信息技术助力 丰富概念教学——以“5.2函数(1)”为例

⦿浙江省象山县大目湾实验学校 王 伟

1 问题的提出

有些数学概念是抽象逻辑思维的产物，没有客观实在与之对应，往往由于教学手段的限制而令学生“望而却步”.《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标》)指出：利用信息技术丰富教学场景，利用数学软件开展数学实验，从而改进教学方式，促进学生学习方式转变[1].如何将信息技术融入教学，改善学生的学习方式，促进学生对数学概念和数学问题的理解，提升学生的核心素养？笔者对此进行了积极的探索.下面以浙教版八年级上册“5.2函数(1)”为例，谈谈笔者的实践与思考.

2 教学过程

2.1 情境创设，经历概念的产生过程

上节课我们学习了常量和变量，知道可以取不同数值的量叫做变量.那么，现实生活中的这些变量在变化过程中有什么关系呢？下面来探究一些实例.

实例1小慧的姐姐是一名大学生，暑假去某餐饮店打工，报酬是15元/h，设小慧的姐姐这个月工作的间为th，应得报酬为m元，填写表1：

表1 报酬与工作时间关系

(1)在这个变化过程中，有几个变量？分别是什么？谁随着谁的变化而变化？

(2)给定一个t的值，我们可以得到几个对应的m的值？t与m的数量关系是什么？

(1)在这个变化过程中，有几个变量？分别是什么？谁随着谁的变化而变化？

(2)给定一个v的值，可以算出几个相应的s的值？

实例3按照如图1的数值转换器，试任意输入一个x的值，根据y与x的数量关系求出相应y的值.

教师出示VB编程的数值转换器,如图2.

图1

图2

(1)在这个变化过程中，有几个变量？分别是什么？谁随着谁的变化而变化？

(2)任给一个x的值，可以得出几个相应的y的值？

总结归纳：当变量t，v，x确定时，m，s，y分别随之唯一确定.

设计意图：函数本质属性的揭示，应建立在大量的函数原型分析的基础上.此环节创设了三个围绕函数概念构成因素的代表性问题情境.学生通过观察、识别、比较等认知行为提取出与概念相关的关键信息，再进行计算、分析、比较等思考后确定抽象的对象是变量之间的关系，对函数的本质属性有了初步理解.信息技术亮点是在VB编程的数值转换器的计算活动中，使学生直观地感知到函数的本质属性，激发学生的学习兴趣和探究欲望.教师适时给出VB编程的数值转换器的代码，并揭示其本质是关系式y=2x-1，让学生接触到信息的核心内容“编程语言”，以培养学生对信息技术的兴趣，反过来学生也会体会到信息技术的发展离不开数学知识.

2.2 问题引导，经历概念的抽象过程

根据上述分析，进行归纳概括.

问题1抛开实际背景，上述三个情境中的变量和变量关系都有哪些共同特征？

问题2这些特征是否适用于一般的同类型的变量关系？

教师在聆听学生观点的基础上对它们的共同特征进行总结性讲解：每组关系都涉及两个变量；对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应.这样的变量关系在数学上称为函数(揭示课题).

问题3尝试用文字语言给函数下定义.

定义精致化后得到：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量.

设计意图：在明确研究的对象是变量关系时，学生通过比较、归纳、概括等复杂思考提取共性(变量的规律及变量之间的关系)后建立清晰的函数概念表象，感受到了更高层次的数学抽象，积累了抽象概括的活动经验.在用数学语言对函数概念加以表征时，八年级的学生还缺乏相关的经验和能力，此时需教师加以引导.

2.3 交流辨析，内化理解概念

活动1：下列关系式中，y是不是x的函数？为什么？①y=x；②y=x2；③y2=x.

活动2：再举一个函数的实例.(小组合作)

教师举例：如图3所示是某城市12个月平均最高气温变化图.

图3

(1)T是关于m的函数吗？为什么？

(2)该城市4月的平均最高气温大约是多少？12月呢？

图4

设计意图：活动1借助希沃白板的课堂活动分组竞争的比赛(如图4)，学生完成了对关系式是不是函数的辨别.用游戏的方式调动了学生学习的兴趣和参与的主动性.①②是正例，③是反例，让学生明确概念的外延.追问为什么，进一步加深学生对函数的理解.活动2则是通过学生举例，体会函数是刻画现实世界中变量关系的重要的工具，促进学生对概念外延的进一步理解.教师举例，某城市12个月平均最高气温变化图让学生产生认知冲突(学生之前一般只具有表格、等式表示函数的经验)，进一步拓展了概念的外延，并为学生了解图象法做好铺垫.

2.4 合作探究，感悟概念的衍生过程

问题探究：观察前面的例子，你认为函数可以用哪些形式来表示？

归纳总结得到：列表法、解析法、图象法.

我们把自变量x取一个确定的值，对应的y的值称为函数值.从上面的分析，你能告诉大家，对于用不同方法表示的函数，如何求函数值？

归纳总结得到：查表、代入、作图.

