“多变的全等三角形”教学研究

邓筱涵

［摘 要］文章通过“多变的全等三角形”的课例展示，介绍如何运用一题多变进行变式设计，帮助学生找到分析数学、研究数学的方法，提高数学学习的趣味性，提升学生学习数学的信心。

［关键词］全等三角形；一题多变；学习动力

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2022）23-0004-03

“全等三角形的判定”是初中平面几何中的核心内容，是判断线段相等和角相等的重要依据，是研究几何图形不可或缺的工具。因此，学生熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用非常重要。初中阶段着重探究的两个平面图形的关系是全等与相似，而全等又是相似的一种特殊情况，所以能够灵活运用全等三角形的性质和判定方法，是学生掌握相似三角形的基础。

一、目标和目标分析

（一）目标

（1）使学生掌握全等三角形的性质和判定方法，能灵活运用全等三角形的性质和判定方法解决问题；

（2）让学生从基本图形入手，学会利用图形变换探究数学问题。

（二）目标分析

图形是多变的，教师在讲解图形知识时若仅设置大量问题让学生解决，然后就题论题进行讲解，往往会增加学生的压力，让学生在“题海”面前失去信心，进而导致学习动力减弱，而采用一题多变的方法能有效激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性。

二、教学重难点

（一）重点

能灵活运用全等三角形的性质和判定方法，通过图形变换加强数学变式的理解。

（二）难点

对全等三角形问题变式的理解。

三、教學过程

（一）复习提问，展示母题

问题1：如图1，[AB=AD]，[BC=CD]，[△ABC]和[△ADC]全等吗？为什么？图中有相等的角吗？为什么？

师生活动：学生通过独立思考回答问题，明确每一个解题步骤的理论依据；教师指导学生总结全等三角形的性质和判定方法，绘制相关思维导图（如图2），总结图形中通常隐含的条件——公共边、公共角、对顶角。

解：[△ABC]和[△ADC]全等，理由如下。

在[△ABC]和[△ADC]中，

[AB=AD，BC=CD，AC=AC，]

[∴△ABC?△ADC（SSS）]

[∴∠B=∠D]，[∠BAC=∠DAC]，[∠ACB=∠ACD]。

设计意图：利用本题回顾全等三角形的性质和判定方法，总结如何根据已知条件选择全等三角形的判定方法，为一题多变打下知识基础。

（二）一题多变，引入新课

问题2：将图3右边的三角形沿着[AC]边向上平移，得到一个新的图形，[AB=DE]，[BC=DF]，此时可以说明[△ABC]和[△DEF]全等吗？

学生很容易发现没有公共边，缺少一个条件，无法证明两个三角形全等，自然而然地想到需要添加条件。那么需要添加什么条件才能使这两个三角形全等呢？

分析：已知两边，找夹角或找第三边或找直角。本题可以添加夹角相等利用SAS判定全等，或者添加第三边相等利用SSS判定全等。因此，需添加[∠B=∠D]或[AC=EF]。

设计意图：通过平移变换，化静态为动态，使图形“动”起来，启发学生观察图形之间的联系，发现变化之后依然存在三角形全等的关系，从变中观察出不变。

问题3：将图1右边的三角形绕点[A]顺时针旋转，使一边落在[AB]上，如图4所示，此时[AB=AD]，添加什么条件，能使[△ABC]和[△ADE]全等？利用了哪些判定方法？

教师先让学生尽可能把自己想到的条件添加进来，再判断正误，最后引导学生从边和角两个角度分类讨论进行添加。

分析：隐含有公共角，属于“已知一边一角”的情况，可以通过添加一边或一角，注意边角的位置关系，利用SAS，AAS，ASA来证明。因此，需添加边[AC=AE]，或添加角[∠B=∠D]，或添加角[∠ACB=∠AED]。

设计意图：由平移变换变成旋转变换，启发学生从多个角度对图形进行变形，让学生观察图形变形之后什么变了、什么没变，让学生学会建立图形之间的联系，进一步拓宽学生的视野，培养学生一题多变的能力。

问题4：继续顺时针旋转三角形，使[∠CAD=∠EAB]，如图5，此时[AB=AD]，[AC=AE]，你可以证明[BC=DE]吗？

师生活动：学生观察问题3与问题4之间的区别与联系。

分析：题目间接考查全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质得到线段相等，利用全等来证明线段相等是比较常用的方法。在全等三角形判定的过程中由已知条件不是直接得到夹角相等，而是利用等式的性质，等式两边加上同一个角证明夹角相等，这也是常用的技巧。

证明：∵[∠CAD=∠EAB]，

∴[∠CAD+∠BAD=∠EAB+∠BAD]，

即[∠CAB=∠EAD]，

在[△ABC]和[△ADE]中，

[AB=AD，∠CAB=∠EAD，AC=AE，]

