“直线与平面平行的性质定理”教学设计与思考

薛新建，于 涛

（广东省东莞实验中学；广东省东莞市教育局教研室）

一、研究背景

为贯彻落实国务院办公厅《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》和教育部《关于做好普通高中新课程新教材实施工作的指导意见》，交流先进教学理念和优质的教育资源，发挥东莞名师和援疆教师的示范引领作用，提升教师学科素养水平和教学质量，新疆生产建设兵团第三师图木舒克市教学研究和师资培训中心、喀什市教研室、东莞市教育局教研室于2022年4月至5月，开展了“普通高中新课程新教材九大学科”联合教学研讨活动.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）提出的全新理念需要切实贯彻到每一节课中，如何体现“以学生发展为本，立德树人，提升素养”，怎么做到“把握数学本质，启发思考，改进教学”，关系到课程改革成果能否真正完成的临门一脚，是一线教师亟须研究的课题.为此，笔者积极响应教研室活动并承担数学课堂教学展示任务，设计并执教“直线与平面平行的性质定理”一课.下面将教学设计分享出来，以待指正.

二、教学内容剖析

1.内容和内容解析

（1）内容.

直线与平面平行的性质定理内容、探究及应用.

（2）内容解析.

本节课是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册第八章第5节第2小节第2课时的教学内容，直线与平面平行的教学内容包含直线与平面平行的判定定理与性质定理，是研究空间中直线与平面位置关系的重要工具，是后续平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理与性质定理的学习基础.本节教学内容以初中平面几何中线线平行的判定定理与性质定理，高中充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系，空间点、直线、平面之间的位置关系等知识内容为学习基础.

研究直线与平面平行的性质，就是研究在直线与平面平行的条件下，能够推出哪些结论的问题.空间中点、直线、平面之间的位置关系考查的是各个元素之间的关系.在已知直线与平面平行的条件下，新元素与旧元素之间的关系的研究给直线与平面平行的性质的教学提供了研究思路，有助于帮助学生经历数学定理的发现过程，感受数学知识建立的必要性和合理性，提升直观想象素养，达成深度学习效果.

直线与平面平行的性质的研究过程，不同于通过观察、操作获得图形的性质的过程.教学可以侧重于对提出问题和解决问题的思路的呈现，更多地体现思辨的过程，有利于培养学生发现问题和提出问题的能力.此外，将实物探究的位置关系抽象成直观的图形、表示成符号语言，再进行推理论证，有利于帮助学生积累探索空间图形性质的基本活动经验，建立空间观念.

由此，确定本节课的教学重点为：直线与平面平行的性质探究思路的形成；直线与平面平行的性质.

2.目标和目标解析

（1）目标.

①借助初中学习的平面几何的性质定理，体会性质定理的形成过程，理解性质定理的本质，培养学生的归纳能力.

②通过实物操作，探究直线与平面平行的性质，理解直线与平面平行的性质，培养学生发现问题和提出问题的能力，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.

③结合具体实例，会应用直线与平面平行的性质解决简单的数学问题和生活问题，发展逻辑推理和数学建模素养.

（2）目标解析.

达成目标①的标志：能从必要条件的角度回顾性质定理，归纳出性质定理的表现方式，即运动变化过程中的不变性规律，并能仿照两直线平行的性质的研究思路，制订直线与平面平行的性质的研究思路.

达成目标②的标志：能按照添加直线、平面等元素的思路进行数学探究活动，会用图形语言、符号语言表示性质，能通过逻辑推理判断命题的真假.

达成目标③的标志：能在具体的问题情境中抽象出数学问题，会用直线与平面的性质定理解决简单的数学问题和生活问题，能用数学语言准确地表达推理过程.

3.教学问题诊断分析

学生在初中阶段学习了平面几何中的一些性质定理，具备了较好的几何形象思维；在高一通过充分条件与必要条件的学习，了解了每条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，具有了开展探究式教学的理论基础；通过空间点、直线、平面之间的位置关系的学习，初步经历了直观感知、操作确认、推理论证的研究立体几何的一般过程，积累了研究空间中点、直线、平面之间的位置关系的活动经验.

本节课采用探究式教学，在探究直线与平面平行的性质的过程中，需要学生能设计探究思路，并按照探究思路开展数学探究活动，并用数学语言进行表达，需要学生具有较强的归纳能力和探究能力，以及直观想象能力、数学抽象能力、逻辑推理能力等，这是本节课教学的一个难点.教学时，不妨借助平面几何与立体几何研究方法的相似性，帮助学生挖掘、归纳并制订直线与平面平行的性质的研究思路，再借助实物模型，帮助学生强化直观感知、操作确认、推理论证的一般研究过程，发展发现问题和提出问题的能力，提高直观想象能力、数学抽象能力、逻辑推理能力，引导学生及时更新学习观念，做到不仅关注概念、公式、定理等显性知识，还关注知识背后的数学思想、方法等隐性知识.在应用新知的教学过程中，需要学生根据实际问题抽象出数学问题，再应用数学知识解决问题，要求学生具有较强的数学建模能力，这是本课教学的第二个难点.教学中，可以结合探究过程中积累的“实际物体—数学图形”的活动经验，帮助学生发展用数学语言表达实际问题的意识与能力.

