关注思维发展梯度 促进学习能力提升——以“函数概念”教学为例

李泳霖

广西壮族自治区玉林市北流中学 537499

众所周知，学生现有知识水平往往是下一个阶段即将要到达的认知水平发展的基础，学生现有知识水平与潜在的发展水平会存在着一定的差异，这个差异往往就需要学生站在“已有认知”水平上“跳一跳”才能到达，然因学生“已有认知”水平不同，加上“跳一跳”的高度不同，因此学生的认知发展水平也会存在一定的差异.教学中要客观地认识潜在的发展水平，科学地引导学生“跳一跳”，进而使学生的认知结构和思维发展水平得以逐渐完善和发展.

为了探究最近发展区的价值，笔者以“函数概念”教学为例，通过探究最近发展区在教学中的具体作用，逐渐培养和完善学生的已有认知，促进学生学习能力不断提升.

学情分析

对于函数学生并不陌生，在初中阶段学生已经学习并掌握了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数的图像及性质，重点掌握了变量之间的变化规律.虽然初中与高中定义函数的角度不同，然初中对函数的定义和数形结合思想为学生在高中理解函数定义中的一一对应的关系奠定了基础.之所以分为两个阶段进行定义，依据的就是学生的最近发展区：初中阶段，学生的逻辑思维能力较弱，对于抽象概念的理解还处于初期的经验型；高中阶段，学生的认知水平、概括能力、思维能力都有大幅度提升，更能掌握抽象概念的本质.可见，教材的编排设计遵循着最近发展区理论.值得注意的是，刚步入高中，受初中学习模式和思维方式的影响，学生思考问题时依然习惯从具体运算或具体问题出发.比如，学生看待函数时还是会从函数的特点出发，将其看成具体的函数，而没有将其看成一般函数y=f（x）.同时，大部分学生不习惯用抽象的数学符号来理解问题，因此他们常将抽象字母赋予特殊值，将问题向特殊转化，在特殊中推测出一般规律.

鉴于学生的认知水平和思维特点，教师在概念教学中可以创设一些问题或制造一些认知冲突，让学生发现很多问题不能用特殊化的方法来解决，也不能用初中对函数的定义进行解释，以此引导学生“跳一跳”，重新解读函数的概念.

确定目标

通过旧知回顾唤醒原有认知，借助认知冲突引发学生对新概念探究的热情，引导学生在互动交流中不断完善认知，通过解决最近发展区问题发展学生的数学思维.同时，教学中从概念产生的背景出发，让学生体验概念形成的过程，进而学会用抽象的语言或符号进行归纳和总结，让学生在不断探究和完善的过程中感受数学的抽象美.

教学过程

1.旧知回顾

师：请同学们回忆一下，初中阶段我们学习了哪几个函数？是如何定义函数的？

函数的相关知识是初中学习的重点内容，学生印象深刻，问题回答毫不费力.教师以旧知为引线，唤醒学生的已有认知，掌握学生现有认识水平以便确定下一个发展目标.

师：大家都说得很好，初中的基础都很扎实.大家分析一下表1中的几个变化过程是不是函数.

学生根据函数定义首先判断变化过程中的变量个数，寻找变量在变化时，y与x的对应关系.表1中的变化过程学生并不陌生，此阶段教师让学生先独立思考，然后进行组内交流，最终得出前面3个是函数，后面2个不是函数.

教师通过预设以上问题不仅让学生回顾了旧知，也为接下来创设认知冲突做好了铺垫，以便学生在现有认知上可以“跳一跳”，深入了解函数的概念.

2.引发冲突

师：本节课要学习的重点内容是函数的概念.（很多学生投来了疑惑的眼神）

师：确实，初中已经学过，也能熟练应用，为什么高中还要学呢？（教师以设问的方式激发学生想一探究竟的热情）

师：现在大家分析一下下面几个式子，看看他们是不是函数.

（1）y=2；

（2）y=2x+3，x∈｛1，2，4，8，16｝.

