分类讨论思想在初中数学解题中应用策略

丁 华（山东省日照山海天旅游度假区青岛路中学）

初中数学分类讨论的知识点一般有三大类：一是数与代数的概念引起的讨论，包括公式、定理、法则等分类表达。二是几何问题中，一般包括图形位置不确定以及图形形状不确定引起的分类讨论。三是代数几何知识的综合运用。按照数学对象的共同性和差异性，将问题划分为不同的种类，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。

一、分类讨论思想基本原则与步骤

分类讨论思想就是根据题目要求，将问题分为若干小问题，并逐一解答，最后将这些小问题进行归类汇总的解题方法。在初中阶段运用分类讨论思想解决数学问题时，必须要遵循以下原则：

第一，在分类的过程中，每一个小问题之间都是相互独立，不能重复。

第二，分类应该逐级进行。

第三，有层次地进行分类，分类时注意同级互斥，不可越级。在解决问题时只有严格地遵循这三点原则，才能更好地在解题中运用分类讨论的思想。

分类讨论的基本步骤如下：

（1）充分理解和把握题目，明确分类对象，明确对某个参数进行分类讨论；（2）明确分类标准，不能重复也不可以遗漏；（3）逐类分类、分级得到阶段性结果，即对各类问题详细讨论，逐步解决；（4）用该级标准进行检验筛选结果；（5）归纳总结，将各类情况总结归纳。

二、分类讨论思想应用存在的问题

在应用分类讨论思想解决问题时，主要问题首先体现在学生没有分类讨论的意识，把握不住需要分类讨论的关键点，更谈不上应用分类讨论思想。所以学生在面对分类讨论的题目时脑海里面很混乱，不会解或者是解不全。其次，学生不清楚什么时候该讨论，在读题时不会挖掘题目条件，也想不到其他情况，对于该怎样进行分类也很模糊。还有，学生不会选择正确的解题方法，有分类的意识却很盲目很随意，解决实际问题的关键是能够合理地应用数学解题方法，只有掌握有效的解题方法，才能彻底解决问题，学生对分类讨论思想方法的应用不是很清晰，在分类中会存在不合理之处。

另外，在讲解习题时，由于课程任务比较紧张，教师更加注重答案的给出而忽略思想方法的培养，只是就题论题。并没有渗透分类讨论思想的本质，这样学生并没有形成分类讨论的思维习惯，因此在后面独立解决问题时仍无从下手。

三、培养学生分类讨论思想的措施

（一）在课堂教学中注意分类思想方法渗透

教师在平时的教学中要注意渗透分类讨论的思想。从小学进入初中，学生最开始就接触负数，学习有理数。在学习负数后再说“一个数”时就要注意区分是正数、负数、零。在学习绝对值后就让学生明白一个数的绝对值要注意分类讨论，这就让学生形成分类讨论的思维习惯。学习数轴就要有点的左右移动问题，那么到底向哪边运动呢？在学生有疑问时就是一个突破的过程，就是分类讨论的过程。在初中数学第一章有理数的学习中就要涉及到许多分类讨论，这正是给孩子们树立分类讨论思想的一个关键期，如果能够多多渗透就能让孩子在形成初中数学解题思路的过程中加深印象，建立分类讨论的意识。

（二）培养学生审题读题的能力

在读题时就要分析一些模棱两可的话语，还有部分题目看似交代不清楚实际上也是要注意分类讨论。例如，已知一次函数与x轴的交点A的横坐标为5，与y轴交于点B，且一次函数的图像与两坐标轴围成的△AOB的面积是10，求直线的解析式。在这个问题中一般是借助一次函数的图像解决问题，那么在确定了与x轴的交点后在找与y轴的交点B时就需要考虑是在正半轴还是负半轴，当无法确定时就考虑注意分类讨论。

几何问题中的分类讨论特别多，如在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，当含糊不清不能确定是底边还是腰时就要注意分类讨论。

（三）几何中需要画图的题目往往需要分类讨论

做几何题目时分类讨论特别多，如果解题需要图形，可是出题人并没有画出图形，那么自己画图一般就要注意分类讨论，在读题时就要仔细斟酌推敲，看看可以画出几种图形，能够准确全面地分析问题并画出图形是解决问题的关键。

例如，等腰三角形中一腰上的高与另一腰的夹角是50度，求三角形各内角的度数。这个题目需要画出等腰三角形并分析角度求解，那么画图的过程就特别重要，高的问题还要注意钝角三角形的高，当顶角是钝角时高在外部，画图时就要注意区分，准确全面地画出图形是解决这道题目的关键，在处理这类问题时就要多让孩子们动手画出图形。

（四）在处理分类讨论题目时多设置小组讨论

在做分类讨论的题目时很多孩子只做一种情况，但是不同的学生做出来的可能是不同的情况，通过小组讨论可以更充分地理解分类讨论的方法以及意义。

例如，在等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为12和15两部分，求三角形的各边长。在处理这个题目时一般学生只做出一种情况，但是一经讨论就会发现可以分类讨论，这样让学生们自己讨论发现更易于理解。

（五）注重运用分类讨论思想的严密性

教师可以充分利用课堂时间让学生实践，通过经典分类讨论思想的练习题让学生体会分类思想的广泛性和重要性，体会培养严密思维的紧迫性。

例如，解不等式（a+ 2）＞a2-4，在做这道题目时很多学生考虑到系数化为一就会直接在左右两边同时除以因式（a+2），但是却忽略了解不等式系数化为一时需要考虑对正负号和0，因式中含参数的目的是什么？应该让学生把握解决本体的关键就是含参数。所以在平时锻炼学生逻辑思维的严密性非常重要，可以通过练习锻炼学生的思维，考虑问题全面严谨也有助于思维的提升。

在初中数学教学中，教师应该在教学中结合教材，根据大纲有针对性地训练一些易于学生接受的分类讨论的问题，通过启发诱导培养学生分类讨论的思维习惯。在教学中及时总结，充分调动学生自主总结，使学生明确引起分类讨论的原因，提高分类讨论的意识，提高学生的综合运用的能力。