基于上述分析，确定本节课的教学难点为：直线与平面平行的性质定理的探究过程；直线与平面平行的性质的应用.

4.教学支持条件分析

为了便于开展数学探究活动，帮助学生直观观察生活中几何元素之间的动态关系，并将其转化为图形表示、代数表示，可以利用实物模型、多媒体、信息技术等帮助学生直观理解.

三、教学过程设计

1.温故引新

带领学生回顾在平面几何中所学的直线与直线平行的性质定理.

预设回答：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

问题1：如图1，“添加”的直线c在直线与直线平行的性质定理中的作用是什么？

预设回答：已知“两平行直线a，b”的条件下，添加直线c才能出现同位角、内错角、同旁内角等几何量.

借助这些几何量之间的等量关系，刻画动直线c与两条平行线位置关系变化过程中的不变性规律，这正是性质要刻画的内容.没有直线c的添加，就不能发现这些性质，添加直线c对于探究直线与直线平行的性质是非常必要的.

问题2：如图2，“添加直线”是探究直线与直线平行的性质的有效方法，改变“添加直线”的方式可以发现更多直线与直线平行的性质吗？

预设回答：在平面内添加直线c与已知直线平行，可得到平面内平行的传递性；添加两条相交直线c，d分别与已知两平行直线相交，可以得到相似比的性质等.

活动1：试利用表格梳理在平面内探究直线与直线平行的性质的思路.

具体结果如表1所示.

表1 在平面内探究直线与直线平行的性质的思路

【设计意图】通过复习平面几何中直线与直线平行的性质，挖掘显性知识背后蕴含的数学思想、方法.借助表格梳理研究思路，将研究思路可视化，归纳形成性质的一般研究思路，即在已知条件的基础上添加元素，考查各元素之间的关系，为学生迁移研究性质的基本活动经验做好铺垫.

2.探究新知

活动2：试仿照探究直线与直线平行的性质的思路，制订探究直线与平面平行的性质的探究思路.

具体结果如表2所示.

表2 直线与平面平行的性质探究思路

【设计意图】引导学生仿照平面几何中直线与直线平行的性质的研究思路，制订直线与平面平行的性质的研究思路，并明确研究问题的初始条件，引导学生感悟研究直线与平面平行的性质的研究过程就是研究元素由少到多、由简单到复杂的过程.

活动3：探究直线与平面平行的性质.

学生活动：4人一组共同探索，每组选一人负责画图，一人负责写符号表达式.6个小组添加直线，6个小组添加平面.（学生提前准备好表示“直线”“平面”的学具.）

教师活动：①给予学生操作指导，组织有成果的学生上讲台展示小组成果.

②给予学生方法指导，引导学生从与已知直线或平面的位置关系角度考虑添加直线的所有位置情况.

活动预设探究结果如表3所示.

表3 直线与平面平行的性质探究

【设计意图】组织学生经历探究活动的全过程，在相互交流的过程中体验研究的乐趣，引导学生在直观感受的过程中进行创新，培养学生发现问题和提出问题的能力，以及直观想象素养.通过对结论真假的判断，深化举反例推翻结论的数学方法意识，在发现错误、找到思维漏洞的过程中提升思维的严谨性，培养逻辑推理素养.

3.定理证明

问题3：探究得到的性质中选哪个作为直线与平面平行的性质定理？为什么？

【设计意图】通过比较分析探究结果.例如，表3中的第1个和第4个结果体现了平行的传递性，偏向于基本事实；第3个结果本质上是平面几何中直线与直线平行的性质；第2个结果需要使用两组线面平行的条件，突破了基于“已知一组直线与平面平行”的条件，不能称为直线与平面平行的性质；第5个和第6个结果具有相似性，第6个结果的图示更简洁，且更能反映判定与性质的互逆性，故选择第6个结果作为直线与平面平行的性质定理.借助在探究结果中甄别、筛选性质定理的过程，引导学生体会性质定理的选择标准的核心是简洁、有用.

问题4：如何证明直线与平面平行的性质定理？（已知a∥α，α∩β=b，a⊂β，求证：a∥b.）

师生共同讨论证明思路.第一个思路从证明的目标“两直线平行”出发，运用直线与直线平行的定义，需要说明a，b共面且没有公共点；第二个思路是立体几何定理证明常用的反证法，通过假设a，b不平行（显然共面），说明a，b有公共点，进而推出a与α有公共点的矛盾.具体证明过程如下.

证法1：如图3，因为α∩β=b，

所以b⊂α.

因为a∥α，

所以a，b没有公共点.

因为a⊂β，b⊂β，

所以a，b共面.

