二次函数中动点图形的面积最值问题探究

⦿扬州大学数学科学学院 胡雅雯

1 真题呈现

[2021年重庆市中考数学(B卷)第25题]如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C．

图1

(1)求该抛物线的解析式；

(2)直线l为该抛物线的对称轴,点D与点C关于直线l对称,点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA,PD,求△PAD面积的最大值.

2 解法探究

所以,该抛物线的解析式为y=x2-3x-4.

本题第(2)问可采取以下解法.

2.1 补形法

2.1.1 解法提炼

在平面直角坐标系中求“斜”△APD的面积时，可以将该三角形补形为一个易于计算面积的“规则图形”,然后将补后图形的面积与所补图形的面积相减，从而得出结果.此种方法可化未知为已知、化复杂为简单,实现巧妙求解.

2.1.2 试题解析

图2

如图2所示，过点P作PF垂直于y轴，交AD的延长线于点F.易求得直线AD的解析式为y=-x-1.

因P为直线AD下方抛物线上一动点，故设P(m,m2-3m-4)(-1

故PF=-m2+3m+3-m=-m2+2m+3.

所以S△APD=S△APF-S△PDF

=-2(m-1)2+8.

所以当m=1时，△PAD面积的最大值为8.

2.2 “铅锤高，水平宽”面积法

2.2.1 解法提炼

如图3所示,过△APD的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，则外侧两条直线之间的距离a就叫作△APD的“水平宽”，中间这条垂线与AD相交于点E,则线段PE的长度h就叫作△APD的“铅垂高”.由此可以得出一种计算三角形面积的方法:

图3

即三角形的面积等于其水平宽与铅垂高乘积的一半[1]．

2.2.2 试题解析

如图4所示，过点P作PE垂直于x轴交直线AD于点E,易求得C(0,-4),D(3,-4)及直线AD的解析式为y=-x-1.因点P为直线AD下方抛物线上一动点，故设P(m,m2-3m-4)(-1

PE=-m-1-(m2-3m-4)=-m2+2m+3.

=-2(m-1)2+8.

所以当m=1时，△PAD面积的最大值为8.

图4

2.3 公式法

2.3.1 解法提炼

本题可利用点到直线的距离公式求出△APD的高，然后结合配方法，求得高的最大值或直接求△APD面积的最大值.

图5

推导：如图5所示，设AD所在的直线方程为y=kx+b,过点P作AD的垂线PG，垂足为G,则直线PG的解析式为

2.3.2 试题解析

易求得AD的斜率k=-1.因点P为直线AD下方抛物线上一动点，故设P(m,m2-3m-4)(-1

=2|-m2+2m+3|

=-2(m-1)2+8.

所以当m=1时，△APD面积的最大值为8,此时P点的坐标为(1,-6).

2.4 切线法

2.4.1 解法提炼

如图6所示，在△APD中，底边AD是确定的，平移直线AD，当其与抛物线相切于点P时，AD边上的高取最大值，即△APD的面积取最大值.

图6

2.4.2 试题解析

如图7所示，过点P作PG⊥AD，PH垂直于x轴，分别交AD于点G，H.过点P作直线l1平行于AD,当l1与抛物线相切时，AD边上的高PG取最大值.

易求得C(0,-4),D(3,-4)及直线AD的解析式为y=-x-1，故设直线l1的解析式为y=-x+n.

图7

令Δ=4-4(-n-4)=0,解得n=-5.

所以l1的解析式为y=-x-5,点P的坐标为(1,-6)，点H的坐标为(1,-2),此时高PG取到最大值，最大值为

PG=PH·sin∠PHD

=PH·sin 45°

即当点P的坐标为(1,-6)时,△PAD面积的最大值为8.

2.5 “中横结论”法

2.5.1 解法提炼

ax2+(b-k)x+c-m=0.

2.5.2 试题解析

如图8所示，过点P作PK垂直于x轴，交x轴于点K,过点D作DM垂直于x轴，交x轴于点M.根据上述“中横结论”得

图8

所以P(1,-6)时,S△APD取最大值，此时

S△APD=S△APK+S梯形MDPK-S△ADM

即当点P的坐标为(1,-6)时,△PAD面积的最大值为8.

2.6 “于函定理”法

2.6.1 解法提炼

“于函定理”：如图9所示，在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上任意取三点A,P,D，过P作对称轴的平行线，交直线AD于点E，设PE长为d,点A，D到直线PE的垂线段长分别为m1，m2，则有d=|a|·m1·m2[3].

图9

利用“于函定理”，可以推导出一种新的计算三角形面积的公式.

简证：由图可知，

由“于函定理”，得d=|a|·m1·m2.

显然有m1=|x1-x2|,m2=|x2-x3|,

m1+m2=|x1-x3|.

2.6.2 试题解析

由(1)求得该抛物线的二次项系数a=1.

因点P为直线AD下方抛物线上一动点，故设P(m,m2-3m-4)(-1

=2|m-3||-1-m|

=-2(m-3)(m+1)

=-2(m-1)2+8.

即当m=1时，△PAD面积的最大值为8,此时点P的坐标为(1,-6).

3 解题感悟

综合分析以上六种解法，数形结合与转化思想是破解此类问题的“金钥匙”.在解题时，一是要以转化思想为引领，合理构造辅助线，将几何问题代数化，复杂问题简单化，实现由形转数；二是要以数形结合思想为桥梁，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象问题具体化，实现由形析数.此外，二次函数中动点图形的面积最值问题题目变化无穷，且上述解题方法在最优题型适用上存在一定差异，建议教师在教学中既要带领学生深入剖析题目本质，也要引导学生熟练掌握以上解法，以便灵活应对不同题目.