整体与关联理念导向下的初中数学教学探析

陈吉标

（大田县第五中学，福建 大田 366199）

在教学实践中，常有一部分中学生在数学学习过程中遇到上升瓶颈。究其原因，是这些学生头脑里没有形成初中数学的知识结构、知识体系、知识关联和知识应用的逻辑体系。这些学生头脑里的定义、公式、定理法则等知识彼此是孤立的知识点，很难在不同单元、不同问题中进行知识迁移。而之所以会如此，与教师只重视数学知识的传授而忽略学生学科素养培养有关。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：“为了实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联。”因此，教师应拥有整体视野，从关联视角看待教材内容、方法和思想，教学过程引导学生发现知识内部存在的关联性，将思想与方法进行提炼、总结、归类与融通。文章以2014 年北师大版初中数学教材的内容为例，就整体与关联导向下的初中数学教学进行探索。

一、对初中数学“整体”与“关联”的认识

（一）整体、关联概念的理解与导向意义

整体，是对初中数学中将代数或几何知识某一部分内容看成一个“整体”，教师在教学某一知识点时不是孤立地针对这一知识点进行施教，而是站在“整体”的高度，对这一知识点的教学进行设计、施教，同时引导学生用联系的思维将这一知识点同以往学过的相关、相似、相异的知识点联系起来一起学习。关联，是对初中数学某一知识点用联系的观点将相关、相似、相异的内容联系起来进行设计、施教；同时引导学生自主查找相关、相似、相异的内容，并在对比中进行探究学习。

整体、关联理念导向下的教学有利于学生建构初中数学知识体系、知识结构和知识应用。建构知识的整体性、关联性课堂就是要求教师在教学中引领学生整体、系统地研究问题，用整体观学习所学的内容，用联系的观点将所学的内容与其相近、相似内容或似乎没有关系的知识之间架起一座桥梁。这有利于学生自觉地进行深度学习，提高学习能力。

（二）整体、关联理念导向下的教学关注点

1.关注数学概念。数学概念是数学知识的基础，正确理解数学概念是理解运用数学定理、公式、图形、符号的前提。当学生学的数学概念越来越多时，学生对数学概念的理解就可能出现混乱，影响了后续基础知识的学习。因此，在教学数学概念时要从整体、关联上对数学概念进行施教，通过整体性的教学让学生分清这个数学概念在某一个整体范围内其特殊性所在；通过关联性的教学让学生分清这个数学概念与其他相似数学概念的区别。

2.关注公式、定理。初中数学有一定量的公式、定理法则，这些公式、定理法则不仅需要学生记住，更需要学生灵活运用，但学生在学习数学公式、定理法则时常出现记错、用错的现象。究其原因是对相似公式未能正确区别，对定理法则的意义及形成过程没有正确理解。所以，对公式、定理法则的教学要加强对比，关联相关、相似的公式定理法则，让学生对所学的内容用准用好。

3.关注数学思想方法。数学思想方法是数学问题解决的灵魂，对于一些综合性较强或难度较大的题目形成正确的数学思想方法是解题的关键。通过整体性和关联性关注数学思想方法的教学有利于培养学生数学思维能力和解决问题的能力，让学生的数学学习能力提升一个台阶。

4.关注典型例题。数学能力的体现主要在于解题，而解题能力的培养离不开对典型例题的教学。典型例题教学的目的是让学生“做一题，会一类”。教材中有大量的例题、习题，这些例题、习题题目虽然各不相同，但解题思路、解题方法均有规律可循，并且有许多的规律是相近或相似的。所以例题教学不能孤立地就例题讲例题，而要从这个例题的类别出发，联系相关的例题、习题进行分析，找出异同点，总结出同一类别的题型解法。

二、整体、关联理念在初中数学教学中的运用探析

（一）用整体、关联理念进行新知识教学

1.概念、公式的教学要重视相似或相异概念的关联对比

数学概念相对比较抽象，这些数学概念有的用语言陈述，有的用式子表达。在教学实践中，发现一些学生对数学概念的本质特征理解不到位，导致对概念的混淆错解。因而，若将所学的概念同相似或相异概念关联对比则可减少学生对所学概念混淆错解现象的发生。例如，在教学二次函数概念一节，可同一次函数、反比例函数概念关联对比，如下表：