所以a∥b.

证法2：如图4，因为α∩β=b，所以b⊂α，b⊂β.

因为a⊂β，所以a，b共面.

假设a与b不平行，设a，b相交于点P，即a∩b=P.

因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.

因为P∈a，

所以直线a与平面α有公共点P，与a∥α矛盾.

所以假设不成立.

所以a∥b.

【设计意图】借助定理的证明体现应用数学知识与方法解决数学问题的过程.从知识角度出发得到证法1，从方法角度出发得到证法2.在引导学生学会应用知识解决问题的同时，建立用数学方法解决数学问题的意识.

定理说明（定理展示，文字、图形和符号）.

①形式梳理（逐条说明帮助理解和记忆）：定理中的先决条件和添加的新元素与旧元素之间的关系.

②形式剖析（宏观说明体现空间向平面的转化）：由线面平行得到线线平行.

③应用价值：定理给出了在已知直线与平面平行的条件下，在平面内作出与已知直线平行的直线的方法，即通过作出经过已知直线的平面，该平面与已知平面的交线即为所求直线.定理的应用过程体现了将空间问题转化为平面问题的数学思想.

④知识关联：性质定理是线面平行的必要条件.

4.例题讲解

例1室内单杠是一种方便的运动器材（如图5），如何利用两条足够长的绳子，在地面上作一条直线与单杠所在的直线平行？

【设计意图】例1是直线与平面平行的性质定理在实际问题情境中的应用.从数学的角度，学生可能提出如图6和图7所示的两种解决方案.但从实际的角度来看，如果给学生做一个简易的单杠模型，学生通过上手操作就能发现，方案1是不可行的，因为徒手很难使两条绳子平行，而相交就简单多了.这道例题的设计既让学生充分体会了数学知识在实际问题中的巨大作用，又让学生体会了数学知识回归实际情境的必要性.

进一步地，总结、提炼应用立体几何模型解决实际问题的基本过程，如图8所示.

例2如图9，在一块呈多面体形状的木料中，棱BC∥平面A′C′，要经过平面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？

【设计意图】例2是对例1提出的应用立体几何模型解决实际问题的基本过程的再强化.两道例题实际上都是在面内找面外直线的平行线问题，但例2的情境又有很大不同，无法直接连接直线，只能借助平行直线的传递性得到平行线.

5.归纳小结

师生共同对本节课的内容进行归纳，如图10所示.

【设计意图】借助课堂小结深化从直观感知到操作确认再到思辨论证的立体几何数学观，以及添加新元素的研究方法，以此推动学生数学观念、意识的发展与成长.通过梳理新知的内容定位，构建知识之间的联系，完善认知结构，重现用立体图形建立数学模型解决实际问题的基本过程，帮助学生发展数学建模能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力.

6.布置作业

从课上发现的性质中选择两条尝试进行文字描述、图形表示、符号表达，并加以证明.

【设计意图】落实课堂所学知识，巩固提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养，也是对前面发现的性质的呼应和强化.

四、设计反思

本节课的设计将《标准》的精神和教材的内容研细落实，通过问题串和教学活动环节的精心设计为学生的课堂生成提供了完备条件.学生在课堂上很容易被自己的发现激起学习欲望，兴趣盎然地投入后续的探究环节中去.梳理本节课四个维度的课堂生成点如下.

1.研究方法的形成

引导学生对熟悉的直线与直线平行的性质定理的条件进行拆解，思考作为先决条件的两条定直线和添加的动直线的作用，发现先决条件虽然取得了“冠名权”，但缺少添加的动直线，性质定理无法得到.学生会将这种发现自然而然地迁移到后续要研究的直线与平面平行的性质定理中来，形成研究方法.

2.研究路径的构建

学生通过观察实物模型，运用已有的线面位置关系的知识，发挥直观想象，能够发现很多正确的结论，这就是立体几何的魅力所在！发现大量结论后，还要进行甄别筛选和比较取舍，选择最简洁、最实用的性质加以证明，形成文字语言、图形语言和符号语言的表达，进而形成定理.最后是性质定理的应用，完成研究路径的构建.

3.数学知识的应用

立体几何定理在实际情境中的运用是难点，学生需要对实际问题中的条件和问题进行数学抽象，得到基本几何元素，进而运用数学知识求解，最后还要把抽象出来的几何元素和方法还原到实际情境中去.例1设计的目的就是让学生深刻体会在数学中和实际问题中运用两条直线形成平面方式的不同，完成数学知识的应用.

4.整体架构的生成

在课堂最后的归纳小结中，线面平行的判定和性质定理，初中平面几何中线线平行的判定和性质定理，后续要学习的面面平行的判定和性质定理，三个研究对象的两类定理形成平行定理的完整闭环.学生体会到在一般探究过程中，这两类定理与充分必要条件的关联，以及平行维度的转化等方面都有呼应和比较研究的价值，从而形成具有一般意义的研究架构和思想方法.