310018)

0 引言

在计算机辅助几何设计的逆向工程及模型设计中，用曲线拟合离散数据有着广泛的应用。B样条曲线具有几何不变性、分段光滑和局部支撑等优点，通常用于曲线拟合[1]。最小二乘拟合是B样条曲线拟合的经典方法，能将拟合误差控制在整体最小[2]，但未考虑拟合曲线的能量。因此，在最小二乘拟合基础上添加能量项，以获得能量更小的B样条拟合曲线。传统的带能量项B样条曲线拟合通常是将B样条曲线控制点看作未知量，通过求解线性方程组得到此控制点。渐进迭代逼近是一种高效直观的数据拟合方法，通过迭代调整控制点的位置，获得一系列拟合曲线[3]，避免求解一个大型线性方程组。1975年，齐东旭等[4]首次提出PIA的概念，并用于均匀B样条曲线的插值运算，随后被用于各种曲线曲面的插值运算，包括非均匀B样条曲线曲面[5]、NURBS曲线曲面[6]、基于标准全正基函数的混合曲线曲面[7]、Loop细分曲面[8]、Catmull-Clark细分曲面[9]等，后期被推广到曲线曲面的拟合，比如，Lin等[10]提出一种扩展的渐进迭代逼近(Extended Progressive and Iterative Approximation,EPIA)算法，允许控制点的数量小于给定数据点，在大规模数据拟合方面具有重大影响。2014年，Deng等[11]提出一种最小二乘渐进迭代逼近(Least Squares Progressive Iterative Approximation，LSPIA)，从上一轮迭代开始新一轮的迭代，节省了大量计算量。2018年，Lin等[12]论证了奇异迭代矩阵LSPIA算法的收敛性。王慧等[13]提出一种B样条曲线的双层最小二乘渐进迭代逼近算法，与LSPIA相比，在减少迭代时间的同时，降低了迭代次数，提高了拟合效率。本文提出一种基于LSPIA的带能量项B样条曲线拟合算法，通过调整能量系数，使得拟合曲线既满足拟合误差精度又能达到能量最小。

1 曲线拟合算法

1.1 带能量项的B样条曲线拟合

(1)

(2)

(3)

则可将式(2)表示为矩阵形式：

F=ωPTEP+(BTP-Q)2

(4)

(BTB+ωE)P=BTQ

(5)

式中，Q为给定的数据点集，P为待求的带能量项后B样条曲线的控制点集，ω为能量系数，一般可采用反解法求得P。

由能量矩阵E及B样条基函数的配置矩阵B的定义可知，方程组(5)的系数矩阵为稀疏矩阵，用反解法导致系统不稳定，且消耗大量计算资源，渐进迭代逼近方法可以解决这个问题。

1.2 带能量最小二乘渐进迭代逼近

(6)

(7)

(8)

(9)

则第r+1次迭代后的控制顶点为：

(10)

将上述迭代过程写成矩阵形式，可得：

(11)

1.3 收敛性证明

证明令In+1为n+1阶单位矩阵，由式(11)可知，Pk+1=Pk+μ(BTQ-VPk)，则有：

V(I-μV)(Pk-V-1BTQ)=…=V(I-μV)k(P0-V-1BTQ)

(12)

1.4 优化能量系数

1.5 基于LSPIA的带能量项B样条曲线拟合算法

根据1.2节提出的带能量最小二乘渐进迭代逼近，本文提出的基于LSPIA的带能量项B样条曲线拟合算法(简称带能量LSPIA算法)主要运用1.4节的二分法对能量系数进行调整，在满足拟合误差精度的条件下，使得B样条曲线能量最小，并具有较好的鲁棒性。算法流程如下。

输入:数据点{Qj}mj=0,初始控制顶点{P0i}ni=0,精度ε1,ε2。(1)给定控制点数,运用LSPIA得到满足拟合误差精度ε1的B样条曲线,若在给定控制点下无法达到拟合误差精度,增加控制点数。(2)令ω=BTBE,将步骤1得到的B样条曲线作为初始拟合曲线,运用式(11)计算,当迭代中Δl2<ε2时,输出此能量系数对应的拟合曲线。(3)将步骤2输出的B样条曲线的拟合误差记为ε(ω),与精度ε1进行比较。(4)运用式(11)得到调整ω的B样条曲线,用1.4节二分法调整ω,找到1个ω,使得f(ω)=ε(ω)-ε1=0,得到尽可能大的能量系数和最终的拟合曲线。输出:控制顶点{Pi}ni=0。

2 实验结果与分析

实验平台的操作系统为Windows 10，测试工具为MATLAB R2017b。运用MATLAB提取一些图像模型的边缘轮廓，获得9个测试数据集。在计算机辅助几何造型技术中，三次B样条曲线的应用广泛，故本文采用三次B样条曲线进行实验。分别使用LSPIA算法和本文提出的带能量LSPIA算法进行拟合，得到相同拟合误差精度下的拟合曲线能量如表1所示。