合乎逻辑 自然生长——以“圆的对称性”为例

王新奇 (江苏省苏州工业园区第一中学 215021)

学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者．教师的引导作用表现在教学设计上，在重要环节和学生产生疑惑的环节，通过设计问题引导学生思考，以问题的形式引导学生获取知识，突破教学重点与难点[1]．在苏科版教材九年级上册第2章第2节“圆的对称性(第1课时)”的教学过程中，一些教师总觉得这节课的教学效果不好，还有些教师在教学中把结论直接告诉了学生．会出现这些情况的主要原因有以下三个方面：第一，教师在引导学生探索“圆心角、弧、弦”这三个要素之间的数量关系时，由于教学设计不合理，导致课堂上学生的探究活动流于形式；第二，学生在概括探究结论时，由于主体体验不足，忽视了前提条件“在同圆或等圆中”，需要教师提醒或直接告知；第三，教学过程主要以教师讲授为主，学生学得比较被动．2021年4月，在苏州市“名师领航”研修活动中，笔者开设了“圆的对称性(第1课时)”一课，现将教学过程中几个关键环节的教学片段及思考整理成文，与大家探讨交流．

1 教学片段

1.1 感悟“圆的旋转不变性”

教师首先利用PPT展示两个图形：一个等边三角形和一个圆．

师：请观察这两个图形，它们有哪些共同的特点？

生1：这两个图形都是轴对称图形．

师：这两个图形又有哪些区别？

生2：对称轴的数量不一样．等边三角形有三条对称轴，圆有无数条对称轴．

师：圆是轴对称图形，过圆心的任何一条直线都是它的对称轴．因此，圆的轴对称性超越一切平面图形，达到了平面图形轴对称性的最高境界，即轴对称到不能再轴对称了．

生3：等边三角形是旋转对称图形，至少旋转120度才能与自身重合，而圆是中心对称，绕着圆心旋转任意角度都能够与自身重合．

师：圆是中心对称图形，圆的中心对称性同样无与伦比，达到了平面图形中心对称性的最高境界．通过比较我们可以发现，“圆”的特点更加鲜明．现在请大家利用桌上的透明纸制作一个半径为5 cm的圆，然后与同桌合作，把两个圆的圆心叠合在一起，并将其中一个圆转动一个角度，你有什么发现？

生4：转动任意角度都能与自身重合．

师：这就是圆的旋转不变性．

设计意图通过对两个基本图形的观察和交流，引导学生深刻认识圆的两种达到最高境界的对称性，它们是和谐统一的，是圆的同一本质的两种不同表现形式．通过动手操作和体验，进一步感悟“圆的旋转不变性”，同时激活学生原有的知识经验，激发学生参与课堂的热情，也为后续的进一步探索做好铺垫．

1.2 初探“圆心角、弧、弦” 的数量关系

问题如图1，在圆O上任取两点A，B，连结OA，OB，得到圆心角∠AOB，由∠AOB你能想到什么？

图1 图2

师：如何验证你的发现？

生5：需要再画一个等圆，在等圆中作∠A′O′B′=∠AOB，然后把两个圆的圆心重合在一起，依据“圆的旋转不变性”，转动⊙O′，观察两条弧重合的情况．

师：同桌之间合作一下，验证后请总结你的发现．

生6：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等．

生7：这个结论在等圆中也成立．

师(追问)：在探究的过程中，为什么要出现两个圆？

生8：是为了验证等弧．

师：这个结论在“同圆或者等圆中”都成立．

设计意图在“圆心角、弧、弦”三者关系中，“圆心角”与“弧”的对应关系是最直观的．因此，把研究“圆心角与弧”的对应关系作为“圆心角、弧、弦”三者关系研究的突破口是自然的，符合学生的认知特点，能够直接引发学生的思考，同时帮助学生建立起探究的基本经验．教师追问“为什么要出现两个圆”，旨在促进学生对“同圆或等圆中”这个前提条件的深刻理解．

1.3 再探“圆心角、弧、弦” 的数量关系

问题如图3，连结AB，则AB就是∠AOB所对的弦，改变∠AOB的大小，AB的大小会改变吗？

图3

生1：AB的大小会改变，AB的大小随着∠AOB的变化而变化．

师：根据刚才的探究经验，你能提出什么问题？

生2：连结CD，若∠AOB=∠COD，则AB=CD．

师：如何验证你的发现呢？

生3：需要再画一个等圆，在等圆中作∠A′O′B′=∠AOB，然后把两个圆的圆心重合在一起，依据“圆的旋转不变性”，转动⊙O′，观察两条弦重合的情况．

生4：可以证明△AOB≌△COD．

师：验证后请总结你的发现．

生5：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等．

生6：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．

生7：∠AOB=∠COD，AB=CD．

师：请同学们自主探索并总结．

2 教学思考

2.1 从“思考”到“操作”，基于深度体悟的需要

体悟数学是基于数学核心素养的体悟学习，数学学习在本质上是体悟的过程，是促进学生元认知能力提升的过程．体悟数学教学主张学生通过体验、参与、在活动中切身体会，在实践中真实感受，使得数学思维在一次一次拔节中领悟和醒悟[2]．本课的教学主要依据“圆的旋转不变性”，如何让学生深刻感受到这个性质非常重要．因此，在教学伊始，笔者设计了“思考与操作”活动，主要目的就是让学生深度体验并感悟这一特性．有些教师为了节省课堂教学时间，选择把“圆的旋转不变性”这个特点直接告诉学生或者在教学中一带而过，导致学生主体体验不足，从而影响了探究的效果．

2.2 从“一个圆”到“两个圆”，基于知识逻辑的需要

教学内容的设计要遵循知识的逻辑关系，知识形成过程的合理性决定了学生思维的有序性和深刻性．探索圆的对称性，究竟是从“一个圆”开始还是从“两个圆”开始，要搞清楚这个问题，首先要知道为什么要用两个圆．实际上用“两个圆”是为了解决“一个圆”中的问题．一些教师在处理这节课的内容时直接安排在“两个圆”中进行，导致在总结时学生不理解“在同圆或等圆中”这个前提条件，究其原因，还是混淆了二者之间的逻辑顺序．从“一个圆”到“两个圆”，反映的是知识的逻辑顺序，基于知识逻辑的教学，学生的理解是自然的、是深刻的．

2.3 从“一个要素”到“三个要素”，基于思维生长的需要

特级教师卜以楼指出：“要教给学生有生长力的数学，让学生在发现、发明、发展中生长数学．”他的教学主张为回归教学原点，反哺生命成长，彰显数学力量．在本节课的教学设计中，笔者尝试回归原点，引导学生从“一个要素”的研究开始探究，在探究中生长思维．首先由一个圆心角引导学生想到圆心角所对的弧，感受二者的对应关系．接着，改变圆心角的大小，感受圆心角所对应的弧也随之变化，进而帮助学生积累基本的活动经验．再引入一个相等的圆心角，会有怎样的发现呢？自然引发学生的猜想和验证．这一环节设计从“一个要素”出发，有效地引发学生发现“另一个要素”，从而提升了学生对同圆中的圆心角和所对应的弧的认识．一些教学设计中把“圆心角、弧、弦”三个要素放在一起探索，导致探究过程展开不充分、学生理解不透彻、学生思维无序等现象，关键原因在于没有关照学生思维生长的需要．从“一个要素”到“三个要素”，展现的正是学生数学生长的过程，让学习真正成为了学生成长的原动力，实现了学习的真正发生．

正如郑毓信教授所说，数学素养的真正核心是通过数学教学帮助学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理．