美英早期代数教科书中的一元二次不等式

狄 迈 (华东师范大学教师教育学院 200062)

1 引言

高考综合改革制度下《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《标准》)将原课标位于“必修五”的“不等式”置于必修模块“主题一：预备知识”，要求帮助学生通过类比理解等式与不等式的异同，更进一步地从函数观点看一元二次不等式[1]．在“双新”背景之下，“一元二次不等式”作为初升高“预备知识”，正处于学生知识结构衔接的核心地位，这时要帮助学生体会数学语言的抽象性以及思维方式从感性到理性的跃迁，使学生顺利地跨越断层，完成初高中数学学习的过渡．[2]

另一方面，《标准》重视数学文化的作用，提出“通过高中数学课程的学习，认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值”[1]，数学不仅是一些知识，而且是一种素质；当然数学也不仅是一门科学，更是一种文化；在“课程结构”中指出，“把数学文化融入课程内容中”．数学史是数学文化的重要组成部分．实践表明，在数学教学中，数学史可以揭示知识之谐，呈现方法之美，营造探究之乐，达成能力之助，展示文化之魅，实现德育之效[3]．

研究表明，对于刚学习不等式知识的学生来说，有较为明显的历史相似性[4]．学生在求解一元二次不等式过程中常出现将解方程代替解不等式、将解方程方法迁移到不等式等错误[5]．考虑到学生的先验知识，教师必须遵循教材编排顺序进行教学，但是新入学的学生常会产生如下疑惑：等式与不等式在求解上有何异同？为何要用函数的方法对不等式进行求解？不等式的各种求解方式有何联系？为了回答这些问题，我们对美英早期教科书中有关一元二次不等式的内容进行考察，以期从中获取思想的启迪，为教学提供有益的参考．

2 早期文献中的不等式性质

公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得(Euclid)在《几何原本》中提出公理——“整体大于部分”，在此基础上，借助不等式的基本性质证明了许多涉及不等关系的命题．

如卷一命题17：“任意一个三角形，其两内角的和总小于两个直角．”欧几里得的证明如下：如图1，因∠ACD>∠ABC，故∠ACD+∠ACB>∠ABC+∠ACB，因此，∠ABC+∠ACB小于二直角．这里，欧几里得运用了不等式的性质：若x>y，则x+z>y+z．

图1

19世纪30年代，美英代数教科书中已经出现了不等式(Inequality)及其简单的运算规则．Davies总结了不等式的以下性质[7]：

(1)在不等式两端增加或减去相同的数量，所得到的不等关系不变．

(2)将相同意义(不等号相同)的两个不等式两端分别相加，所得到的不等关系不变．如，若a>b,c>d,e>f，则a+c+e>b+d+f；但两端分别相减时，结果不一定成立，如9>10，8>6，但9-8<10-6．

(3)不等式两端同乘一个正数，所得到的不等关系不变．如，由a>b可得3a>3b；不等式两端同乘一个负数，所得到的不等关系反向，如，由8>7，两端同乘-3，得-24<-21．

(4)正数之间的不等式两端各取平方值，不等关系不变．

(5)当不等式两端有一负数时，无法在执行运算之前知道结果是什么．

该书对不等式的基本性质进行了介绍，指出不等式的变形与等式变形是类似的．

Edgerton等人叙述了不等式变形的七条法则，指出：若不等式两端的值均为正，则两端取相同次幂或相同次方根，不等关系不变，并且可以像等式那样对不等式进行变形[8]．

我们看到，古希腊时期数学家借助几何图形得到不等式的基本性质．到后来，数学家们均提出“像等式变形那样，对不等式进行变形”，所提出的变形规则也依据等式的变形规则而来再加以完善．换句话说，一切依赖于不等式变形的不等式求解，与其相应的等式变形与求解过程是一体同心的．

3 一元二次不等式的求解

直到19世纪末，代数教科书中终于出现了一元二次不等式及其解法，其解法一定程度上借鉴了一元二次方程的求解方式．

3.1 配方法

与一元二次方程的情形类似，对于一元二次不等式，人们最先想到的解法也是配方法．但与方程情形不同的是，在求解不等式时，人们并没有借助于几何图形．

Smith给出了一元二次不等式的第一种解法——配方法[9]．例如，对于不等式x2-4x+3>-1，将不等式左边进行配方，得x2-4x+3=(x-2)2-4+3．因此，不等式变为(x-2)2-1>-1，故得不等式的解集为{x|x∈R,且x≠2}．

Rouse也运用配方法对一元二次不等式进行求解[10]．对于不等式k2-8k>0，不等式两端分别加16，得到k2-8k+16>16，(k-4)2>16，由此可得k-4<-4，或k-4>4，于是得k>8或k<0．因此，不等式的解集为{k|k>8或k<0}．

