“一题一课”视角下的初中数学习题课初探——基于圆综合复习题的教学实践

陈 琦

(海曙区储能学校,浙江 宁波 315010)

1 现状与思考

1.1 现状审视

习题课是初中数学复习课的重要课型.在传统的数学习题讲评课中，大多数教师是以复习概念、讲解习题为主;选择的例题多而散，针对性不强，缺乏层次感;学生课堂参与度不高，无法真正化为自己的知识.应试教育缺失研究与实践，缺乏探究与创新，从而直接导致学生出现机械记忆、套用公式等浅层次学习的现象.

1.2 背景简述

“一题一课”逐渐成为一种新型的习题课，它以切口小、内容精、方法多的特点频繁出现在课堂教学评比和平时的复习课教学中，吸引了广大数学教师.“一题一课”，本质上是利用“一题”串联多内容、系统化的复习课教学形式，彰显数学学习内容的整体性和关联性.

笔者所在区连续几届教坛新秀评比都采用“一题一课”的课堂教学评价模式，2022年的课题是以提供的试题为基本素材进行专题复习教学.

1.2.1 素材

图1

1)求证：AD∥OC；

2)求y关于x的函数关系式；

3)求四边形ABCD周长的最大值．

1.2.2 要求

1)充分挖掘素材的知识点，思考问题，理清思路，设计课堂教学互动.

2)本次评价授课对象为初三(九年级)学生.授课时间40分钟.

1.3 改进与思考

针对目前习题课的现状，我们需要解决当下数学课堂中普遍存在的知识碎片化、认识表层化及方法单一化等问题.把浅层学习转变为学生的系统化思维活动，让学生积极参与、深度思考，达到激活知识、自我建构数学知识体系的目的.

高品质习题课重在优化数学任务的设计.本文通过教师A设计的这节比赛课，对以上背景材料进行分析，抓住圆的综合知识的核心，呈现出有梯度的教学环节，努力培养学生的发散性思维.教师A设计的流程图如下：

2 基于活动化的教学流程设计

2.1 基本教学流程

活动1识图.

预设1CD=BC(等弧所对的弦相等).

预设2∠A=∠COB(圆周角定理).

预设3AD∥OC(同位角相等，两直线平行).

预设4∠B+∠D=180°，或∠A+∠BCD=180°(圆内接四边形定理).

设计意图低起点入课，人人都能积极参与课堂，复习圆中基本定理，如圆周角定理、圆内接四边形定理等.既用实例复习圆中的核心定理，又为后续的证明提供依据.

活动2探图.

在初始图形的基础上，如图2，再联结图形中的一条线段，你能得到哪些新的结论?

图2

预设1联结BD,得到∠ADB=90°，OC垂直平分BD(垂径定理).

预设2联结AC,得到∠ACB=90°，∠DAC=∠CAB=∠ACO,从而得到AD∥OC(圆周角定理).

预设3联结OD,得到∠COD=∠COB,也可以推导出AD∥OC(圆心角定理).

设计意图学生通过添加不同的辅助线，进一步巩固圆中的核心定理，如垂径定理、圆心角定理等，不断完善圆定理的复习内容.课堂因学生的活动而精彩.

活动3品图.

在初始图形的基础上，如图3，延长AD,BC交于点E，你能得到哪些新的结论？联结AC，你还能得到哪些新的结论？

图3

预设1CE=CB(中位线的逆定理).

预设2△EDC∽△EAB，△COB∽△EAB,△EDC∽△COB.

预设3联结AC，得AC是∠DAB的平分线，也是边BE上的高线，易证△ACE≌△ABC(ASA)，得CE=CB，AE=AB，△ABE是等腰三角形.

预设4再联结BD，则

设计意图在图形外作辅助线，学生较难想到，教师示范添线，再现“新大陆”.发现图形中蕴涵着线段相等、角相等、面积相等，还有相似三角形、全等三角形等，这些都为后续求四边形ABCD周长的最大值提供了不同的方法和思路.

