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解答解析几何问题的几个“妙招”

2022-11-30林毓琴

语数外学习·高中版上旬 2022年9期
关键词:妙招消元一元二次方程

林毓琴

仔细研究可以发现,解析几何问题通常具有以下几个特点:(1)解题过程中的运算量较大;(2)选择题和填空题侧重于考查抛物线、椭网、双曲线的定义和几何性质,解答题侧重于考查直线与椭圆、抛物线、双曲线的位置关系;(3)可从代数和几何两个角度人手,寻找解题的思路.在解答解析几何问题时,我们要抓住解析几何问题的特点,选用一些技巧来简化运算,提升解题的效率.

一、巧用定义

在解答与圆锥曲线定义有关的问题时,要将问题中的动点、定点、定直线与圆锥曲线上的点、焦点、准线等关联起来,根据网锥曲线的定义来建立关于动点的关系式,求得各个参数a、b、c、p、r的值,便可求得動点的轨迹方程或焦半径的长.

已知条件中涉及了双曲线的两个焦半径AF1、AF2,于是联想到双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F21|的点的轨迹,据此建立关于AF1、AF2的关系式,即可解题,运用圆锥曲线的定义来解题,能快速建立起焦点弦、参数之间的联系,起到简化运算的效果.

二、数形结合

在解答解析几何问题时,根据题意画出相应的曲线、直线,并将数量关系转化为几何关系,这样把数形结合起来,可使问题变得更加直观,便于分析.运用数形结合法解题,关键是画出相应的平面几何图形,灵活运用平面几何知识,如三角形、网、平行四边形、梯形的性质来求解.

根据题目中所给的条件,作出相应的平面几何图形,将题目中的数量关系转化为几何关系,便可将数形结合起来,通过合理添加辅助线,构造出直角三角形,根据直角三角形的性质和勾股定理就能求得直线AB的斜率.

三、设而不求

设而不求是指设出相关的参数,但不求出参数的具体值,得到直线的方程、曲线的方程、点的坐标等,将其代人题设中进行运算,最后通过消元求得问题的答案.利用设而不求法解答解析几何问题,只需设出相关的参数,根据题意建立关系式,合理进行整体代换、消元即可.

本题中涉及的参数较多,有直线的斜率、截距,M、N点的坐标,为了快速建立参数之间的关系,列出关系式,需采用舍而不求法,设出各个参数,将其代人题设中,根据韦达定理、直线的斜率公式进行列式,通过恒等变换、消元,求得定值.

四、构造方程

解析几何中的每一种曲线都有其对应的方程,因而在解答解析几何问题时,要重点研究曲线、直线的方程,将其进行联立,通过解方程求得相关点的坐标,通过消元,构造一元二次方程,利用一元二次方程的根的判别式、韦达定理来解题.

解法一、解法二是通过联立直线与椭网的方程,构造一元二次方程,利用韦达定理和直线的斜率公式来求得问题的答案.解法三主要是通过联立方程,构造方程组,通过解方程组求得点B的坐标,从而求得直线AB的斜率.相较于解法一、解法二,解法三较为简单、便捷.

除了以上技巧,解答解析几何问题的技巧还有巧引参数、构造向量、取极值等.在解题时,灵活运用这些技巧,不仅可以简化运算,优化解题的过程,还能节约时间,提升解题的效率.

本文系莆田市教育科学“十四五”规划2021年度立项研究课题《基于核心素养的高中数学探究性学习实践与研究》研究成果(PTKYKT21169)

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