通过本表的关联对比，学生可以加深对用式子表达的数学概念的理解，从整体上把握初中三种函数的概念，并且能较好地区别这些函数的本质特征。

2.定理、法则的教学要重视整体或纵向的关联对比

定理、法则是证明的主要依据。在初中数学里，定理一般指平面几何中的定理，这些定理主要分两类：一类是判定定理，另一类是性质定理。法则一般指代数中的运算法则。一些学生对定理法则能背诵，也能理解其所表达的意义，但不能灵活运用，主要原因是对定理法则的作用没有弄清，没有从定理法则的整体性去理解它的作用所在。所以对定理法则的教学不能孤立地讲解，而要引导学生弄清定理法则的形成过程和它所在背景下的作用。教学时，可引导学生寻找定理法则背景的整体框架下的作用，并关联相关的定理法则，让学生弄清楚探究定理法则形成的意义和具体作用。例如，等腰三角形判定定理一节（八下P8）的教学，可以引导学生进行如下探究。

（1）探究背景：研究一个图形两边相等或两角相等的问题可用全等三角形来解决。用这一方法我们得到等腰三角形的哪些性质？

（2）探究元素：等腰三角形的判定所要的条件是两边相等还是两角相等？

⑶定理类别：这个定理是判定定理，还是性质定理？

（4）条件结论：定理的条件是什么？结论是什么？

（5）定理作用：这个定理可作为等腰三角形的判定方法之一，判定一个三角形是否为等腰三角形，从边看需要具备什么条件（定义判定）？从角看需要具备什么条件（定理判定）？

（6）定理关联：与这个定理相关联的定理有哪些？它们之间有何区别？

（7）定理延伸：用研究等腰三角形的判定、性质的方法研究等边三角形、有一角为30°的直角三角形的判定、性质。

学生在这些问题的引导下，不仅探究了等腰三角形的一个判定定理，而且还能区别等腰三角形判定定理与性质定理的不同，运用整体和关联的思维，站在一个较高的点来学习等腰三角形的判定定理就显得轻松自如，对定理的运用问题也迎刃而解。

（二）用整体、关联理念进行解题教学

1.典型例题教学要关注数学思想方法的整体运用

例题是教材的重要内容，是数学概念、公式、定理法则的具体运用。例题的解答蕴含着数学思想方法，初中数学常用的数学思想有函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、图形运动思想、数学模型思想等；常用的数学方法有待定系数法、配方法、换元法、消元法、构造法、图象法等。一个例题或习题的解答一般都会蕴含着一种或几种数学思想方法。学生对数学思想方法的掌握来自例题的学习和完成一定量的练习。其中通过例题学习数学思想方法是重要的途径。因此，例题教学不能只满足帮助学生分析题目的解答过程，而应引导学生挖掘解答过程所蕴含的数学思想方法。当学生掌握了解题的数学思想方法，例题教学才能实现“做一题，会一类”的目标。例如在“确定二次函数的表达式”一节例2（九下P44），如果直接讲解例题的解答过程，学生也能理解，或者学生自学也能看懂，但是这种没有“深挖”的学习，很难达到举一反三的目的，题目稍微变一下学生就无从下手了。要让学生学到例题中的精髓，就要引导学生进入深度学习，为学生设计整体、关联的深度学习“脚手架”。

题目：已知二次函数图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标。

问题引领：

（1）求函数的表达式这类题型，前面有学过哪些例题？这些例题的解法叫什么方法？（九下P42 例1，八上P127 例）

（2）什么情况下可以用待定系数法？用待定系法解题的主要步骤有哪些？尝试解答此题。

（3）本题为何可用待定系数法？有无其它方法可求出这个二次函数的表达式？

（4）本题求二次函数的对称轴和顶点坐标，用到了什么方法？请用两种以上的方法求解。

学生在这些问题的引领下进行自主学习，虽然学习的是一个例题，但掌握的是解决这类问题的通用方法。

2.典型例题教学要关注题型解法的横向关联变式

初中数学的例题往往是针对本节内容设计的，综合性不大，有的例题也较难体现数学思想方法。如果只是就题讲题，学生的收获仅局限于这一例题所包含的知识点，不利于学生数学思维能力和解题能力的培养。整体、关联理念导向下的例题教学可以将例题进行横向关联变式，即对例题所涉及的知识点寻找其更大范围的知识体系进行横向关联变式，特别是在总复习中所设计的例题更需要进行横向关联变式，让例题所蕴含的数学思想方法更加凸显，使例题增加更多的“附加值”。例如，关于一次函数单元复习，我们可设计如下例题并进行横向关联变式。

例题：已知一次函数y=kx+b 的图象经过A（-3，-2），B（1，6）两点，求此函数的解析式。（复习待定系数法、二元一次方程组的解法）

变式1：当m、n 为何值时，函数y=（2m-1）x+（3n+2）是一次函数？当m、n 为何值时，此函数的图象与y轴的交点在x 轴的下方？（复习一次函数的概念、一元一次不等式的解法）