活动4读图.

图4

1)当AD变化时，CD是否变化？你能确定y与x的取值范围吗？

2)请你添加一个y的值，并求出此时x的取值.

3)请用尽可能多的方法求y关于x的函数表达式.

预设当AD变化时，CD也随之变化，且

OC⊥BD，DF=BF.

又OA=OB,从而

在Rt△CFB中,

BC2-CF2=BF2.

在Rt△OFB中,

OB2-OF2=BF2，

于是

OB2-OF2=BC2-CF2，

即

亦即

设计意图赋予变量，引导学生发现AD与CD之间的关系，从特殊到一般，为后续求四边形ABCD周长的最大值做铺垫，同时利用不同的构造，积极引导学生探究一题多解，使圆的复习层层深入，与所学的几何知识多方位联系，真正拓展了学生的思维.

活动5用图.

如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，点C为BD的中点.已知AB=10，CD=x,AD=y，请求出四边形ABCD周长的最大值.

周长=AB+AD+CD+BC=10+y+2x

设计意图建立函数模型，求解几何最值问题，有了前面的探究过程，这一环节显得顺理成章，发展了学生数学建模的核心素养，体现了函数的应用价值.

2.2 圆综合题解题拓展教学流程

在几何学的教学实践中，往往一题会存在多种不同的解题思路，但殊途同归，能得到相同的结果.在本节圆的“一题一课”教学中，为拓展解题思路，开阔学生的解题视野，教师设计了如下拓展题教学.

拓展思路通常可利用平行线的判定证明平行,如寻求同位角和内错角的等量关系等.

方法1利用垂径定理证明OC⊥BD.由于AB为直径，因此可证明∠ADB=90°.

方法2联结AC，利用弧相等、圆周角相等证明∠DAC=∠CAB.再根据OA=OC,得

∠CAB=∠ACO=∠DAC,

得

AD∥OC.

方法3利用圆心角和圆周角与弧的关系.由

从而

AD∥OC.

拓展问题2如图5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，点C为BD的中点.已知AB=10，CD=x,AD=y，请求出四边形ABCD周长的最大值.

图5

拓展思路1)本题目标是建立相关的数学模型，通过模型讨论周长的最大值问题；

2)通过以前学习的知识，知道这个数学模型是二次函数最值问题；

3)围绕周长关系式C=10+2x+y，将式中多个变量转化成单变量；

4)在数学建模过程中，关键是要找到x与y的关联和解决这些关联的途径和方法；

5)方法：通过作辅助线，根据已知条件构思角、边、几何图形，结合几何图形的性质、定理进行推导.

方法1如图5，延长CO交圆于点E，联结BE.易证

△CMB∽△CBE,

得

CB2=CM·CE，

即

方法2如图6，延长BC,AD交于点E.易证

图6 图7

△ECD∽△EAB,

得

EC·EB=ED·EA.

因为CD=CB=x，∠EDB=90°，易证

CD=CB=CE=x,

∠EDC=∠E=∠ABE,AE=AB=10,

所以

x·2x=10(10-y).

方法3利用面积相等(如图7).

从而

方法4如图8，将△ADC绕点C逆时针旋转，使CD旋转到CB.利用射影定理，得

图8 图9

CB2=MB·AB,

从而得出结论.

方法5如图9，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,CF⊥AB.由△EDC≌△CFB,△ACE≌△ACF，可设DE=BF=a,a+y=10-a,再由射影定理得CB2=BF·AB,从而得出结论.

3 教学思考

3.1 “一题一课”设计要以题干为依据，挖掘题目本身的知识点

“一题”即指问题的题干不变，依托同一个问题背景或情境，从某些重要的知识、方法或模型运用等为切入点，将平时学习中割裂的、碎片化的知识有效联结起来，系统架构，整体设计“一课”，使学生由此及彼，达到知识与方法的融会贯通[1].

