对2021年高考数学试题综合难度的比较研究——基于AHP 理论的试卷综合难度模型

黄一钊，潘继斌

(1.湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002；2.十堰市第一中学，湖北 十堰 442000)

1 问题提出

高考试卷命题改革对基础教育有导向作用，受到国家高度重视。2014年9月印发的《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》标志着新一轮考试招生制度改革的全面启动[1]，2019年6月发布的《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》强调试题难度的设置要科学合理，符合课标与学生实际情况[2]。2019年发布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲》总纲也明确提出高考应具有适当的难度[3]。

教育部考试中心在高考数学命题上坚持改革创新，提倡不分文理科，试题的形式继续采用了多选题型和开放题型，内容上逐渐增加了结合现实情境、数学文化的新题目。2021年的高考有七个省份使用了不区分文理试卷的全国新课标Ⅰ卷，将全国Ⅰ卷、Ⅱ卷进行合并，统称为全国乙卷，全国Ⅲ卷改为全国甲卷。

在高考数学试题命题的改革变化背景下，有必要分析其综合难度变化，对试卷做出定量分析与定性探索，准确地评估试卷的质量，帮助数学老师改进教学，也给学生和家长一些启示与导向。

本文研究基于AHP 理论的数学高考试题综合难度模型[4]，对 2021年的全国数学甲卷文科、理科、新课标Ⅰ卷进行了科学的统计和分析。

2 研究工具

2.1 难度模型研究

Nohara在2001年提出了一份数学试卷的难度模型的报告[5]。在经过近二十年国内比较研究的发展后，鲍建生提出的用于评价数学习题、教材与课程难度的综合难度系数模型成为国内许多模型的基础。武小鹏等人结合高考试题特点，对综合难度模型做出了改进，加入思维方向、有无参数两个因素[6]。而后张玉环在此基础上增加了梯度用于针对解答题中的相互关联情况，最终形成了更适合高考数学考题，同时也更契合数学学科核心素养的难度系数模型。本文使用的难度模型中包含八个维度，认知、背景、推理、运算、知识含量、是否含参数、思维方向和梯度，各因素不同水平由低到高进行赋值，具体见表1：

表1 基于高考数学试题的综合难度模型结构与内涵

文中使用鲍建生提出的难度系数模型公式，对表中的综合难度模型框架进行各因素加权平均值Di的计算，公式如下：

(1)

其中，Di(i=1,2,3,…,8)分别表示为上述的八个难度因素维度的加权平均值，dij表示为第i个难度因素的第j个水平的权重，n为题目的总数，nij表示为第n个题目中属于第i个难度因素的第j个水平题目的个数。

关于各难度因素在整个试题中所占的权重均值ki，根据最新的文献参考，采用专家和一线教师评分的方式，确定上述八个维度的权重分别对应为：

这样可以得到整张试卷的总综合难度系数模型D的公式：

(2)

2.2 研究对象

2021年教育部考试中心命制了四套试题，分别为区分历史方向和物理方向的全国甲卷、全国乙卷。以及不区分历史方向和物理方向的新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷。拟选用全国甲卷的历史方向、物理方向分卷和新高考Ⅰ卷作为研究对象。

2.3 编码方法

按照表2中综合难度系数模型不同水平的8个因素的描述对考题进行编码，编码示例如下。

表2 综合难度系数模型各因素权重

例(全国新高考Ⅰ卷第8题)

8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )

A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立

该题编码为运用水平 A2(将数学原理和概念运用到具体问题的解决中)。生活背景B2、无参数C1(题目涉及的计算都是静态的数值运算，没有涉及到数值的变化)、简单符号运算D3(有一定的公式推导及其变形)、E2复杂推理 (推理涉及复杂关系的解析和多种变化, 一般在 3 步以上)、单个知识点F2(相互独立事件的概率运算)、逆向思维G2(由概率运算结果反推导出是否为相互独立事件)、梯度H1(独立小题，无联系)

对全国高考Ⅰ卷文、理科和新高考Ⅰ卷试题编码后的原始数据进行汇总统计，并计算各分维度难度系数后得到表3：

表3 全国数学甲卷文科、理科Ⅰ卷试题综合统计

续表3

3 研究过程与结果

下面对三套试卷从难度模型的8个方面分别进行比较分析，将不同水平上的占比差异度指标按照差异小、差异中等、差异大三类进行分组，最后对三者的综合难度系数作出比较。其中折线图的横轴表示认知因素的不同水平，纵轴表示三套试卷在不同水平上的占比。

3.1 三套试卷差异小的维度

图1～4可以直观看出，在背景因素、思维方向、是否含参数和问题梯度四个维度上，三套试卷的设置基本一致，在背景因素和思维方向上，三套试卷均为无背景的题目多于有生活背景的题目；顺向思维的题目多于逆向思维的题目。

图1 背景因素不同水平变化折线对比

图2 思维方向因素不同水平变化折线对比

需要注意的是，在是否含参数方面，近几年来，高考含参数的题目所占的比例越来越高，题目的总体难度在加大；在问题梯度方面，新高考Ⅰ卷试题的第十六题中，设置了互有联系的前后两个小问，使得新高考Ⅰ卷试题的梯度水平更高，这也给高中的学生提出了更高的要求。

