借助错误资源 优化数学教学

王娟

江苏省海门中学 226100

学习是一个动态发展、不断变化的过程，难免会出现各种意想不到的错误.化弊为利、变废为宝，将错误看成上好的教学资源，能有效地培养学生的归因能力，课堂也会因错误的参与而更具生命力［1］.这就要求教师要有过硬的业务水平与良好的应变能力，将错就错，引导学生学会从错题中进行归纳、总结、提炼，提高学习能力的同时提升核心素养.

借助错题，引发探究

错误与学习相伴相生，是具有教育意义的重要资源.作为教师，该如何紧扣错误产生的契机，引导学生挖掘错误产生的根源，产生探究行为？实践证明，教师不仅要拥有一双善于发现的慧眼，还要拥有灵活的应变能力，能将错题开发成教学资源，引发学生自主探究，使得错误成为促进学生各项能力成长的一味良药.

有些错误是可以预见的.备课时，教师可以将能预见的错误标注出来，并重点讲解，让学生在思辨中进行观察、比较，从而产生感悟.教师也可以将能预见的错误有意识地设计到教学活动中，让学生在思维陷阱的诱惑下，进行比较、思考、探究与辨析，从而发现并修正错误，牢固认知［2］.

当然，学生遇到更多的是考试过程中出现的错误.为了引发学生自主探究，教师可以展示学生不同的解题过程，让学生在自主分析与比较中探索、修正解题思路，完善认知.

例1已知定义域为R的函数f（x）=为一个奇函数，求a的值.

错误预见：大部分学生看到本题时，基本会从这个角度进行思考：因为f（x）于R 上是奇函数，所以f（－x）=－f（x），即接下来就是化简，不少学生到这一步就无法继续往下，因而导致解题失败.

为了避免此类问题的发生，教师可在学生尝试失败的基础上，给予一定的点拨，引导学生从特殊值求参数的方法着手进行分析，具体解题过程如下：

因为f（x）于R 上是奇函数，所以f（－1）=－f（1），得a=2.经过检验，当a=2时，f（－x）=－f（x）与题意相符.

显然，用特殊值求参数的方法不仅思路清晰，而且过程简单，不容易出现失误.从理论上来讲，以上两种解题思路均可行，但从解题技巧的角度来看，应用特殊的数学思想解决本题，显然更具优势.由此可见，当教师预见错误时，或在错误发生后，应对错误发生的原因引导学生进行剖析，可为探究、优化解题思路奠定基础.

巧用错题，深化理解

数学学习的目的不在于会解题，而在于对数学思想方法的掌握.教学过程并非一个遵照指令实施程序化工作的流程，而是不断建构知识经验的过程.这要求学生摒弃模仿与复制的学习行为，而是在接纳、创新中不断自主建构认知结构.数学教学的重点在于引导学生自主发现并“创造”知识，而非注入式灌输知识.面对学生的错题，教师可巧妙地化错题为再创造的资源，让学生再次回顾并理解相关的知识.

例2已知点A（－1，1），点O为坐标原点，如果点M（x，y）是平面区域上的动点，求的取值范围.

本题是刚授完线性规划后做的一道练习，对于这种新的目标函数，学生还处于较陌生的状态，因此本题的错误率较高.笔者在讲评此题时，先与学生共同探讨了本题的求解方法，此时学生恍然大悟——其实只是目标函数的形式稍微复杂了一些，化简后发现，其即求“-x+y”的取值范围.

为了深化学生对知识的理解，训练学生举一反三的能力，笔者鼓励学生在本题的基础上，以小组为单位改编本题，看看哪组学生改编得最好，能难倒其他小组的同学.这个建议立即激起了学生的好胜心，各个小组成员自发地进行合作学习，都希望自己小组能改编出好的问题，获得胜利.

此时，课堂教学氛围尤为和谐，学生一个个绞尽脑汁地提出有新意的问题，以难倒其他同学.此过程也是学生巩固基础知识、深化理解知识的过程，真可谓是一举两得.若教师能巧妙地应用学生的错误，不仅能激活课堂，还能实现学生对知识的再创造，课堂在学生自主纠错、探索与创新中获得新生.