Smith的例子较为特殊，经移项，不等号左边原本就是完全平方，并且运算大多涉及不等号左边的恒等变形，并未脱离等式的配方法．Rouse运用不等式的基本性质，通过不等号两边加上同一常数进行配方，将等式的某些结论迁移至不等式，展现了不等式配方法本身的特点．

3.2 因式分解法

欧拉(L. Euler, 1707-1783)在其《无穷分析引论》中指出，将整式函数分解成因式，其性质就变得很明显，一眼就可以看出变量取何值时函数值为零[11]．通过因式分解，一元二次不等式也可以更直接地看出满足要求的x的取值范围．

Fisher 等人利用因式分解法来解一元二次不等式．例如，对于不等式x2+5x>-6，将-6移至左边，得x2+5x+6>0，进而得(x+2)(x+3)>0．为了使得(x+2)与(x+3)乘积为正，则两个乘数需同时为正或同时为负．当x>-2时，(x+2)与(x+3)同时为正；当x<-3时，两者同时为负．因此，满足该不等式的x的取值范围为x>-2或x<-3．[12]

可见，早期人们用因式分解法来解一元二次不等式时，大多借助于代数运算法则，通过因子相乘后的符号来推断每一个因子的符号，进而得出x的取值范围，是一种以代数为导向的求解方式．

Miller等人对于一元二次不等式的求解提出了三种不同方式，其中包括因式分解法[13]．以不等式x2+x+6>0为例，将其写成(x-2)(x+3)>0，根据乘积正负与因子正负的关系，得表1．

表1 (x-2)(x+3)正负与各因子正负的关系

20世纪初，教科书开始采用因式分解法来解一元二次不等式，通过乘积正负与因子正负的关系，判断未知数x的取值范围，随后代入特殊数值加以检验．显然，此时人们尚未将不等式与函数联系在一起，而只局限于代数算法规则本身，自然不会出现利用图象“穿针引线”的直观方法．

3.3 求根法

求根法是指运用一元二次方程的求根公式，先考察判别式Δ=b2-4ac的正负情况，若满足Δ≥0，则求出对应一元二次方程的根，再根据二次项系数a的正负性确定x的取值．

Hawkes在《高等代数》中首次借助一元二次方程，对一般的一元二次不等式解的情况进行了讨论．

当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有相同实根或虚根的时候，相对应的一元二次不等式的符号取决于二次项系数a的符号；如果方程有两个不同的实根，x的取值介于两根之间还是两侧，也取决于系数a的符号．具体如表2所示：

表2 Hawkes对一元二次不等式解的判断[14]

明确将一元二次方程的根与一元二次不等式的解集联系在一起，是这个时期教科书所实现的巨大飞跃，它与上文中的因式分解法的区别在于更加直接地肯定了求方程根的重要作用．可以说，求根法充分利用了一元二次方程本身的性质，从等式出发探索不等关系，将等式的相关知识与结论运用于不等式．但是，教科书并未解释清楚系数a的正负与x取值介于两根之间抑或是两侧的关系，只是将它们之间的对应关系进行了简单的概括．

3.4 函数图象法

函数思想在中学数学学习中占有重要地位．今日教科书中，解一元二次不等式的主流方法就是函数法．简单地说，函数法是指将原有一元二次不等式化为一元二次函数，根据函数的性质绘制相应的函数图象，通过数形结合得到未知数取值范围的方法．

Hedrick首次借助函数图象解决不等式问题，总结出一元二次方程的根、其代表的函数图象与不等式解集之间的关系．

以不等式x2+2x-8>0为例，求解满足该不等式的未知数x的取值范围．首先，令l(x)=x2+2x-8>0，绘制其图象(图2)．可以得出，l>0等价于函数图象位于x轴上方，当x取值位于x= -4左侧或x=2右侧时成立．x=-4与x=2两个实数点可以通过解方程l(x)=0，即x2+2x-8=0得到．类似地，方程x2+2x-8=0的两个根分别为x1=-4,x2=2，由图得出，满足不等式x2+2x-8<0的x的值介于两根x1=-4,x2=2之间，即-4

图2 l(x)的图象

Hedrick指出：类似地，在任何情况下，我们都可以用图象表示不等号的左右两侧，看看何时一方超过另一方．从图上可以明显地看出，我们首先应该找出当两边相等时，使得其成立的点就是两个图象的交点[15]．

Hedrick的方法点明了不等式中“相等”的重要性，“相等”是“不等”的边界．另外，此种借助图象来求解一元二次不等式的方式不局限于一元二次不等式，还可以推广到任何不等式的求解．通过移项，绘制不等式两侧代数式所代表的函数的图象，观察比较两侧函数值的大小，得到对应的自变量x的取值范围就是不等式的解集．在该书中，作者虽用函数的图象来求解不等式，也没有明确提及用函数来解决不等式的问题，但是其中蕴含了今日的函数思想．