图3 是否含参因素不同水平变化折线对比

图4 问题梯度因素不同水平变化折线对比

3.2 三套试卷差异中等的维度

由图5～6可知，在认知水平与推理能力两个维度上，三套试卷的设置出现了一定差异。具体来看，在认知水平上，全国甲卷理科试题在分析的层次显著高于另外两套试卷，这一定程度上也反映出文理试卷难度上的差异性；在推理能力方面，高考Ⅰ卷和全国甲卷理科的简单推理和复杂推理水平的题目数量都基本一致，而全国甲卷文科的简单推理水平题目较多，复杂推理水平题目较少，展现出其较低的难度。

图5 推理能力因素不同水平变化折线对比

图6 认知水平因素不同水平变化折线对比

3.3 三套试卷差异大的维度

由图7～8可知，在运算水平与知识含量两个维度上，三套试卷呈现出较大的差异。

在运算水平维度上，在四种运算水平均有涉及的情况下，全国甲卷理科试题和新高考Ⅰ卷试题的运算难度明显高于全国甲卷文科。在学生较难掌握的符号运算方面，文科卷的试题量要少于另外两套试卷。而新高考Ⅰ卷的试题中，复杂数值运算的题目比全国甲卷理科试题要多，复杂符号运算水平的题目又相对较少，说明新高考试题更加侧重于中等难度的运算水平试题。

图7 知识含量因素不同水平变化折线对比

图8 运算水平因素不同水平变化折线对比

在知识含量维度上，单个知识点的试题数量中，全国甲卷文科试题最多，而新高考的试题最低。但在含有两个知识点的题目数量上，新高考试题远远多于另外两套试卷，达到了全卷59.1%的题量。在含有三个及三个以上知识点的题目数量上，新高考试卷又回落到和全国甲卷文科相同的比例上，低于全国甲卷理科。

3.4 各因素综合难度分析

在得到分维度的难度系数表后，再利用上述研究获得的权重系数，将编码数据带入公式(1)，即可达到各个因素的难度系数，由此绘制出图9：

图9 三套高考数学试题不同因素综合难度系数雷达图

该雷达图反映出三套试卷的难度差异主要集中体现在认知水平、运算水平和知识含量上。从图中也能看出，新高考Ⅰ卷更加倾向于中等难度的题目。

根据上文中已有研究建立的权重系数和公式(2)，我们可以最终算出全国甲卷理科的综合难度系数为D1=17.486,全国甲卷文科的综合难度系数为D2=16.361,新高考Ⅰ卷的综合难度系数为D3=17.241.新高考Ⅰ卷的难度介于文理科试卷之间，满足同时考虑到历史方向考生和物理方向考生的要求，也符合我们对2021年高考数学的难度认知。

4 研究结论与建议

4.1 研究结论

在综合难度方面，高考的难度变化平稳，考察内容全面。新高考Ⅰ卷在题量和题型未做出大量改变的前提下，将试卷的综合难度控制在介于全国甲卷文理科试卷之间，同时照顾到了历史和物理方向上的考生，为将来的高考试题难度提供了锚点。试卷在考察范围上并未做出大量改变，内容紧扣高中课标，分布均匀，既考察全面又能考虑到重难点的内容，在考察内容上依旧具有全面性。

同时，新高考更注重基础知识的考察。根据分维度的难度分析，新高考Ⅰ卷的中档题型的比例达到了新高。无论是知识含量、认知水平还是运算水平，试卷都呈现出“中间大，两头小”的纺锤型模式。这也说明新高考中更加注重基础知识的考察，不出偏难怪题，检验学生的上课听讲与课后复习工作。

最后，高考注重题目的系统性与综合性。数学学科具有所有学科中最深刻的内在联系，具有极为严谨的系统性。在数学试题的考察中，问题之间前后具有横向和纵向联系的情况将会越来越多见。尤其是在解答题中，对知识点进行综合性的考察，使得每一道解答题都达到了认知与运算的最高水平，让高水平的学生能一窥到数学学科之美。

4.2 建议

随着高中数学课程改革的推进，高考改革也得到了深化．《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》指出：高考应依据高校人才选拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性、综合性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力[7]。

为使命题者、教师与学生能更准确的把握试卷难度，基于以上的高考试题研究结论，通过分析可以得出高考试题的几点变化方向。

首先，试题将考察学生数学核心素养，拓宽学生思维。近年来的高考数学试题频繁出现新题型、开放式题型，这样的试题能够拓展学生的思维过程，激发学生的创新意识，帮助学生用数学的思维方式观察与思考，这体现了数学的核心素养。

其次，试题具有全面性，适合每一位学生的水平。新高考的试题更加着重于基础知识与中等难度的题目，对于学生而言，这意味着每一个层次的学生都能在高考试题中找到自己对应的能力水平，同时找到对应的下一层次的目标。

最后，试题的难度平稳变化，将来可能更加注重区分度。在新高考大范围实施的第一年，为了同时照顾到了历史和物理方向上的考生，新高考试题的综合难度最终确定于全国甲卷的文理科之间。在未来，高考试题的综合难度将稳中有升，更加具有区分度。

A comparative study on the comprehensive difficulty of 2021 college entrance examination math questions
——Comprehensive difficulty model of test thesis based on AHP theory

HUANG Yi-Zhao1,2，PAN Ji-bin1