谈谈二项分布的判定及其概率公式的应用

何燕燕

二项分布是一种重要的分布，很多同学不能正确判断一个变量是否服从二项分布，自然也不能很好地利用二项分布的概念来解题.下面，我们来重点剖析二项分布的定义，并探讨一下判定一个变量是否服从二项分布的方法，以及利用二项分布的定义求解相关的概率问题.

一、二项分布的定义及概率公式

在n次独立重复试验中，若（1）每次试验都有两个相互对立的结果，分别为“成功”和“失败”；（2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1-p；（3）各次试验是相互独立的，用X表示n次试验中成功的次数，则X服从二项分布，简记为X?B（n，p）.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）.

对于这个定义和概率公式，我们要明确三点：

1.n次試验是独立重复试验，条件（3）说明了各个试验的独立性，条件（1）（2）说明了试验的重复性；

2.服从二项分布的变量是指n次独立重复试验中，事件“成功”的次数；

3.概率公式P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）中的Ckn是一个组合数，pk是k次成功的概率，（1-p）n-k是n-k次不成功的概率.由于k次成功和n-k次不成功相互独立且同时发生，所以pk（1-p）n-k表示k次成功n-k次不成功的概率.由于k次成功有Ckn种可能，所以任何一种可能发生的概率都是pk（1-p）n-k，因此在n次试验中，k次成功且n-k次不成功发生的概率是Ckn个pk（1-p）n-k相加，即Cknpk（1-p）n-k.

二、判断一个变量是否服从二项分布的方法

判断一个变量是不是服从二项分布，主要看三点：

1.各次试验中的事件是否相互独立，即试验是不是n次独立重复试验；

2.在每一次试验中，事件发生的概率是否相同.

3.在每一次试验中，试验的结果是否只有两个，即发生与不发生.

例1.女性患色盲的概率是0.25%，X为任取n个女人中患色盲的人数，请判断X是否服从二项分布.

分析：把检查n个女人是否患色盲看成是n次试验，每次试验检查一个女人，有两个结果：患色盲与不患色盲，可以分别看成“成功”和“失败”两种情况.检查色盲患者在每次试验中发生的概率都是0.25%，即“成功”的概率在每次试验中都是0.25%，“失败”的概率即不患色盲，在每次试验中发生的概率都是99.75%.在各次试验中，由于妇女不同，检查结果相互之间不影响，即各次试验是相互独立的.因此n次试验是独立重复试验.而X是n个女人中患色盲的人数，可以看成是n次试验中“成功”的次数，所以X服从二项分布，且是服从参数分别是n，0.25%的二项分布，记作X?B（n，0.25%）.

三、概率公式的应用

一些与二项分布有关的问题中要求根据实验的情况求概率.对于此类问题，我们需先根据二项分布的定义判断变量是否服从二项分布，然后根据二项分布的概率公式P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）进行求解.

例2.已知一批产品的次品率是0.12，从中任取5件，设X为5件中的次品数，求P（X=3）.

分析：把抽取5件产品看成是5次独立重复试验，每次所抽到的产品有两种情况：次品与不是次品，我们将是次品看作是“成功”，不是次品看作是“失败”.由题意可知，每次抽到次品的概率是0.12，即“成功”的概率是0.12，“失败”的概率是0.88，且各次试验的结果互不影响.用X表示5件产品中的次品数，即X代表5次试验中成功的次数，因此X服从二项分布，记作X?B（5，0.12）.根据二项分布的概率公式P（X=k）=Ck50.12k0.885-k（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=3）C350.1230.882==0.013381632.

在解答问题时，我们通常要先判断n次试验是否是独立重复试验，然后找到服从二项分布的变量.一般来说，在n次独立重复试验中，试验成功或不成功的次数都是服从二项分布的.设成功的次数为X，则X～B（n，p）；设失败的次数为Y，则Y～B（n，1-p）.要根据所求的概率是与成功有关，还是与失败有关，来确定服从二项分布的变量.

（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）