Edgerton等人明确提出用函数来解不等式：将不等式进行移项，左边的代数式转化为函数f(x)，绘制函数图象，当函数图象位于x轴上方时，函数值为正，即满足不等式f(x)>0[8]．

Davis给出了一般一元二次不等式的函数解法．对于一般一元二次不等式ax2+bx+c>0 (其中a,b,c均为常数，若不等号为“<”则两端同乘-1，得到“>”)，我们绘制以x为自变量的函数y=ax2+bx+c的图象．如果函数图象全部位于x轴上方，那么不等式ax2+bx+c>0对于一切x均成立；相反地，如果函数图象全部位于x轴下方，那么不等式对于任何x都不成立，即无解．如果介于中间的情况，有部分值满足y>0这一条件．显而易见的是，满足条件的x的值介于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之间，或小于较小的根、大于较大的根[16]．

至此，一元二次不等式与函数终于难舍难分，此后几乎所有有关一元二次不等式的求解均会提到“函数图象解法”．

Hart将函数解法称为“不等式的图象解法”，将求解的重点放于对函数图象的观察与解释．他指出：一元不等式可以通过变形化为f(x)>0或f(x)<0的形式．对变形后的不等式的求解步骤为：(1)画出函数f(x)的图象；(2)使得f(x)图象位于x轴上方的x的取值，即为满足不等式f(x)>0的x的取值；使得f(x)图象位于x轴下方的x的取值，即为满足不等式f(x)<0的x的取值[17]．

4 一元二次不等式求解方法的演变

根据早期代数教科书中相关叙述，以20年为一单位，呈现了“一元二次不等式”求解方法的演进过程(图3)．

图3 求解方法演进过程

早期一元二次不等式的求解方式呈现出由单一走向多样，最后回归单一的趋势．

20世纪前，人们单纯将等式求解迁移到不等式，“配方法”是求解一元二次不等式的主流．20世纪初，“函数图象法”出现，在后续的几十年中迅速占据重要地位，究其原因，其一，分析理论的逐渐完善促进了“函数思想”的发展；其二，20世纪初，F.克莱因(F.C. Klein, 1849—1925)提出了“米兰大纲”，发表自己对数学教育的看法，主张“函数是中学数学教育的基石”，加强函数思想的教学，使得函数在数学课程之中地位提高．

5 教学启示

综上所述，历史上出现了一元二次不等式的多种求解方法，为今日不等式教学提供了诸多启示．

其一，注重知识之间的普遍联系．在早期教科书对于“一元二次不等式”的求解过程中，表现出对“方程思想”“函数思想”的运用；某些教科书习题[18]中也将行列式的计算与不等式的求解联系在一起，沟通不等式与其他数学知识．因此，在复习课中，可以基于“一元二次不等式”设计问题串，使用“1+X”教学模式，将不等式与方程、函数、解析几何等知识联系在一起，形成知识网络，构建知识之谐，展现方法之美．

其二，尝试跨学科教学．跨学科学习可以帮助学生在学习某一学科知识时，从促进知识的理解起步，再到对知识或学科内容的个性化建构，然后能结合实际中的生活问题进行创新或创造[19]．Rouse基于物理中的“上抛运动”[10]设计了“一元二次不等式”的相关问题，将其与物理、实际生活联系在一起．在教学过程中，教师可以基于该知识设计项目式学习活动，寻找生活中的“一元二次不等式”，沟通数学与现实，打破学科之间的壁垒，使数学真正地服务于生活，让学生体会数学文化．

其三，通过技术实现由静到动的转变．中国教育信息化已步入了融合创新、智能引领的新时代——教育信息化2.0 时代[20]．当下需要实施能有效变革课堂教学结构的创新教学模式[21]，发展与深入研究适合学科的信息技术，促进学生的认知与交流．高一学生对“函数”的认识多停留于静态，其与“不等式”的联系重点是“动态”的实现．因此，教师可通过几何画板的动态展示，引导学生自主地将二次函数与方程、不等式的解联系在一起，从具体的动画中抽象出数学概念，实现能力之助．

其四，比较方程与不等式的异同．学生由初中到高中，解不等式的过程中常常会“生搬硬套”，产生负迁移．早期教科书中所说的“像求解等式那样求解不等式”[7]，或许也是造成某些错误的一部分原因．现行教学中也多出现方程与等式对等的情况，这常常使得学生将等式(方程)求解过程直接迁移至不等式，因此在教学过程中，教师有必要强调方程与不等式的异同．