解答解析几何问题的几个“妙招”

林毓琴

仔细研究可以发现，解析几何问题通常具有以下几个特点：（1）解题过程中的运算量较大；（2）选择题和填空题侧重于考查抛物线、椭网、双曲线的定义和几何性质，解答题侧重于考查直线与椭圆、抛物线、双曲线的位置关系；（3）可从代数和几何两个角度人手，寻找解题的思路．在解答解析几何问题时，我们要抓住解析几何问题的特点，选用一些技巧来简化运算，提升解题的效率．

一、巧用定义

在解答与圆锥曲线定义有关的问题时，要将问题中的动点、定点、定直线与圆锥曲线上的点、焦点、准线等关联起来，根据网锥曲线的定义来建立关于动点的关系式，求得各个参数a、b、c、p、r的值，便可求得動点的轨迹方程或焦半径的长．

已知条件中涉及了双曲线的两个焦半径AF1、AF2，于是联想到双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F21|的点的轨迹，据此建立关于AF1、AF2的关系式，即可解题，运用圆锥曲线的定义来解题，能快速建立起焦点弦、参数之间的联系，起到简化运算的效果．

二、数形结合

在解答解析几何问题时，根据题意画出相应的曲线、直线，并将数量关系转化为几何关系，这样把数形结合起来，可使问题变得更加直观，便于分析．运用数形结合法解题，关键是画出相应的平面几何图形，灵活运用平面几何知识，如三角形、网、平行四边形、梯形的性质来求解．

根据题目中所给的条件，作出相应的平面几何图形，将题目中的数量关系转化为几何关系，便可将数形结合起来，通过合理添加辅助线，构造出直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理就能求得直线AB的斜率．

三、设而不求

设而不求是指设出相关的参数，但不求出参数的具体值，得到直线的方程、曲线的方程、点的坐标等，将其代人题设中进行运算，最后通过消元求得问题的答案．利用设而不求法解答解析几何问题，只需设出相关的参数，根据题意建立关系式，合理进行整体代换、消元即可．

本题中涉及的参数较多，有直线的斜率、截距，M、N点的坐标，为了快速建立参数之间的关系，列出关系式，需采用舍而不求法，设出各个参数，将其代人题设中，根据韦达定理、直线的斜率公式进行列式，通过恒等变换、消元，求得定值．

四、构造方程

解析几何中的每一种曲线都有其对应的方程，因而在解答解析几何问题时，要重点研究曲线、直线的方程，将其进行联立，通过解方程求得相关点的坐标，通过消元，构造一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式、韦达定理来解题．

解法一、解法二是通过联立直线与椭网的方程，构造一元二次方程，利用韦达定理和直线的斜率公式来求得问题的答案．解法三主要是通过联立方程，构造方程组，通过解方程组求得点B的坐标，从而求得直线AB的斜率．相较于解法一、解法二，解法三较为简单、便捷．

除了以上技巧，解答解析几何问题的技巧还有巧引参数、构造向量、取极值等．在解题时，灵活运用这些技巧，不仅可以简化运算，优化解题的过程，还能节约时间，提升解题的效率．

本文系莆田市教育科学“十四五”规划2021年度立项研究课题《基于核心素养的高中数学探究性学习实践与研究》研究成果（PTKYKT21169）