∴[△ABC?△ADE（SAS）]，

∴[BC=DE]。

设计意图：从问题3到问题4是从特殊到一般，从特殊到一般是研究客观事物和解决问题时常用的数学思想方法，它是通过研究特殊情况来求得一般情况下的结论。有些数学知识比较抽象，直接让学生掌握有一定难度，而从特殊情况入手，可使学生产生进一步探讨新知识的兴趣，进而达到教学目的。

问题5：如图6，继续顺时针旋转三角形，已知[∠DAE=∠BAC]，[AB=AD]，[AC=AE]，连接[BE]，[CD]，请问[BE]和[CD]有什么数量关系？

师生活动：学生书写证明过程，教师提醒几何解题的规范格式。

分析：问题5中隐含着两对全等三角形，引导学生找对全等三角形，即可解决问题。

解：[BE=CD]，理由如下。

∵[∠DAE=∠BAC]，

∴[∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD]，

即[∠CAD=∠EAB]，

在[△ABE]和[△ADC]中，

[AB=AD，∠EAB=∠CAD，AC=AE，]

[∴△ABE?△ADC（SAS）]，

[∴BE=CD]。

设计意图：通过图形的变换使学生感受一题可以多变，可以转化成新的题目，但万变不离其宗，解题的关键在于从复杂的图形中找出全等三角形。

（三）活动探究，合作领悟

问题6：通过上述活动，你们已经初步体会了有趣的一题多变、一图多变。你们是否可以把例题中的图形沿着[AC]边剪开分成两个三角形，把这两个三角形任意组合成一个新的图形，然后命题并解答？

预设得到的图形（如图7）：

师生活动：教师组织学生以小組合作的形式探究、解决问题，并让小组派代表展示，其他小组进行点评，教师最后进行总结。

设计意图：经过一题多变，能得到常见的图形，不但增加了学生的图形储备，而且建立了图像间的联系，还培养了学生的创新意识和发散性思维能力。经过本环节的设计，学生的学习由被动转为主动，学生也产生了自主研究的需要，经过小组协作学生体验到了合作学习的快乐，并体会到了成功的快乐，进而提高了学习能力。

（四）课堂小结，巩固提升

问题7：本节课你学习了哪些知识？掌握了哪些研究图形的方法？还有什么疑惑的地方？

学生回答：

（1）掌握了全等三角形的性质和判定方法及其运用；

（2）通过一题多变，理解了在解题时要抓住本质的东西，要善于从复杂图形中提取基本图形；

（3）经历了图形的变化过程，学会了在解题时如何去研究问题，从而得到一类问题的解法。

设计意图：通过指导学生对本节课的重难点加以归纳，使得学生能够抓住知识重点，梳理学习的过程，提炼一题多变的方法，培养学生归纳概括的能力。

（五）布置作业，延伸兴趣

做教科书第56页第7题、第9题（题目略），并将第7题进行变式，自主命题并解题。

（六）板书设计（如图8）

四、教学反思

学生的学习动力可分为内部动力和外部动力，学生在学习数学的过程中关注的是数学知识是否使其感兴趣，知识的呈现方式是否被其所接受，教师作为外部动力因素之一就影响着学生的内部动力。因此，教师必须在数学教学过程中启发学生产生对数学的需要和兴趣，让学生不断地在学习活动中感受到成功的快乐，从而增强学生学习数学的信心。

本节课的课题为“多变的全等三角形”，比较生动有趣，赋予全等三角形生命力，拉近数学与学生之间的距离，学生会产生好奇：全等三角形会发生怎样的变化？在教学时，教师可采用几何画板动态展示三角形变化的过程，使静态的图形运动起来，让学生体会到原来图形之间是有联系的，每一个原本看起来孤立的图形，实际上都是由一个基本图形演变而来。一题多变的设计可以帮助学生找到研究数学的方法，并学会举一反三、触类旁通，提高学生学习数学的信心。在题目的设置方面也不拘泥于简单的证明，而是设置了开放式的答案，有助于训练学生的发散性思维。

通过上述一题多变的体验，学生初步掌握了进行一题多变，玩转两个全等三角形的方法。在活动探究、合作学习环节，教师给学生搭建了一个充分展示自我的平台，激发了学生的学习兴趣。在合作学习过程中，后进生可以变化图形，优等生可以设置题目，中等生可以解答题目，使得各个层次的学生在数学学习上都获得了不同的发展，也培养了学生的创新能力。教学环节的设置一改单调、古板、重复的传统解题教学模式，使数学学习更有趣味性，使学生能感受到数学学习的快乐，使学生的思维更有活力。

（责任编辑 黄桂坚）