设计意图：回顾实例，学生在探究活动中感悟到归纳思想，提炼出函数的三种表示方法，即列表法、解析法、图象法.学生参与从一般的函数值定义到三种不同表示方法的函数值求法的活动，再次体会函数自变量与因变量“单值对应”的关系，突出函数的本质属性.

2.5 典例分析，掌握概念的应用方法

研究函数中两个变量之间的关系，掌握它们的变化规律，有利于人们解决日常生活中的实际问题.

例1国内投递快递需收取快递费，快递费价格包括首重价格和续重价格，其中续重价格和质量关系如表2.

表2 快递续重价格与质量关系

(1)y是x的函数吗？为什么？

(2)分别求当x=400，1 200，1 500，2 300时相应的函数值.

(3)若续重价格为4元，能确定此快递续重质量吗？

例2如图5所示是小明放学回家的折线图，其中t表示时间(单位：min)，s表示离开学校的路程(单位：m).请根据图象回答下面的问题：

(1)这个函数反映了哪两个变量之间的关系？

(2)求当t=2时的函数值，并说明它的实际意义.

(3)小明回家途中有没有停留？停留了多长时间？

图5

图6

设计意图：学生在快递运费、路程两个具有代表性问题的解决中，经历概念的“具体—一般—具体”的过程，形成利用函数的观点认识现实世界的意识，体会蕴含在应用过程中的函数思想和方法.快递运费问题改编自课本平信邮资问题，更符合学生的生活经验.信息技术的亮点是借助希沃白板的功能，手机拍摄学生解题过程并将其迅速上传到屏幕，便于学生观看、互评，起到及时反馈的作用.计时器(图6)提高学生的注意力，培养学生时间管理能力，增强解题效果.

2.6 梳理提炼，归纳概念的学习套路

本节课大家学到了函数的哪些知识？

师生交流后梳理出本节课的知识框图(图7).

图7

设计意图：在教师的引导下，学生通过梳理、交流，重组相关知识点，厘清函数的来龙去脉，将函数扎实地纳入已有的认知结构中，完善了知识体系.知识框图揭示了概念学习的基本套路，即概念抽象、概念辨析、概念应用、下位概念.掌握概念学习的基本套路，有助于学生进行自主学习和研究，提高学生的数学素养.

3 教学思考

3.1 遵循规律，形成函数概念

概念教学的一般思路：问题引入—抽象概念—概念辨析—概念应用—概念梳理[2].从教学过程看，笔者紧紧围绕函数概念展开建构，从变量关系的视角出发探究实例，注重启发学生归纳提炼其中蕴含的共同特征，再逐步抽象出概念，形成初步的抽象能力；通过正反例、学生举例、教师举例进行概念辨析；通过概念衍生，获得函数的三种表示方式及函数值的意义；通过概念应用，初步形成模型观念；通过概念梳理，形成结构化的数学知识体系；学生在学习过程中自然积累概念学习的经验.

3.2 技术助力，改善学习方式

《课标》指出：注重信息技术与教学的融合，改进教学方式，促进学生学习方式转变[1].在教学活动中，创设多个融入信息技术的学习活动.如数值转换器问题，学生通过程序，直观地感受到任意输入一个数，由关系式得到一个对应的数；借助希沃白板的拖动功能得到函数的完整定义；以游戏PK赛的形式完成关系式是不是函数的辨别；学生在操作中理解函数的定义.在知识应用环节，借助手机拍照，将学生解题过程迅速上传到屏幕，为学生自主学习提供更快捷的平台.上述活动，使学生感受到多媒体技术的创新，调动了学生学习的兴趣，提高了学生参与的主动性，最终为数学学习形式带来新的气象和新的内涵.

3.3 设置问题链，培养抽象思维

史宁中教授认为抽象有两个层次，一是从感性具体到理性具体，二是符号化，这既要求学生能将现实的问题数学化，又要求学生能从提取到的数学要素中发现数学关系、概念、命题等.笔者首先创设了三个围绕函数概念构成因素的代表性问题情境并设置类似的问题链，(1)在这个变化的过程中，有几个变量？分别是什么？谁随着谁的变化而变化？(2)给定一个变量的值，我们可以得到几个对应的变量的值？(3)一个变量确定，另一变量是否随之唯一确定？接着在此基础上再提问，(4)抛开实际背景，上述三个情境中的变量和变量关系都有哪些共同特征？这些特征是否适用于一般的同类的变量关系？问题(1)从实际问题中抽象出数学问题“变量及变量之间的变化规律”.问题(2)和问题(3)通过对变量的分析建立了两个变量之间的依赖关系.问题(4)通过对不同背景之间的变量关系进行比较、抽象出函数概念的本质属性.在这一过程中学生经历了函数概念螺旋式上升的抽象过程，不仅促进其思维由直觉思维向抽象思维转变，而且提升了其数学抽象思维的层次.