随着编题与解题活动的开展，每个学生都收获满满.这种教学方式，既没有全盘否定学生的错误，保全了他们的自尊心，又有效地利用了错误资源，深化了学生对知识的理解，同时还锻炼了学生的表达能力、沟通能力以及思维能力等，有效地实现了“在做中学”的教育理念.

利用错题，引发感悟

心理学家盖耶曾经说过：“不允许学生犯错，会让学生错过重要的学习时刻.”错误与学习相伴相生，可以利用错题来引发学生对学习的感悟，让错题成为教育的契机，课堂也会因为错题的利用而更加丰富.当学生出现错误时，教师不用焦虑，更不需要急于求成，万万不可将正确答案直接灌输给学生，而应想尽一切办法，开发错题的教学功能，引导学生在错题的探索与思考中，获得新的学习感悟.

例3在△ABC中，已知∠B=2∠A，.（1）求cosA的值；（2）求c的值.

为了暴露学生的解题思路，求解本题时，笔者让两位学生到黑板上书写解题过程.两位学生解答问题（2）时，呈现出了不一样的结果.

生1：根据余弦定理a2=b2-2bccosA+c2，可得c2-8c+15=0，解得c=3或5.

生2：根据余弦定理b2=a2-2accosB+c2，cosB=cos2A=，所以c2-2c-15=0，解得c=-3或5（舍掉c=-3）.

本题是一道基础题，两种相似的解题方法，却呈现出了不一样的结论，这让所有的学生都感到很奇怪.当所有的学生都为这两个答案感到困惑时，笔者并没有着急呈现出正确答案，而是鼓励学生来做评委，评判一下到底哪种结论是正确的.对于这个提议，燃起了所有学生探究的兴趣，学生以各种方式进行了验证，具体有：

验证1：当c=3时，a=c=3，所以∠B=2∠A=2∠C，所以∠A=∠C=45°，由此可确定∠B=90°，此时b2=a2+c2=18，这与b2=24是矛盾的，因此c=3是错误的.

验证3：与验证2 同理可得cosC=-cos（A+B）=，根据余弦定理c2=a2-2abcosC+b2，可得c2=25，所以c=5或-5（舍掉c=-5）.

无须教师过多讲解与引导，学生通过自己演示、讨论与验证，就能领悟正弦、余弦定理的内涵及运用，虽然此过程耗时不少，但达到的教学成效也是有目共睹的.

在与学生的沟通中，笔者作了以下引导与点拨：一是明确指出问题（2）绝不可能出现两个解，原因在于解得cosA=后，确定∠A是唯一的，由此也可以确定∠B，∠C是唯一的，根据a=3，b=可以确定该三角形的唯一性；二是在解三角形的问题中，检验是必不可少的环节之一；三是本题出现了增根，是因为求解问题（1）时，用到的条件sinB=sin2A与题设条件并非充要关系，该式包含了两种可能，即∠B+2∠A=π或∠B=2∠A，这变相地扩大了问题范围，导致求解时出现了与题意不相符的结论.

通过以上点拨，学生不仅对本题产生了深刻理解，还达到了知其然并知其所以然的境界，这为知识的迁移、融会贯通以及举一反三奠定了基础.学生通过本题的解答，深刻感悟到：不论试题多么简单，解题时都不能掉以轻心，所有的解题步骤、检验环节缺一不可.

作为教师，面对学生出现的错误，不需要焦虑或急于将结果呈现给学生，而应给予学生充足的时间与空间，鼓励学生自主地从问题的不同角度去审视、分析，让学生在争论、辩驳中明白错误的根源，从而完善原有的认知结构.当然，此过程少不了教师适时的点拨，在弄清错误的来龙去脉后，关键性的提炼与总结会起到画龙点睛的作用.

总之，错误的产生本身就是一个大胆猜想与尝试的过程，其背后常隐藏着一定的数学思维与教学价值.因此，面对学生的错误，教师应放平心态，因势利导地处理各种错误，以激活并完善学生的认知.让错误成为教学的再生资源，使得学生的思维、情感态度与价值观等在“纠错”中得以发展，由此彰显出高中数学课堂的灵活性与生命力.