追溯数列的函数之源

蒋晓东

北京市朝阳区教育研究中心 100021

追溯数列本源

数列其实是一个很古老的话题，在人类文明诞生最早的四大文明古国——中国、巴比伦、古希腊、古印度的历史文献中都有着对数列的记载.数列的产生源于人类生产生活的需要，当人类的祖先想用一组数按照一定顺序记录某种变化过程或表示某一类事物时，数列就产生了.

古往今来，无论东方还是西方，数列始终是数学研究的重要问题之一，教科书上说数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，现在用记号an来表示数列的第n项，那么数列一直以来就被视为特殊的函数吗？记号an又是怎么来的呢？

在19世纪末，美国宾夕法尼亚大学的数学家费歇尔（G.E.Fisher，1863—1920）等在《代数基础》中首次采用了带有下标的记号［1］，将数列表示为a1，a2，a3，…，an，将等差数列的通项公式和求和公式分别写成an=a1+（n－1）d，Sn=n（n－1）d，等比数列的通项公式和求和公式分别写成

事实上，在欧拉给出函数解析式定义并引入函数记号后的漫长时间里，函数并非数学教科书中的核心概念，而数列却始终是代数教科书的重要内容之一，数列与函数风马牛不相及.到了20世纪，函数概念成了中学数学课程核心概念后，数列才逐渐被视为特殊的函数.只是当数列被视为函数后，数列通项的符号才应运而生.

揭示函数特征

《普通高中数学课程标准（2017年版）》把数列作为函数主题的内容之一，指出：数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用.因为数列是按一定顺序排列的一列数，是定义在正整数集或其子集上的特殊函数，因此处理数列的函数特征——单调性问题时，可以考察数列前后两项的关系，也可以通过构造函数来处理.

1.数列的单调性及最值问题

（1）递增数列的定义：如果数列｛an｝满足an＜an+1，那么称数列｛an｝为递增数列；

（2）递减数列的定义：如果数列｛an｝满足an＞an+1，那么称数列｛an｝为递减数列.

数列作为特殊的函数，其单调性的判断与研究也是特别的，只需要研究相邻两项之间的关系即可.解决数列的单调性问题可用以下三种方法：其一，用作差比较法，根据an+1-an的符号判断数列｛an｝是递增数列、递减数列或是常数列；其二，用作商比较法，根据与1的大小关系及an的符号进行判断；其三，结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件.

例1已知数列｛an｝的通项公式是an=，试判断｛an｝的单调性.

分析：本题考查前后两项的大小关系，可用作商比较法.

点评：数列单调性问题的刻画方式：①考查前后两项的大小关系，本题用的是作商比较法；②构造函数，利用函数的单调性.

例2已知数列｛an｝的通项公式是an=n2+kn+2，且数列｛an｝是递增数列.求实数k的取值范围.

分析：本题考查前后两项的大小关系，可用作差比较法，也可用函数的单调性.

解法1：因为数列｛an｝是递增数列，所以an+1-an＞0.于是an+1-an=（n+1）2+k（n+1）+2-（n2+kn+2）=2n+1+k＞0.取n=1，得k＞-3.

解法2：构造函数f（x）=x2+kx+2.因为数列｛an｝是递增数列，所以函数f（x）在［1，+∞）上递增.由二次函数的顶点知-，所以k＞-3.

点评：例1用的是作商比较法，而例2用的则是作差比较法.本题容易产生的错解：构造函数f（x）=x2+kx+2，由数列｛an｝是递增数列得函数f（x）在［1，+∞）上递增，得出-k≤1，解得k≥-2.事实上，只需-即可.

例3已知数列｛an｝的通项公式是an=，则它的前n项中最大的项是第几项？最小的项是第几项？

分析：要判定数列项的最大值和最小值，可以先判定数列的变化规律，再根据数列的变化规律考虑数列的最大项和最小项.因为数列和函数有很多可以相通的地方，所以数列问题可以借助函数进行解决，但数列并不等同于函数，因此要注意二者的区别.若从函数角度解决问题，则需要将数列问题抽象为函数问题，利用函数的图像和性质进行解题.

2.可表示为an+1=f（an）形式的递推数列的单调性

定理1：设an+1=f（an），若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增，对于任意an∈D.

（1）当a1＜a2时，数列｛an｝单调递增；

（2）当a1＞a2时，数列｛an｝单调递减.

此处用数学归纳法来探究：

假设当n=k时，ak+1＞ak成立，由于y=f（x）单调递增，可得f（ak+1）＞f（ak），即ak+2＞ak+1；

假设当n=k时，ak+1＜ak成立，由于y=f（x）单调递增，可得f（ak+1）＜f（ak），即ak+2＜ak+1.

这说明数列的单调性取决于数列的前两项a1，a2的大小关系，所以，当a1＜a2时，数列｛an｝单调递增；当a1＞a2时，数列｛an｝单调递减.

定理2：设an+1=f（an），若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递减，对于任意an∈D.

（1）当a1≠a2时，数列｛an｝为摆动数列；

（2）当a1＜a3时，数列｛a2n-1｝单调递增，｛a2n｝单调递减；

（3）当a1＞a3时，数列｛a2n-1｝单调递减，｛a2n｝单调递增.

证明：（1）当a1＜a2时，由于y=f（x）单调递减，所以f（a1）＞f（a2），即a2＞a3.所以数列｛an｝为摆动数列.同理，当a1＞a2时，数列｛an｝为摆动数列.因此，当a1≠a2时，数列｛an｝为摆动数列.

（2）当a1＜a3时，由f（a1）＞f（a3）知a2＞a4，由于y=f（x）的定义域和值域均为D，由复合函数的单调性知函数f（f（x））在D上单调递增，所以f（f（a1））＜f（f（a3）），即a3＜a5.又f（a3）＞f（a5），即a4＞a6.由数学归纳法易证数列｛a2n-1｝单调递增，数列｛a2n｝单调递减.

（3）当a1＞a3时，a2＜a4，同（2）可证得数列｛a2n-1｝单调递减，数列｛a2n｝单调递增.

点评：要注意条件y=f（x）在某指定连续区间D上单调，且任意an∈D，必须保证数列｛an｝各项范围的一致性，才能保证数列的单调性.

古往今来，数学的发展和人类物质文明和精神文明的发展交融在一起，基于数学文化背景下的数学学习，可以使学生在学习数学知识、思想方法的基础上进一步从科学的视角认识生活、认识国家、认识世界，有利于学生形成正确的世界观和人生观.教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，激发学生的数学学习兴趣，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养.