变式2：若函数y=（2m-1）x+2 是一次函数，当m 为何值时，y 的值随x 的增大而增大？当m 为何值时，y的值随x 的增大而减小？当m 为何值时，函数的图象经过点（1，0）？（复习一次函数图象的性质、分类讨论方法、一次函数与一元一次方程的关系）

变式3：若y-1 与x+2 成正比例且x=0 时，y=3，写出y 与x 之间的关系式。（复习成正比例的概念、待定系数法）

变式4：画出函数y=2x+4 的图象，并回答：当x 为何值时，y>2？当x 为何值时，-3

变式5：若直线y=kx+b 平行直线y=3x-1 且过点（-2，1），求k、b 的值。（复习两直线的位置关系、数形结合方法）

变式6：若一次函数y=2x+b 的图象与坐标轴围成的三角形面积是16，求b 的值。（代数、几何相结合，复习数形结合方法、分类讨论方法。）

在解题教学中，整体性、关联性的变式教学在总复习中运用广泛，一个例题讲解完后将它所在的整体背景知识和相关联的知识点结合起来进行变式，可大大提高复习效率。本例中进行6 个变式，可让学生对一次函数的主要内容作了一次较全面的复习，同时复习了一些数学思想方法的运用，提高了学生的解题能力。

（三）用整体、关联理念进行单元教学

初中数学的一个章节，一般就是一个单元，但对一个章节的教学不等于是单元教学，单元教学是从一个整体的角度去把握全章知识的教学，对每一知识点的教学既有其独立性，又有其联系性。教材中一个章节知识的呈现一般分为两类：递进式和并列式。递进式的章节知识点的面越来越大，后面的知识总是以前面的知识为基础；并列式的章节知识点并列独立呈现，呈现的方法相似。教学时要引导学生分析章节的知识结构，“先总后分，前后联系”，从整体出发搭建单元知识结构并引以学习方法，让学生进入单元深度学习。例如，“特殊平行四边形”（九上第一章）的教学可以进行如下单元设计。

分析：本章为并列式知识章节，分别陈述三种特殊的平行四边形，即菱形、矩形、正方形，每种图形的主要内容均为三个：定义、性质、判定。这三种图形的共同点都是平行四边形，都具有平行四边形的性质。三种图形特殊在哪里，有哪些性质，怎么判定？可用问题导学，引导学生探究学习。

1.对特殊平行四边形定义的探究

（1）一个平行四边形的边如何特殊就变成菱形？角如何特殊就变成矩形？边和角都如何特殊则变成正方形？

（2）画图分别说明菱形、矩形、正方形的定义。

（3）菱形的内角如何特殊化就变成正方形？矩形的边如何特殊化就变成了正方形？是否可以说正方形是特殊的菱形，也是特殊的矩形？

2.对特殊平行四边形性质的探究

（1）从边、角、对角线三个方面研究菱形、矩形、正方形与一般的平行四边形对比各有哪些特殊性质？

（2）分别写出菱形、矩形、正方形的性质定理并画出图形，用几何语言表示。

3.对特殊平行四边形判定的探究

（1）用定义如何判定一个平行四边形是菱形？矩形？正方形？请用几何语言表示。

（2）从边、角、对角线三个方面研究，一个平行四边形加上什么条件就可判定为菱形？矩形？正方形？如果是一个四边形则需要加上什么条件才可判定为菱形？矩形？正方形？

（3）分别写出菱形、矩形、正方形的判定定理，并用几何语言表示。

4.特殊平行四边形的性质定理与判定定理有何区别？在具体运用中关键看什么？

从教材的安排上看，本章的教学一般需要10 课时，如果用整体、关联理念按上述导学任务引导学生自主学习，一般只要6 课时，而且可以较大地提高教学效果：第一课时先由教师布置本单元学习任务，展示导学问题，介绍学习方法；第二课时让学生展示1、2项学习成果（特殊平行四边形的定义、性质），教师答疑指导；第三课时让学生展示3、4 项学习成果（特殊平行四边形的判定及与性质的区别），教师答疑指导；第四、第五课时是知识运用、拓展和补充，规范学生解题格式，并引导学生进行解题总结和关联对比；第六课时对本章进行总结复习。

本章的单元教学教师引导学生抓主两条主线：一条是研究内容的主线，即定义、性质、判定；另一条是研究方法的主线，即从平行四边形的边、角、对角线三个方面进行研究。虽然探究的有三种图形，但探究的“套路”都相同，易于学生学习。这种引导学生从整体、关联角度去进行单元学习的方法，有利于学生站在知识结构的高度和抓住知识间的联系把握一个章节的重难点，能较好地提高学生的学习能力。