本课的设计侧重点是圆等几何知识的复习，素材提供了这道几何题本身所蕴涵的丰富的几何知识点及其应用.我们要以题干为依据，从一个基本图形出发,激活学生已有的知识积累,然后逐渐添线，变换图形，赋予图形不同的情境,让学生理解变式图形的基本要素之间的关系,从而找到解决问题的核心知识点与方法.通过学习，学生在课堂中对圆、三角形等几何核心知识进行了梳理，同时又体会到其在函数领域的应用价值.

3.2 “一题一课”设计要从学生的认知规律出发，为学生搭建合适的台阶

波利亚曾说过：“一个专心、认真备课的教师能够拿出一道有意义但不太复杂的题目，帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”[2]“一题一课”设计的探究互动应符合学生的认知规律，遵循思维的最近发展区.教师要善于为学生搭建合适的台阶，引导学生学会审题和分析，把题目中的各个知识点串成知识线，进而融成知识面.设计围绕素材图形，每个问题的提出由浅入深，前后呼应.本案例通过添加辅助线、复习圆中的基本知识，强化对知识的深度理解.开放性问题引导学生发现y和x之间存在的关系，为得出y关于x的函数关系式提供方法，从特殊到一般，很好地突破了本课的难点，最后顺理成章地解决四边形ABCD周长的最大值问题.这样的设计，一气呵成.

坚持以学生为主体，通过设计有阶梯式的问题，启迪学生积极思考，主动去透视课堂，提炼解题策略，渗透数学思想，挖掘数学本质，让学生真正成为课堂的主人，彰显“一题一课”的价值.

3.3 “一题一课”教学中教师要善于“借题发挥”，引导学生“一题多解”

“一题多解”是数学习题课教学的重要形式，是培养学生思维品质的有效途径．教师在解题教学中注重“一题多解”，有利于学生深度认识数学知识的本质，探寻知识之间的区别与联系，掌握解决问题的一般规律，克服思维定势，培养创造性思维能力[3].

在“一题多解”的教学过程中，学生的方法很多，本案例中如果教师没有耐着性子倾听学生的各种解法，就看不到多种解法的思维火花，也就不会有随后对各种解法的探究与比较，这就造成教育价值的流失.教师不但要学会倾听，更要善于总结归类，要帮助学生分清是不是一类方法，如在证明平行中，拓展方法1和拓展方法3都用到了同位角的关系，可以总结为一种思路；又如求y关于x的函数关系中,拓展方法1和拓展方法2都利用相似建立边之间的关系，但是证明相似的思路不一样，拓展方法1使用的是垂径定理，拓展方法2使用的是直角三角形的性质和圆内接四边形的性质；拓展方法3利用面积相等；拓展方法4和拓展方法5都是通过构造全等三角形，利用射影定理找出x,y之间的等量关系.所有的方法都可以归结为求y关于x的函数关系式，这就是方程的数学思想.加强学生数学学科核心素养的培养，就需要教师适时地总结、提炼数学思想方法，让学生“会一题，得一法，通一类”.

3.4 “一题一课”的教学要重视问题化和互动化，引导学生深度参与课堂教学

托尔斯泰曾说：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣.”浓厚的学习兴趣，可以使学生产生强烈的求知欲、敏锐的思维力、丰富的想象力以及迫切探求新知识和新问题的推动力.基于此，对于习题课的教学，教师需要适时后退，促使学生主动地深度参与课堂教学.

在本案例中，教师在设计教学内容时充分考虑了问题化和互动化，通过问题串联知识点，在活动1～活动5中活用素材.学生先通过添加辅助线改变问题的情境，然后以问题为导线由浅入深，各个层次的学生都能经历数学观察、操作、归纳、验证、问题解决等数学学习过程，获得了研究数学问题的经验，凸显了以全体学生为主体的数学课堂.