从学生现有发展水平来看，学生对函数的理解为“变量x按照一定的规律变化而得到变量y”，学生认为y=x，y=，y=ax2+bx+c这样的，y随x变化而变化的才是函数.对于以上式子用已有认知中的“变量说”来判断它们显然不是函数，那么新概念中的函数是否有变化呢？是否可以将以上式子归结为函数呢？这样通过创设认知冲突和心理冲突，引导学生积极思考，进而冲破已有认知的束缚，从一个新的角度重新认识函数，在学生的最近发展区完成新知的建构.

3.形成新知

在初中学习函数概念时，单纯从变化的观点去描述，强调的是变量和变域，并未揭示函数的实质，因此，高中阶段需变“特殊”为“一般”，从新的角度出发，准确地刻画函数的实质.

师：请大家从集合的角度去思考表1中的①、②、③，看看它们有什么共同的特征.（从集合的角度去思考会使部分学生产生一定的困扰，因此教师让学生进行合作探究，通过合作交流、集思广益从新角度重新出发）

生1：此过程中形成了两个非空数集A，B.

师：很好，还有什么其他发现？

生2：集合A中的每一个元素x，在集合B中都可以找到唯一对应的元素y.

师：若将变化过程看成对应法则f，请大家从集合的角度重新定义一下函数.（因概念较为抽象，需要在教师的引导下，通过积极讨论，抽象概括出新概念）

生3：一般地，设集合A，B为非空集合，若集合A中的每一个元素x，按照某种对应法则f进行变化，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数.

师：总结得非常好.那么这种对应关系记为y=f（x），x∈A，所有输入的值x组成的集合叫做y=f（x）的定义域；所有输出的值y组成的集合C（C⊂B）叫做函数y=f（x）的值域.（教师进行及时补充）

在生3的基础上教师及时进行了补充，从而使概念更加完整.此过程虽然有教师的引导，然教师提出问题及后期学生的探究活动都是在学生现有发现水平上推进的，因此新知的探究显得自然流畅，学生参与的积极性较高，很快由“变量说”转化为“集合说”，使学生对函数的认知更加全面、具体.

4.深化理解

虽然学生全程参与了新概念概括和抽象过程，然教师若对概念的关键要素不进行提取，学生对概念的理解可能依然无法深入.

师：请根据函数的定义思考一下，构成函数需要哪几个必备的条件呢？（教师用PPT展示概念，让学生更加清晰完整地重新认识概念）

生4：两个集合必须“非空”.

生5：还有两个关键词——“每一个”“唯一”.

学生对“每一个”和“唯一”的理解是形成概念的基础，教师在此环节应仔细讲解，进而让学生深入理解“定义域”和“值域”.

师：现在大家再来判断之前给出的y=2和y=2x+3是不是函数.

应用新概念，学生可以轻松地判断出两个式子都是函数，可见，新知已经得到了内化.为了探究函数的核心，教师又做了如下引导：

师：根据新概念，函数由哪几部分构成？

在问题的引导下，学生根据概念总结出了构成函数的三要素.为了让学生深入理解函数的三要素，教师可以设计一些具体实例，如将函数y=30x（x≥0）和y=x2（x∈R）相对比，让学生体会对应法则；让学生思考f（x）=x与g（x）=（）2是否为同一函数，引导学生知晓定义域的价值，对于值域主要取决于定义域和对应法则，故两者相同其值域必然相同；为了消除字母的干扰，可引导学生分析f（x）=x与g（t）=是否为同一函数，显然两个函数的定义域和对应法则相同，故可直接判断其为同一函数，由此让学生跳出函数变量为x，y的固定思维模式的束缚，以便更加全面地理解函数概念.

5.练习及反思

练习是巩固、检测知识的必经之路，教师可设计一些分层练习，同时在练习时预设一些“陷阱”，进而帮助学生进一步完成知识的内化.同时，学习中要关注反思，例如函数概念教学中，让学生进行初中、高中函数概念的对比反思，总结和归纳出两者的区别与联系；让学生反思函数概念的三要素，理清三要素的关系，进而使学生可以更加深入地理解函数概念，便于完成最近发展区知识体系的建构.

总之，教学中不要急于求成，要坚持以学生为主体，从学生的现有认知水平出发，通过“冲突”“抽象”“反思”等思维活动，引导学生在最近发展区“跳一跳”，进而不断提升学生的学习能力.