2022年天津高考数学导数题解法探究

汉中市汉台中学 刘春丽

1 试题呈现：

(Ⅰ)求f(x)在(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)若函数f(x)与g(x) 的图象有公共点.

(ⅰ)当a=0时，求b的取值范围；

(ⅱ)证明:a2+b2>e.

2 解法探究

下面只对第(Ⅱ)问进行探究.

2.1 对(i)的探究

下面只给出笔者认为最优的解法.

法1：分离参数法.

总结归纳:分离变量后,如直接求导非常麻烦，容易出错.经过变形再求导就容易得多，难度自然会降低,从而增加正确率. 讨论时应注意利用函数的单调性,结合零点存在性定理来处理.

法2：构造差函数法.

当00,则h(x)单调递增;当x>1时,h′(x)<0,h(x)单调递减.

2.2 对(ii)的探究

法1:三角换元法.

设a=rcosθ,b=rsinθ.代入方程得

故a2+b2>e.

总结归纳:此题中有正弦函数，可用三角换元，这也是常用方法,此法实用性强，计算容易.

法2:柯西不等式放缩法.

所以a2+b2>e成立.

总结归纳：此方法利用了柯西不等式以及ex≥1+x,ex≥ex进行放缩,比较便捷.也可使用均值不等式证明，但需注意其使用条件及合理性.

法3:距离法.

因而a2+b2>e得证.

总结归纳:此法转换了思想，实用性强,计算也不难.

法4：反证法.

因此证得a2+b2>e成立.

总结归纳:反证法作为不等式证明的重要方法可以用,但证明过程并不简单.此外在证明该结论时可以选取其他方法,如线性规划等讨论关系求解.

法5：拉格朗日乘数法(新法探究).

因为sin2x

故a2+b2>e成立.

3 结束语

导数是高中数学的重要内容，高考中导数题经常作为压轴题出现，每个学生应根据自己的实际情况，平时加强一题多解的训练，解答时找到适合自己的解法，快速达到完美结果.